雙曲型方程的差分方法I

雙曲型方程的差分方法I雙曲型方程的差分方法I2雙曲型方程初值問題一階偏微分方程隸屬于雙曲型微分方程例如波動(dòng)方程:二階線性微分方程是雙曲型微分方程2雙曲型方程初值問題一階偏微分方程隸屬于雙曲型微分方程例如波雙曲型方程的差分方法I雙曲型方程的差分方法I51.迎風(fēng)格式關(guān)于空間偏導(dǎo)數(shù)用在特征線方向的一個(gè)單邊差商來(lái)代替。51.迎風(fēng)格式關(guān)于空間偏導(dǎo)數(shù)用在特征線方向的一個(gè)單邊差商來(lái)代667條件穩(wěn)定條件滿足

7條件穩(wěn)定條件滿足

8條件穩(wěn)定8條件穩(wěn)定9絕對(duì)不穩(wěn)定絕對(duì)不穩(wěn)定同理9絕對(duì)不穩(wěn)定絕對(duì)不穩(wěn)定同理10絕對(duì)不穩(wěn)定課堂練習(xí)證明：10絕對(duì)不穩(wěn)定課堂練習(xí)證明：11差分格式與微分方程的特征線走向一致，條件穩(wěn)定。所用網(wǎng)格點(diǎn)11差分格式與微分方程的特征線走向一致，條件穩(wěn)定。所用網(wǎng)格點(diǎn)12迎風(fēng)格式統(tǒng)一形式12迎風(fēng)格式統(tǒng)一形式132Lax-Friedrichs格式132Lax-Friedrichs格式14絕對(duì)不穩(wěn)定14絕對(duì)不穩(wěn)定15則穩(wěn)定15則穩(wěn)定16Lax-Friedrichs格式可以不考慮特征線走向，但截?cái)嗾`差比迎風(fēng)格式的截?cái)嗾`差大。16Lax-Friedrichs格式可以不考慮特征線走向，173.Lax-Wendroff格式（2階精度）173.Lax-Wendroff格式（2階精度）181819左偏心格式P點(diǎn)數(shù)值解依賴于DC內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值---依賴區(qū)域4.Courant-Friedrichs-Lewy條件（C.F.L條件）19左偏心格式P點(diǎn)數(shù)值解依賴于DC內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值---依賴20P點(diǎn)數(shù)值解依賴于DC內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值---依賴區(qū)域點(diǎn)的微分方程解依賴區(qū)域應(yīng)在差分方程的依賴區(qū)域DC內(nèi),否則解不收斂.即差分格式的依賴區(qū)域應(yīng)該包含微分方程解的依賴區(qū)域

微分方程的解C.F.L條件,20P點(diǎn)數(shù)值解依賴于DC內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值---依賴區(qū)域點(diǎn)21不收斂21不收斂22微分方程解的依賴區(qū)域不屬于差分方程解的依賴區(qū)域右偏心格式C.F.L條件22微分方程解的依賴區(qū)域不屬于差分方程解的依賴區(qū)域右偏心格式23Lax-Wendroff格式的C.F.L條件23Lax-Wendroff格式的C.F.L條件24C.F.L條件差分格式的依賴區(qū)域包含微分方程的依賴區(qū)域CFL是格式收斂的必要條件.24C.F.L條件差分格式的依賴區(qū)域包含微分方程的依賴區(qū)域C252526不穩(wěn)定，C.F.L條件下不收斂C.F.L條件仍為26不穩(wěn)定，C.F.L條件下不收斂C.F.L條件仍為27課堂練習(xí)1.試給出一階雙曲型方程左偏心格式、右偏心格式、中心差分格式的C.F.L條件。27課堂練習(xí)1.試給出一階雙曲型方程左偏心格式、右偏心格式285.利用偏微分方程的特征線來(lái)構(gòu)造有限差分格式（兩點(diǎn)式），285.利用偏微分方程的特征線來(lái)構(gòu)造有限差分格式（兩點(diǎn)式），292930設(shè)A,B,C處的值已知，下面來(lái)確定點(diǎn)P處的值u(P)30設(shè)A,B,C處的值已知，下面來(lái)確定點(diǎn)P處的值u(P)311.由B、C線性插值求u(Q)2.由B、D線性插值求u(Q)3.由B、C、D二次插值求u(Q)過P做特征線311.由B、C線性插值求u(Q)過P做特征線32B，C點(diǎn)插值32B，C點(diǎn)插值33B，D點(diǎn)插值33B，D點(diǎn)插值34B，C,D點(diǎn)插值34B，C,D點(diǎn)插值35Lax-Wendroff格式35Lax-Wendroff格式366.蛙跳格式366.蛙跳格式37P33定理3.7詳見p53