應(yīng)用概率統(tǒng)計之隨機(jī)變量的數(shù)字特征

03四月2024應(yīng)用概率統(tǒng)計之隨機(jī)變量的數(shù)字特征02四月2024應(yīng)用概率統(tǒng)計之隨機(jī)變量的數(shù)字特征1第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特性也就知道了.然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而且在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征在前面的課程中，我2例如考察某型號電視機(jī)的質(zhì)量：平均壽命18000小時±200小時.

考察一射手的水平:既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高,還要看他彈著點的范圍是否小,即數(shù)據(jù)的波動是否小.

由上面例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述隨機(jī)變量但能清晰地描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征,這些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要意義.例如考察某型號電視機(jī)的質(zhì)量：考察一射手的水平:既3

r.v.的平均取值——數(shù)學(xué)期望

r.v.取值平均偏離均值的情況——方差本章內(nèi)容隨機(jī)變量某一方面的概率特性都可用數(shù)字來描寫r.v.的平均取值——數(shù)學(xué)期望本隨機(jī)變量某一方面的概44.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例5應(yīng)用概率統(tǒng)計之隨機(jī)變量的數(shù)字特征6用分布列表示用分布列表示7設(shè)X為離散r.v.其分布列為若無窮級數(shù)其和為X的數(shù)學(xué)期望，記作E(X),即1.數(shù)學(xué)期望的定義絕對收斂,則稱定義1設(shè)X為離散r.v.其分布列為若無窮級數(shù)其和為X8設(shè)連續(xù)r.v.X的d.f.為若廣義積分絕對收斂,則稱此積分為X的數(shù)學(xué)期望記作E(X),即定義2設(shè)連續(xù)r.v.X的d.f.為若廣義積分絕對收斂,9P86.1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求P86.1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求10例

X~B(n,p),求E(X)

.解特例若X~B(1,p),則E(X)

例X~B(n,p),求E(11例

X~P(λ),求E(X)

.例X~P(λ),求E(X).12例3設(shè)r.v

X服從幾何分布，P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，其中0<p<1,求E(X)解：記q=1-p求和與求導(dǎo)交換次序等比級數(shù)求和公式例3設(shè)r.vX服從幾何分布，P(X=k)=p(1-p)k13例

X~E(λ),求E(X)

.例X~E(λ),求E(X).14例

X~N(,2),求E(X)

.解例X~N(,2),求E15常見分布的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布0-1分布pB(n,p)npP(

)

常見分布的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布0-1分布pB(n,p)n16分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布E(

)N(,2)分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的E()N(,2)17注意不是所有的r.v.都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在!注意不是所有的r.v.都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauc182.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計算呢？2.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)已知隨機(jī)變量X的分19如何計算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?一種方法是:因為g(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由X的分布求出來.一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計算出來.使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的.如何計算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?一種方法是:20是否可以不求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的.公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便.是否可以不求g(X)的分布而只下面的基本公式指出，答案是肯定21設(shè)離散r.v.X的概率分布為若無窮級數(shù)絕對收斂，則(1)Y=g(X)

的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散r.v.X的概率分布為若無窮級數(shù)絕對收斂，則22設(shè)連續(xù)r.v.X的d.f.為f(x)絕對收斂,則若廣義積分設(shè)連續(xù)r.v.X的d.f.為f(x)絕對收斂23P86.1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求P86.1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求24

例設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求Y=e－2X的數(shù)學(xué)期望.

例設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求Y=e－2X的數(shù)學(xué)25

市場上對某種產(chǎn)品每年需求量為

X(t)，X~U(2000,4000),每出售1t可賺3萬元,若售不出去，則每臺需保管費1萬元，問應(yīng)該組織多少貨源,才能使平均利潤最大？最大期望值為多少？

解設(shè)組織nt貨源,利潤為

Y

顯然，2000<n<4000P78.13市場上對某種產(chǎn)品每年需求量為解設(shè)組織n26應(yīng)用概率統(tǒng)計之隨機(jī)變量的數(shù)字特征27故n=3500時,E(Y)最大n=3500故n=3500時,E(Y)最大n=350028P77.12先求Y的分布律再求期望即可！設(shè)交保費x元，收益Y元P77.12先求Y的分布律再求期望即可！設(shè)交保費x元，收益Y293.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;(2)若C是常數(shù)，則E(CX)=CE(X);(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C30P75.8P75.831例求二項分布的數(shù)學(xué)期望若X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數(shù)

X~B(n,p)，設(shè)則X=X1+X2+…+Xni=1,2，…，nP75.9例求二項分布的數(shù)學(xué)期望若X表示n重貝努里試驗中的“成功32可見服從參數(shù)為n和p的二項分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是np.=np因為P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=E(Xi)==p可見服從參數(shù)為n和p的二項分布=np因為P(Xi=133P76.11一臺設(shè)備由三部分構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10,0.20和0.30。假設(shè)每臺部件的狀態(tài)是相互獨立的。(2)以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X的數(shù)學(xué)期望。設(shè)則X=X1+X2+X3i=1,2,3

EX=EX1+EX2+EX3P76.11一臺設(shè)備由三部分構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)中各344.2方差

我們已經(jīng)介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征.但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.4.2方差我們已經(jīng)介紹了隨機(jī)變量的數(shù)35引例甲、乙兩射手各打了6發(fā)子彈,每發(fā)子彈擊中的環(huán)數(shù)分別為：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,問哪一個射手的技術(shù)較好？解

首先比較平均環(huán)數(shù)甲=8.3,乙=8.3有五個不同數(shù)有四個不同數(shù)引例甲、乙兩射手各打了6發(fā)子彈,甲10,7,36再比較穩(wěn)定程度甲：乙：乙比甲技術(shù)穩(wěn)定，故乙技術(shù)較好.再比較穩(wěn)定程度甲：乙：乙比甲技術(shù)穩(wěn)定，故乙技術(shù)較好.37為此需要引進(jìn)另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個數(shù)字特征就是我們要介紹的方差為此需要引進(jìn)另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變38若E[X-E(X)]2存在,則稱其為隨機(jī)稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.1.方差概念定義

即D(X)=E[X-E(X)]2

變量X的方差,記為D(X)或V(X)D(X)——描述r.v.X的取值偏離平均值

的平均偏離程度若E[X-E(X)]2存在,則稱其為隨機(jī)稱為X39若X為離散型r.v.，分布律為若X為連續(xù)型r.v.，概率密度為f(x)由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.若X為離散型r.v.，分布律為若X為連續(xù)型r.v.40計算方差的一個簡化公式展開證：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2期望性質(zhì)計算方差的一個簡化公式展開證：D(X)=E[X-E(X)]241例P86.1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為例P86.1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為42P86P8643應(yīng)用概率統(tǒng)計之隨機(jī)變量的數(shù)字特征44例設(shè)X~P(

),求D(X).解例設(shè)X~P(),求D(X).解452.設(shè)r.v

X服從幾何分布，P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，求D(X)2.設(shè)r.vX服從幾何分布，P(X=k)=p(1-p)k46

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

+E(X)D(X)=E(X2)-[E(X)]247例設(shè)X~U[a，b]，求DX..例設(shè)X~U[a，b]，求DX..48例

X~E(λ),求D(X)

.例X~E(λ),求D(X).49例設(shè)X~N(,2),求D(X)解例設(shè)X~N(,2),求D(X50常見隨機(jī)變量的方差分布方差概率分布參數(shù)為p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P(

)

常見隨機(jī)變量的方差分布方差概率分布參數(shù)為p的p(1-p)51分布方差概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布E(

)N(,2)分布方差概率密度區(qū)間(a,b)上E()N(,2)522.方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;(2)若C是常數(shù),則D(CX)=C2

D(X);(3)若a,b是常數(shù),則D(aX+b)=a2

D(X);2.方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;53P86.1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P86.1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為54例4.設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，方