一元線性回歸模型教學(xué)設(shè)計 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用8.2.1一元線性回歸模型教學(xué)內(nèi)容一元線性回歸模型.教學(xué)目標(biāo)能結(jié)合具體實例，通過分析變量間的關(guān)系建立一元線性回歸模型，并能說明模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，提高數(shù)據(jù)分析能力.教學(xué)重點與難點（1）教學(xué)重點：一元線性回歸模型的概念，隨機誤差的概念、表示與假設(shè).（2）教學(xué)難點：回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別，隨機誤差產(chǎn)生的原因與影響.教學(xué)過程設(shè)計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情景，提出問題問題1生活經(jīng)驗告訴我們，兒子的身高與父親的身高相關(guān).一般來說，父親的身高較高時，兒子的身高通常也較高.為了進一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表8.2-1所示.表8.2-1編號1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182根據(jù)上節(jié)所學(xué)內(nèi)容，通過這組樣本數(shù)據(jù)能否推斷兒子的身高與父親身高有關(guān)系？是正相關(guān)還是負相關(guān)？相關(guān)程度如何？是函數(shù)關(guān)系還是線性相關(guān)關(guān)系？為什么？師生活動學(xué)生獨立完成.要求學(xué)生整理數(shù)據(jù)，利用前面表示數(shù)據(jù)的方法，以橫軸表示父親的身高，縱軸表示兒子的身高，建立平面直角坐標(biāo)系，再將表中的成對樣本數(shù)據(jù)表示為散點圖.然后根據(jù)散點圖作出是否線性相關(guān)的判斷，若判斷線性相關(guān)，求出樣本相關(guān)系數(shù)，根據(jù)計算結(jié)果回答問題.教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用技術(shù)工具開展學(xué)習(xí)活動，例如選用GeoGebra軟件作為教學(xué)支持工具解決問題，具體過程如下.（1）打開GeoGebra，在表格區(qū)A，B列分別輸入父親身高和兒子身高的數(shù)據(jù).（2）在表格區(qū)選擇A，B兩列，并在工具欄第三個圖標(biāo)的下拉菜單中，選擇“點列”，出現(xiàn)對話框，在對話框中給成對樣本數(shù)據(jù)所在的點列命名，選擇好自變量和因變量，點擊“確定”.在繪圖區(qū)的窗口，點擊右鍵，在出現(xiàn)的菜單中選擇“適應(yīng)窗口”，便畫出這組成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖，如圖8.2-1.根據(jù)散點圖可以發(fā)現(xiàn)，散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子的身高和父親的身高不是函數(shù)關(guān)系，而是線性相關(guān)關(guān)系.（3）在GeoGebra的輸入框，輸入“相關(guān)系數(shù)點列名”，在“選項”菜單的“精確度”欄中選擇合適的精確度，即可求得樣本相關(guān)系數(shù)r≈設(shè)計意圖通過一個具體問題的獨立解決，讓學(xué)生鞏固前面所學(xué)內(nèi)容和方法，也為本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好認知準(zhǔn)備.同時該問題又可以作為探究一元線性回歸模型的例子，使教學(xué)過程自然、連貫.環(huán)節(jié)二問題探究，分析比較引導(dǎo)語通過問題1，我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個變量是否存在線性相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強弱，如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個變量之間的確定關(guān)系那樣，通過建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計模型刻畫兩個隨機變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個模型研究兩個變量之間的隨機關(guān)系，并通過模型進行預(yù)測.問題2根據(jù)表8.2-1的數(shù)據(jù)，問題1中的兒子身高與父親身高這兩個變量之間的關(guān)系能用函數(shù)模型刻畫嗎？師生活動引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中的數(shù)據(jù)，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)函數(shù)的概念進行分析、作出判斷.兩個變量要成為函數(shù)關(guān)系必須滿足函數(shù)的定義，即應(yīng)滿足“集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都存在唯一的數(shù)與它對應(yīng)”.表8.2-1中的數(shù)據(jù)，存在父親身高相同而兒子身高不同的情況.例如，第6個和第8個觀測父親的身高均為172cm，而對應(yīng)的兒子的身高為176cm和174cm；同樣在第3，4個觀測中，兒子的身高都是170cm，而父親的身高分別為173cm，169cm.可見兒子的身高不是父親身高的函數(shù)，同樣父親的身高也不是兒子身高的函數(shù)，所以不能用函數(shù)模型來刻畫.設(shè)計意圖通過具體實例，說明呈線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量可能不存在函數(shù)關(guān)系，同時培養(yǎng)學(xué)生嚴格依據(jù)數(shù)學(xué)概念、原理等進行判斷、推理的理性思維能力，改變經(jīng)驗判斷的習(xí)慣，體會數(shù)學(xué)的嚴謹性，師生活動設(shè)計中強調(diào)了判斷兩個變量之間不是函數(shù)關(guān)系應(yīng)考慮的兩個方面，即Y不是X的函數(shù)，同時X也不是Y的函數(shù).如果只考慮一個方面，兩個變量仍有可能是函數(shù)關(guān)系.環(huán)節(jié)三建立模型，明確概念引導(dǎo)語從成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，散點大致分布在一條直線附近，表明兒子身高和父親身高有較強的線性關(guān)系.我們可以這樣理解，由于有其他因素的存在，使得兒子身高和父親身高有關(guān)系但不是函數(shù)關(guān)系.結(jié)合生活經(jīng)驗可知：影響兒子身高的因素除父親的身高外，還有母親的身高、生活的環(huán)境、飲食習(xí)慣、營養(yǎng)水平、體育鍛煉等隨機的多種因素.因此，我們可以用一次函數(shù)來刻畫父親身高對兒子身高的影響，而把影響兒子身高的其他因素作為隨機誤差.問題3因為存在這些隨機的因素，使得兒子的身高呈現(xiàn)出隨機性.各種隨機因素都是獨立的，有些因素又無法量化.考慮到這些隨機因素的作用，我們該如何引入適當(dāng)?shù)淖兞浚柚淮魏瘮?shù)關(guān)系刻畫父親身高對兒子身高的影響呢？師生活動教師引導(dǎo)學(xué)生引入適當(dāng)變量，如果用x表示父親身高，Y表示兒子的身高，可用e表示各種其他隨機因素影響之和，稱e為隨機誤差.由于兒子身高與父親身高線性相關(guān)，所以Y≈bx+α.由此引導(dǎo)學(xué)生分析變量x，Y，e之間的關(guān)系，自主寫出關(guān)系式Y(jié)=bx+a+e.由于隨機誤差表示大量已知和未知的各種影響之和，它們會相互抵消.可以假設(shè)，只要誤差是隨機的，那么隨機誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，即E追問為什么要假設(shè)Ee師生活動教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題并適時指出，因為誤差是隨機的，即取各種正負誤差的可能性一樣，所以它們均值的理想狀態(tài)應(yīng)該為0.如果隨機誤差的均值為一個不為0的常數(shù)α，則可以將α合并到截距項α中，否則模型無法確定，即參數(shù)沒有唯一解.另外，如果α不為0，則表示存在系統(tǒng)誤差，在實際建模中也不希望模型有系統(tǒng)誤差，即模型不存在非隨機誤差.設(shè)計意圖通過對隨機誤差的分析，建立用隨機變量表示的數(shù)學(xué)模型，將一些次要的隨機因素用一個隨機變量e表示，并基于簡潔性原則對隨機變量e作合理的假設(shè).由此，理解研究隨機問題的重要思想，即將一個隨機量表示成一個主要的確定性的量與一個次要的隨機量之和，只要控制次要的隨機量在一定的范圍之內(nèi)，那么隨機問題就可以通過研究確定性問題得到理想的結(jié)果.同時體會建立模型的基本思路：引入適當(dāng)?shù)淖兞?，建立模型，有時需要作出合理的假設(shè).問題4根據(jù)以上的分析，你能建立一個數(shù)學(xué)模型表示兒子身高與父親身高的關(guān)系嗎？師生活動教師引入數(shù)學(xué)符號表示相關(guān)量，用x表示父親的身高，Y表示兒子的身高，因兒子身高是隨機變量，用大寫字母表示，用e表示各種其他隨機因素影響之和.進而引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)以上分析，可以建立如下的數(shù)學(xué)模型：Y=bx+a+e我們稱①式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機誤差.模型中的Y是隨機變量，其值雖然不能由變量x的值確定，但卻能表示為bx+a與e的和（疊加），前一部分由x唯一確定，后一部分是隨機的.如果e=0，那么Y與x設(shè)計意圖問題4是本節(jié)課的重點和難點，由于隨機誤差的引入，在函數(shù)模型的基礎(chǔ)上建立含有隨機變量的回歸模型，這是定量描述隨機現(xiàn)象的重要方法.通過問題4，完成一元線性回歸模型的建立，理解回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別.追問你能結(jié)合父親和兒子身高的實例，說明回歸模型①的意義嗎？師生活動教師引導(dǎo)學(xué)生對“兒子身高與父親身高的關(guān)系”的案例進行分析，對于父親身高x和兒子身高Y的一元線性回歸模型①，由于EY=bx+α，可以解釋為父親身高為xi的所有男大學(xué)生身高組成一個子總體，該子總體的均值為bxi+α，即該子總體的均值與父親的身高是線性函數(shù)關(guān)系.而對于父親身高為xi的某一名男大學(xué)生，他的身高設(shè)計意圖通過具體實例，加深學(xué)生對一元線性回歸模型的理解.問題5你能結(jié)合具體實例解釋產(chǎn)生模型①中隨機誤差項的原因嗎？師生活動組織學(xué)生展開討論，形成共識.在研究兒子身高與父親身高的關(guān)系時，產(chǎn)生隨機誤差e的原因有：（1）除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素，比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時間等；（2）在測量兒子身高時，由于測量工具、測量精度所產(chǎn)生的測量誤差；（3）實際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來近似這種關(guān)系，這種近似關(guān)系也是產(chǎn)生隨機誤差e的原因.設(shè)計意圖通過具體實例，加深學(xué)生對隨機誤差的理解.環(huán)節(jié)四歸納小結(jié)，加深理解問題6回顧建立一元線性回歸模型的過程，你能說出建立回歸模型的依據(jù)，并談一談對回歸模型的認識嗎？師生活動要求學(xué)生思考后回答并相互補充，教師進行總結(jié).設(shè)計意圖幫助學(xué)生進一步厘清一元線性回歸模型的含義，掌握用數(shù)學(xué)語言表達隨機事件，了解總體參數(shù)與樣本數(shù)據(jù)之間的關(guān)系.環(huán)節(jié)五目標(biāo)檢測，檢驗效果1.教科書第107頁練習(xí)第1題.2.兒童的身高隨年齡的增加而增加，我國0~12歲兒童的平均身高如表8.2-2所示.表8.2-2年齡t/歲123456789101112平均身高Y/cm76.586.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2145.3151.9（1）兒童的平均身高Y與年齡t之間是函數(shù)關(guān)系還是相關(guān)關(guān)系？（2）如果是相關(guān)關(guān)系，