(理科)專題訓練(二項式定理、分布列、期望與方差)

高三數(shù)學（理科）專題訓練（1）-----概率、二項式定理、分布列、數(shù)學期望1.如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平面線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．242.．甲、乙兩人進行象棋比賽，甲獲勝的概率是0.4，兩人下成和棋的概率是0.2，則甲不輸?shù)母怕适?)A．0.6 B．0.8C．0.2 D．0.43．在第3、6、16路公共汽車的一個?？空?假定這個車站只能?？恳惠v公共汽車)，有一位乘客需在5分鐘之內(nèi)乘上公共汽車趕到廠里，他可乘3路或6路公共汽車到廠里，已知3路車、6路車在5分鐘之內(nèi)到此車站的概率分別為0.20和0.60，則該乘客在5分鐘內(nèi)能乘上所需要的車的概率為()A．0.20 B．0.60C．0.80 D．0.124．擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察所得的點數(shù)a，設(shè)事件A：a＝3；事件B：a＝4；事件C：a為奇數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．A與B為互斥事件 B．A與B為對立事件C．A與C為對立事件 D．A與C為互斥事件5．某家庭電話在家里有人時，打進電話響第一聲被接的概率為0.1，響第二聲時被接的概率為0.3，響第三聲時被接的概率為0.4，響第四聲時被接的概率為0.1，那么電話在響前4聲內(nèi)被接的概率是()A．0.622 B．0.9C．0.6598 D．0.00287.袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球．在上述事件中，是對立事件的為()A．① B．②C．③ D．④7.已知(x＋eq\f(a,\r(x)))6(a>0)的展開式中常數(shù)項為240，則(x＋a)(x－2a)2的展開式中x2項的系數(shù)為________．8．已知a＝(sin2eq\f(x,2)－eq\f(1,2))dx，則(ax＋eq\f(1,2ax))9的展開式中，關(guān)于x的一次項的系數(shù)為________．9.自“釣魚島事件”以來，中日關(guān)系日趨緊張并不斷升級．為了積極響應(yīng)“保釣行動”，某學校舉辦了一場“保釣知識大賽”，共分兩組．其中甲組得滿分的有1個女生和3個男生，乙組得滿分的有2個女生和4個男生．現(xiàn)從得滿分的同學中，每組各任選2個同學，作為“保釣行動代言人”．(1)求選出的4個同學中恰有1個女生的概率；(2)設(shè)X為選出的4個同學中女生的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．高三數(shù)學（理科）專題訓練（2）-----概率、二項式定理、分布列、數(shù)學期望X－101Pabc1.隨機變量X的分布列如下：其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3).2.設(shè)隨機變量ξ的概率分布列為P(ξ＝i)＝i，i＝1,2,3，則a的值是()X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)A.eq\f(64,111) B.eq\f(64,101)C.eq\f(27,64) D.eq\f(37,64)3.設(shè)隨機變量X的概率分布列如下表所示：F(x)＝P(X≤x)，則當x的取值范圍是[1,2)時，F(xiàn)(x)＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,6)4.一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c，且a、b、c∈(0,1)，已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為1(不計其他得分情況)，則ab的最大值為________．5.．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展開式的二項式系數(shù)之和比(a＋b)2n的展開式的系數(shù)之和小240，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展開式中系數(shù)最大的項．6.(2014·北京)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．7.離散型隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜X＜\f(5,2)))＝______.8.已知隨機變量ξ只能取三個值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________．9.(河南省信陽市2015屆高中畢業(yè)班第二次調(diào)研檢測數(shù)學理試題19).某高中隨機抽取部分高一學生調(diào)查其上學路上所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中上學路上所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．（Ⅰ）求直方圖中的值；（Ⅱ）如果上學路上所需時間不少于小時的學生可申請在學校住宿，若招生名，請估計新生中有多少名學生可以申請住宿；（Ⅲ）從學校的高一學生中任選名學生，這名學生中上學路上所需時間少于分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望．（以直方圖中的頻率作為概率）【參考答案】高三數(shù)學（理科）專題訓練-----概率、二項式定理、分布列、數(shù)學期望（1）1.【答案】B【解析】長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”有6×6＝36個，另含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”有6×2＝12個，共36＋12＝48個，故選B.2.【答案】A【解析】甲獲勝的概率是0.4，兩人下成和棋的概率是0.2，所以甲不輸?shù)母怕蕿?.4＋0.2＝0.6.故選A.3.【答案】C【解析】由互斥事件的概率加法公式可得，該乘客在5分鐘內(nèi)能乘上所需的車的概率為0.20＋0.60＝0.80.故選C.4.【答案】A【解析】依題意，事件A與B不可能同時發(fā)生，故A與B是互斥事件，但A與B不是對立事件，顯然，A與C既不是對立事件也不是互斥事件．故選A.5.【答案】B【解析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式，電話在響前4聲內(nèi)被接的概率＝電話響第一聲被接的概率＋響第二聲時被接的概率＋響第三聲時被接的概率＋響第四聲時被接的概率，故電話在響前4聲內(nèi)被接的概率是0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9，故選B.6.【答案】B【解析】從7個球中任取3個球的所有可能為：1個白球2個黑球；2個白球1個黑球；3個白球；3個黑球．故①中的兩事件互斥，但不對立；②中的兩事件對立；③中的兩事件中不互斥；④中的兩事件不互斥，故選B.7.【答案】－6【解析】(x＋eq\f(a,\r(x)))6的二項展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r(eq\f(a,\r(x)))r＝Ceq\o\al(r,6)，令6－eq\f(3r,2)＝0，得r＝4，則其常數(shù)項為Ceq\o\al(4,6)a4＝15a4＝240，則a4＝16，由a>0，故a＝2.又(x＋a)(x－2a)2的展開式中，x2項為－3ax2，故x2項的系數(shù)為(－3)×2＝－6.8.【答案】－eq\f(63,16)【解析】a＝(sin2eq\f(x,2)－eq\f(1,2))dx＝(eq\f(1－cosx,2)－eq\f(1,2))dx＝(eq\f(－cosx,2))dx＝－eq\f(1,2)sinx＝－eq\f(1,2).此時二項展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)(－eq\f(1,2)x)9－r(－eq\f(1,x))r＝Ceq\o\al(r,9)(－eq\f(1,2))9－r(－1)rx9－2r，令9－2r＝1，得r＝4，所以關(guān)于x的一次項的系數(shù)為Ceq\o\al(4,9)(－eq\f(1,2))9－4(－1)4＝－eq\f(63,16).9.【解析】(1)設(shè)“從甲組內(nèi)選出的2個同學均是男生；從乙組內(nèi)選出的2個同學中，1個是男生，1個是女生”為事件A，“從乙組內(nèi)選出的2個同學均是男生；從甲組內(nèi)選出的2個同學中1個是男生，1個是女生”為事件B，由于事件A，B互斥，且P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,15)，P(B)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5).所以選出的4個同學中恰有1個女生的概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(4,15)＋eq\f(1,5)＝eq\f(7,15).X0123Peq\f(1,5)eq\f(7,15)eq\f(3,10)eq\f(1,30)(2)由條件知X的所有可能值為0,1,2,3.；P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,3)C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(7,15)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,30)，P(X＝2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(7,15)－eq\f(1,30)＝eq\f(3,10).[來源所以X的分布列為所以X的數(shù)學期望為E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(7,6).高三數(shù)學（理科）專題訓練-----概率、二項式定理、分布列、數(shù)學期望（2）【答案】D【解析】因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，得b＝eq\f(1,3)，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).故選D2.【答案】A【解析】1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3))，解得a＝eq\f(64,111)，選A.3.【答案】D【解析】∵a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，∴a＝eq\f(1,2).[來源:學_科_網(wǎng)]∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).選D.4.【答案】eq\f(1,24)【解析】由已知3a＋2b＋0×c＝1，∴3a＋2b＝1，∴ab＝eq\f(1,6)·3a·2b≤eq\f(1,6)eq\f(3a＋2b2,4)＝eq\f(1,24)，當且僅當a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,4)時等號成立．5.【解析】由題意，得2n＝22n－240，∴22n－2n－240＝0，即(2n－16)(2n＋15)＝0.又∵2n＋15＞0，∴2n－16＝0.∴n＝4.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))4。又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))4的展開式中二項式系數(shù)最大的項為第3項，所以，所求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))4展開式中系數(shù)最大的項為第3項，即T3＝Ceq\o\al(2,4)(eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))2＝6eq\r(3,x).6.將A，B捆綁在一起，有Aeq\o\al(2,2)種擺法，再將它們與其他3件產(chǎn)品全排列，有Aeq\o\al(4,4)種擺法，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48種擺法，而A，B，C3件在一起，且A，B相鄰．A，C相鄰有CAB，BAC兩種情況．學科網(wǎng)將這3件與剩下2件全排列，有2×Aeq\o\al(3,3)＝12種擺法，故A，B相鄰，A，C不相鄰的擺法有48－12＝36種．7.【答案】eq\f(5,6)【解析】由分布列的性質(zhì)知aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)＋\f(1,3×4)＋\f