大學物理A1-0第3章-剛體力學基礎(chǔ)課件

第3章剛體力學基礎(chǔ)2021第3章剛體力學基礎(chǔ)2021§3.1剛體運動的描述§3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律角動量守恒定律§3.3剛體的能量§3.4陀螺的運動

進動內(nèi)容提要2021§3.1剛體運動的描述內(nèi)容提要2021§3.1剛體運動的描述3.1.1剛體特殊的質(zhì)點系，形狀和體積不變化.——理想化模型質(zhì)點質(zhì)點系剛體集合特例特點：任意兩點間的距離始終保持不變.2021§3.1剛體運動的描述3.1.1剛體特殊的質(zhì)點系，形狀質(zhì)心ABA'B'A"B"選哪個點來代表？剛體的平動質(zhì)心連接剛體內(nèi)任意兩點的一條直線在運動的各個時刻的位置都彼此平行。剛體的這種運動稱為平動。剛體作平動時，其上各個質(zhì)點的運動狀態(tài)完全相同，故可用任意一點的運動代表剛體整體的運動。通常用質(zhì)心的運動來代表整體的運動。22021質(zhì)心ABA'B'A"B"選哪個點來代表？剛體的平動質(zhì)心設(shè)N個質(zhì)點m1,m2,

,mN，對應(yīng)的位矢定義：質(zhì)心的位矢質(zhì)心

幾何對稱中心質(zhì)量均勻分布體：32021設(shè)N個質(zhì)點m1,m2,,mN，對應(yīng)的位矢定義：質(zhì)心的位3.1.2剛體的自由度確定物體的位置所需要的獨立坐標數(shù)目.sOi=1i=2xyzO(x,y,z)i=3i=3+2+1=6當剛體受到某些限制——自由度減少C

xzy20213.1.2剛體的自由度確定物體的位置所需要的獨立坐標數(shù)目.3.1.3剛體運動的幾種形式平動轉(zhuǎn)動(特例:定軸轉(zhuǎn)動)平動＋轉(zhuǎn)動剛體的運動剛體在運動過程中，其上任意兩點的連線始終保持平行。剛體上所有質(zhì)點都繞同一直線作圓周運動。這種條直線稱為轉(zhuǎn)軸。自由度為1定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動。1.平動:2.轉(zhuǎn)動:自由度為320213.1.3剛體運動的幾種形式平動剛體的運動剛體在運動過剛體在運動過程中，其上每一點都在與某固定平面相平行的平面內(nèi)運動.當剛體上某一點固定時，剛體只能繞該點轉(zhuǎn)動.剛體的一般運動可以看成是隨剛體上某一點（如質(zhì)心）的移動和繞該點的轉(zhuǎn)動的組合．3.平面平行運動:5.一般運動:4.定點轉(zhuǎn)動:自由度為3.自由度為3.自由度為6.2021剛體在運動過程中，其上每一點都當剛體上某一點固定時，剛體只能3.1.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述轉(zhuǎn)軸剛體轉(zhuǎn)軸上各點都保持靜止轉(zhuǎn)動：剛體各點都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運動。最簡單的情況是轉(zhuǎn)軸的位置和方向都固定不變的轉(zhuǎn)動，稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動。在同一時間內(nèi),各點對軸的轉(zhuǎn)角相等，但線速度不同。用角量來描述轉(zhuǎn)動規(guī)律較為方便。520213.1.4剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述轉(zhuǎn)軸剛體轉(zhuǎn)軸上各點1.基本物理量角坐標角速度角加速度當徑矢r從Ox軸開始沿逆時針方向轉(zhuǎn)動時,角坐標θ為正規(guī)定：20211.基本物理量角坐標角速度角加速度當徑矢r從Ox軸開始沿逆角加速度的單位：弧度每二次方秒符號：rad·s-2角速度的方向角加速度2021角加速度的單位：弧度每二次方秒符號：rad·s-2角速度例已知求w()t()tq任意時刻的b()tkk0恒量且

t

=0時w0wq0q()ttddwb,tddwbwwbw0dw0ttdk0ttd得解法提要t+w0kdqwtd,dqwtd)(t+w0ktd0tdqqq0)(t+w0ktd得qrqq0t+w0kt212或()tqq0+t+w0kt212勻變角速定軸轉(zhuǎn)動的角位移方程勻變角速定軸轉(zhuǎn)動的運動方程2021例已知求w()t()tq任意時刻的b()tkk0恒量且t線量與角量的關(guān)系bw定軸轉(zhuǎn)動剛體在某時刻t

的瞬時角速度為，瞬時角加速度為，求剛體中一質(zhì)點P至轉(zhuǎn)軸的距離為r質(zhì)點P

的大小rPPrOOw瞬時線速度v瞬時切向加速度atna瞬時法向加速度()batdtdvdtdrwrvdstdqdrtdwrnavr2(wr)2rrw2這是定軸轉(zhuǎn)動中線量與角量的基本關(guān)系qdqddsds解法提要dsqdr2021線量與角量的關(guān)系bw定軸轉(zhuǎn)動剛體在某時刻t的瞬時角速度為OP2.角量與線量的關(guān)系點P的線速度和角速度之間的關(guān)系為：切向加速度為：法向加速度為：剛體上任意點都繞同一軸作圓周運動,則

,α都相同.加速度：矢量式2021OP2.角量與線量的關(guān)系點P的線速度和角速度之間的關(guān)系公式對比質(zhì)點直線運動或剛體平動剛體的定軸轉(zhuǎn)動速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt勻速直線運動ssvt勻角速定軸轉(zhuǎn)動qwt勻變速直線運動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt2021公式對比質(zhì)點直線運動或剛體平動剛體的定軸轉(zhuǎn)動速飛輪30s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度

例1一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150r·min-1，因受制動而均勻減速，經(jīng)30s停止轉(zhuǎn)動.試求：（1）角加速度和在此時間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動開始后t=6s

時飛輪的角速度；（3）t=6s時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s時，設(shè).飛輪做勻減速運動時，

t=0s

2021飛輪30s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度例1一飛輪半徑為0.2（2）時，飛輪的角速度（3）時，飛輪邊緣上一點的線速度大小該點的切向加速度和法向加速度轉(zhuǎn)過的圈數(shù)2222nsm6.31sm)π4(2.0--=×.==wra.2021（2）時，飛輪的角速度（3）時，飛輪邊緣上一點的線速度大小該例2在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動.開始時,它的角速度，經(jīng)300s后，其轉(zhuǎn)速達到18000r·min-1.已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時間成正比.問在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？解由題意，令，即，積分得當t=300s時所以2021例2在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其轉(zhuǎn)子的角速度由角速度的定義得有在300s內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)2021轉(zhuǎn)子的角速度由角速度的定義得有在300s內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)§3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

角動量守恒定律202021§3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

角動量守恒定律2020213.2.1力矩力改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)剛體獲得角加速度質(zhì)點獲得加速度改變質(zhì)點的運動狀態(tài)？F不在平面內(nèi),先正交分解力F為:力矩的方向由右螺旋法則確定20213.2.1力矩力改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)剛體獲得角加速度質(zhì)點20212021(1)力對點的力矩O.(2)力對定軸力矩的矢量形式討論hA

(3)幾個力同時作用,合力矩為:OZ合力矩的大小等于各力矩的代數(shù)和2021(1)力對點的力矩O.(2)力對定軸力矩的矢量形式討（4）討論內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸的力矩考察任意兩個質(zhì)點1、2剛體內(nèi)力不產(chǎn)生力矩(5)力矩的單位：牛頓米符號：N·mOZ122021（4）討論內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸的力矩考察任意兩個質(zhì)點1、2剛3.2.2定軸轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量把剛體看作一個特殊質(zhì)點系內(nèi)力外力合外力矩:合內(nèi)力矩:1.定軸轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量定軸轉(zhuǎn)動:20213.2.2定軸轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量把剛體看作一個特殊質(zhì)故令——轉(zhuǎn)動慣量對于參考點O’(定點),質(zhì)元Δmi

的角動量為:Li在z軸上的分量為:總2021故令——轉(zhuǎn)動慣量對于參考點O’(定點),質(zhì)元Δmi的角剛體轉(zhuǎn)動定律：故：又2021剛體轉(zhuǎn)動定律：故：又2021(1)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。M的符號：使剛體向規(guī)定的正方向轉(zhuǎn)動的力矩為正.說明討論(3)為瞬時關(guān)系;(4)轉(zhuǎn)動中與平動中地位相同．(1)與方向相同;(2)對同一軸;

（1）（2）（3）

=常量2021(1)剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它(2)轉(zhuǎn)動慣量(1)定義:單位:剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量等于其各質(zhì)點的質(zhì)量與該質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸距離的平方之積求和.描述物體轉(zhuǎn)動慣性的大小.(3)計算:質(zhì)量有關(guān)質(zhì)量分布有關(guān)轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)(4)轉(zhuǎn)動慣量與(2)物理意義:2021(2)轉(zhuǎn)動慣量(1)定義:單位:剛體對3.轉(zhuǎn)動慣量的計算（1）分立的質(zhì)量元構(gòu)成的系統(tǒng)（2）質(zhì)量連續(xù)分布的系統(tǒng)(如:剛體)Mrdm單位：kgm2質(zhì)量元dm

的計算方法如下：質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布線密度面密度體密度1220213.轉(zhuǎn)動慣量的計算（1）分立的質(zhì)量元構(gòu)成的系統(tǒng)（2）質(zhì)例:由長l的輕桿連接的質(zhì)點如圖所示，求質(zhì)點系對過

A垂直于該平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量。思考：A點移至質(zhì)量為2m的桿中心處J=?解：由定義式:2021例:由長l的輕桿連接的質(zhì)點如圖所示，求質(zhì)點系對過思考：例:一長為L的細桿，質(zhì)量m均勻分布，求該桿對垂直于桿，分別過桿的中點和一端端點的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解:

(1)軸過中點在桿上任取dm(2)軸過一端端點2021例:一長為L的細桿，質(zhì)量m均勻分布，求該桿對垂直于解:(例:求質(zhì)量m,半徑R的圓環(huán)對中心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量.解:圓環(huán)上取微元dmROdmm1J1

=mR2+m1R2思考1.環(huán)上加一質(zhì)量為m1的質(zhì)點,J1

=?思考2.環(huán)上有一個

x的缺口，J2=?RO

x

x注意:對同軸的轉(zhuǎn)動慣量才具有可加減性.2021例:求質(zhì)量m,半徑R的圓環(huán)對中心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量例:求質(zhì)量m,半徑R的均勻圓盤對中心垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量.解:

圓盤上取半徑為r寬度dr的圓環(huán)作為質(zhì)量元dm.ROrdrO2021例:求質(zhì)量m,半徑R的均勻圓盤對中心垂直軸的轉(zhuǎn)解若剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jc，則剛體對與該軸相距為d的平行軸z的轉(zhuǎn)動慣量Jz是:mRJzJc垂直軸定理:對平面剛體平行軸定理:2021若剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jc，則剛體對幾種常見剛體轉(zhuǎn)動慣量圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直r圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿直徑r幾何形狀不規(guī)則的剛體的轉(zhuǎn)動慣量，由實驗測定。薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直rr2r1圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸2021幾種常見剛體轉(zhuǎn)動慣量圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直r圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿直lr圓柱體轉(zhuǎn)軸沿幾何軸lr圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心與幾何軸垂直l細棒轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直l細棒轉(zhuǎn)軸通過端點與棒垂直2r球體轉(zhuǎn)軸沿直徑2r球殼轉(zhuǎn)軸沿直徑2021lr圓柱體轉(zhuǎn)軸沿幾何軸lr圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心與幾何軸垂直l細解題要點3.剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用2021解題要點3.剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用2021解：對輪、物受力分析如圖mMmmgTMgN由轉(zhuǎn)動定律:由牛頓定律:例:質(zhì)量為M=16kg的實心滑輪，半徑為R=0.15m.一根細繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為m的物體.設(shè)細繩不伸長且與滑輪間無相對滑動，求：(1)由靜止開始1秒鐘后，物體下降的距離.(2)繩子的張力.2021解：對輪、物受力分析如圖mMmmgTMgN由轉(zhuǎn)動定律:由牛頓mMm1m2RT1T2m1gm2gm2

>m1MgNm2MT1T2m2gRm1m1gN1N2Mg拓展:2021mMm1m2RT1T2m1gm2gm2>m1MgNm2M例:一質(zhì)量為m，長為l的均質(zhì)細桿，可繞垂直于平面、穿過O點的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸距A端l/3。今使棒從靜止開始由水平位置繞O點轉(zhuǎn)動.求：(1)水平位置的角速度和角加速度;(2)垂直位置時的角速度和角加速度.OBAc

mg解：已知由平行軸定理(1)由轉(zhuǎn)動定律:2021例:一質(zhì)量為m，長為l的均質(zhì)細桿，可繞垂直于平面、OB(2)垂直時，力矩為零.故設(shè)棒在任意時刻位置如圖由轉(zhuǎn)動定律2021(2)垂直時，力矩為零.故設(shè)棒在任意時刻位置如圖由轉(zhuǎn)動定例:一半徑為R、質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初速度為

0，繞中心O旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)過多長時間圓盤才停止.(設(shè)摩擦系數(shù)為

)ORdrr解:考察半徑為r寬度為dr的圓環(huán)摩擦力矩為:由轉(zhuǎn)動定律:2021例:一半徑為R、質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若1.定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量和角動量定理轉(zhuǎn)動平面

mi對O的角動量：大?。悍较颍旱姆较騽傮w對z軸的總角動量為:20211.定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理稱為沖量矩之和又稱角沖量剛體的角動量定理：剛體在t1

t2時間內(nèi)所受合外力矩的沖量矩等于該段時間內(nèi)剛體角動量的增量.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理的微分形式20212.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理稱為沖量矩之和又稱角沖量剛體的3.2.4定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律變形體繞某軸轉(zhuǎn)動時，若其上各點(質(zhì)元)轉(zhuǎn)動的角速度相同，則變形體對該軸的角動量為：說明對定軸轉(zhuǎn)動剛體——角動量守恒定律

如果物體所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，物體的角動量保持不變。當變形體所受合外力矩為零時,變形體的角動量也守恒20213.2.4定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律如：花樣滑冰跳水芭蕾舞等2021如：花樣滑冰跳水芭蕾舞等2021一演員在臺北101大廈(500m高)前表演2021一演員在臺北101大廈(500m高)前表演202120212021§3.3剛體的能量502021§3.3剛體的能量5020211.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能3.3.1剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能和動能定理(1)質(zhì)元動能：(2)剛體的總動能：

mizm是物體平動慣性的量度J是物體轉(zhuǎn)動慣性的量度轉(zhuǎn)動動能是剛體上所有質(zhì)點元的動能之和.20211.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能3.3.1剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能和動能(1)力矩的功和功率z

dθ力矩的功：合力矩的功：注：力矩求和只能對同一參考點(或軸)進行.力矩功率：2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2021(1)力矩的功和功率zdθ力矩的功：合力矩的功：注：力矩(2)剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理合外力矩對一個繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功等于它對該軸的轉(zhuǎn)動動能的增量.2021(2)剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理合外力矩對一個3.3.2剛體的重力勢能剛體的重力勢能所有質(zhì)元的重力勢能之和:剛體的重力勢能應(yīng)等于質(zhì)量集中于質(zhì)心的重力勢能.2.剛體的機械能結(jié)論：20213.3.2剛體的重力勢能剛體的重力勢能所有質(zhì)元的重力勢能3.剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理由動能定理:重力做功由勢能計算4.含剛體系統(tǒng)的機械能守恒定律對于含剛體的系統(tǒng)，機械能守恒定律可表示為:20213.剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理由動能定理:重力做功由勢能計算4考慮能否用機械能守恒定律再考慮能否應(yīng)用動能定理最后再考慮應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律解決實際問題例:有一根長為l，質(zhì)量為m的均勻細直棒，棒可繞上端光滑水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動．最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺θ角時的角加速度和角速度（細棒對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為）mg2021考慮能否用機械能守恒定律再考慮能否應(yīng)用動能定理最后再考慮應(yīng)用mg解法一:用剛體轉(zhuǎn)動定律求解2021mg解法一:用剛體轉(zhuǎn)動定律求解2021解法二:用剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理求解解法三:用機械能守恒定律選細棒和地球作為系統(tǒng)只有重力做功,整個系統(tǒng)的機械能守恒選細棒下擺θ角時質(zhì)心位置作為勢能的零點2021解法二:用剛體定軸轉(zhuǎn)動的解法三:用機械能守恒定律選細棒和地球例:一質(zhì)量為M、半徑R的圓盤，盤上繞有細繩，一端掛有質(zhì)量為m的物體。設(shè)細繩不伸長且與滑輪間無相對滑動，問物體由靜止下落高度h時其速度為多大？mMm解：受力分析如圖所示:解得:mgT對圓盤：由動能定理對物體：由動能定理2021例:一質(zhì)量為M、半徑R的圓盤，盤上繞有細繩，一端掛有質(zhì)量為例:如圖,已知滑輪的質(zhì)量為m0,半徑為R.斜面的傾角為

,斜面上物體的質(zhì)量為m,物體與斜面間光滑;彈簧的勁度系數(shù)為k.現(xiàn)將物體從靜止釋放，釋放時彈簧無形變.設(shè)細繩不伸長且與滑輪間無相對滑動,忽略軸間摩擦阻力矩，求物體沿斜面下滑x(m)時的速度.(滑輪視作薄圓盤)解：選取m、m0、k