安徽黃山市2013年高考數(shù)學綜合模擬試卷

安徽黃山市2013年高考數(shù)學綜合模擬試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共150分．考試時間120分鐘．參考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)=P(A)＋P(B)如果事件A、B相互獨立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率正棱錐、圓錐的側面積公式S錐體側S錐體側=其中c表示底面周長,l表示斜高或母線長.球的體積公式球球=其中R表示球的半徑.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合=｛｝,,則為（）A．B.C.｛1｝D.｛（）｝2．若函數(shù)的定義域是,則其值域為（）A.B.C.D.3．O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，λ∈［0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的()A．外心B．垂心C．內心D．重心4．在坐標平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為() A． B． C． D．5．全國十運會期間，某高校有14名志愿者參加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數(shù)為()A.B.C.D.6．對于不重合的兩個平面，給定下列條件：①存在平面，使得都垂直于；②存在平面，使得都平行于；③存在直線，直線，使得；④存在異面直線l、m，使得其中，可以判定α與β平行的條件有 （） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7.已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列｛an｝滿足:a2005+a2006>0,a2005·a2006<0,則使前項Sn>0成立的最大自然數(shù)n是()A.4009B.4010C.40118.函數(shù)的反函數(shù)圖像大致是（） ABCD9.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為A1D1、B1C1的中點，則在面BCC1B1內到BC的距離是到EF的距離的A．一條線段B．橢圓的一部分C．拋物線的一部分D．雙曲線的一部分．10.已知F1、F2是雙曲線的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是 （） A． B． C． D．11.已知函數(shù)在上恒正，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.12.如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向2km處，河流的沒岸PQ（曲線）上任意一點到A的距離比到B的距離遠2km.現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉運貨物.經(jīng)測算，從M到B、M到C修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km，那么修建這兩條公路的總費用最低是（） A．(2－2)a萬元 B．5a萬元 C．(2+1)a萬元 D．(2+3)a萬元第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題4個小題，每小題4分，共16分．13．已知函數(shù)f(x)=Acos2(ωx+)+1（A>0，ω>0）的最大值為3，f(x)的圖象在y軸上的截距為2，其相鄰兩對稱軸間的距離為2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=____________14.設點P是曲線y=x3－x+2上的任意一點,P點處切線傾斜角為α,則角α的取值范圍是______________15.已知的展開式中的系數(shù)與的展開式中的系數(shù)相等，則＝_____________．16.若函數(shù)滿足：對于任意都有，且成立，則稱函數(shù)具有性質M.給出下列四個函數(shù)：①，②③，④. 其中具有性質M的函數(shù)是（注：把滿足題意的所有函數(shù)的序號都填上）17．如圖,在楊輝三角中,斜線l上方,從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒數(shù)列:1,3,3,4,6,5,10,…,記其前n項和為Sn,則S19等于____________.1112113311464115101051…18.已知f（x+y）=f(x)·f(y)對任意的實數(shù)x、y都成立,且f(1)=2,則eq\f(f(1),f(0))+eq\f(f(2),f(1))+eq\f(f(3),f(2))+…+eq\f(f(2005),f(2004))+eq\f(f(2006),f(2005))=___________________.三、解答題：本大題6小題，共74分，解答應寫出必要的文字說明．推理過程或計算步驟.19．（本題滿分12分）已知向量()和=()，∈［π，2π］．(Ⅰ)求的最大值；(Ⅱ)當=時，求的值．20．（本小題滿分12分）甲、乙兩人在一場五局三勝制的象棋比賽中，規(guī)定甲或乙無論誰先贏滿三局就獲勝，并且比賽就此結束.現(xiàn)已知甲、乙兩人每比賽一局甲取勝的概率是，乙取勝的概率為，且每局比賽的勝負是獨立的，試求下列問題：(Ⅰ)比賽以甲3勝1而結束的概率；(Ⅱ)比賽以乙3勝2而結束的概率；(Ⅲ)設甲獲勝的概率為a，乙獲勝的概率為b，求a：b的值.21．（本題滿分14分）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點。(Ⅰ)求證：AM∥平面BDE；(Ⅱ)求二面角A－DF－B的大小.（Ⅲ）試問：在線段AC上是否存在一點P，使得直線PF與AD所成角為60°？22.（本題滿分14分）已知eq\o(\s\up8(),OF)=（c,0）(c>0),eq\o(\s\up8(),OG)=(n,n)(n∈R),|eq\o(\s\up8(),FG)|的最小值為1,若動點P同時滿足下列三個條件:①|eq\o(\s\up8(),PF)|=eq\f(c,a)|eq\o(\s\up8(),PE)|(a>c>0);②eq\o(\s\up8(),PE)=eq\o(\s\up8(),OF)(其中eq\o(\s\up8(),OE)=(eq\f(a2,c),t),≠0,t∈R);③動點P的軌跡C經(jīng)過點B(0,－1).(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求曲線C的方程;(Ⅲ)是否存在方向向量為a=(1,k)(k≠0)的直線l,使l與曲線C交于兩個不同的點M、N,且|eq\o(\s\up8(),BM)|=|eq\o(\s\up8(),BN)|?若存在,求出k的范圍;若不存在,請說明理由.23．（本題滿分14分）如圖，過點P(1,0)作曲線C:的切線，切點為,設點在x軸上的投影是點；又過點作曲線C的切線，切點為,設在x軸上的投影是；…；依此下去,得到一系列點,,…,,…,設點的橫坐標為.（Ⅰ）試求數(shù)列｛｝的通項公式；（用的代數(shù)式表示）（Ⅱ）求證：（Ⅲ）求證：（注：）.參考答案及評分標準一、選擇題1．C易知A=｛-1，0，1｝，B=｛1，2｝，故A∩B=｛1｝.2．D分x<1與2≤x<5討論.3．Deq\o(\s\up8(),OP)=eq\o(\s\up8(),OA)+λ(eq\o(\s\up8(),AB)+eq\o(\s\up8(),AC))=eq\o(\s\up8(),OA)+2λeq\o(\s\up8(),AD)(其中D為BC的中點),于是有eq\o(\s\up8(),AP)=2λeq\o(\s\up8(),AD),從而點A、D、P共線，即點P的軌跡通過三角形ABC的重心.4．B作出不等式表示的平面區(qū)域即可.5．A先從14人中選出12人,再將12人進行分組,且每組4人.6．B由線面位置關系不難知道:①③正確的.7．B[解析]由題意知:等差數(shù)列中,從第1項到第2005項是正數(shù),且從第2006項開始為負數(shù),S4010=2005(a1+a4010)=2005(a2005+a2006)>0,S4011=eq\f(4011(a1+a4011),2)=4011a2006<0,故n的最大值為4010.另解:由題意可得:等差數(shù)列中,從第1項到第2005項是正數(shù),且從第2006項開始是負數(shù),則所有的正項的和為Sn的最大值,即當n=2005時,取得最大值,顯然Sn是關于n的缺常數(shù)項的二次函數(shù),且開口向下,所以第2005項離對稱軸最近,故其對稱軸介于2005到2005.5之間,又因為二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點是(0,0),則設另一個交點(x,0),x應介于4010到4011之間.所以使Sn>0的最大自然數(shù)是4010,故選B.本小題結論可以推廣成一般結論:等差數(shù)列中,a1>0,ak+ak+1>0,且akak+1<0,則使前n項和Sn>0的最大自然數(shù)n是2k..8．B原函數(shù)的圖象是由y=eq\f(1,x)圖象向下移動一個單位,且在(－∞,0),(0,＋∞)上為減函數(shù),所以其反函數(shù)的圖象是由y=eq\f(1,x)的圖象向左移動一個單位,且在定義域上為減函數(shù).9．B易知面BCC1B1內的點到點F的距離是到BC的距離倍的eq\f(1,2)，由橢圓的第二定義即知.10．D設MFeq\a(1)雙曲線的交點為P，焦點Feq\a(1)（－c,0）,F2(c,0),由平面幾何知識知：F2P⊥Feq\a(1)M，又|Feq\a(1)F2|=2c于是|PF2|=2csin60°=eq\r(3)c|PF1|=c故2a=|PF2|－|PF1|=eq\r(3)c－c=（eq\r(3)－1）ce=eq\f(c,a)=eq\r(3)+1.11．C特值法：令a=2與eq\f(2,3)可知在上恒正，顯然選項D不正確.12．B依題意知PMQ曲線是以A、B為焦點、實軸長為2的雙曲線的一支（以B為焦點），此雙曲線的離心率為2，以直線AB為軸、AB的中點為原點建立平面直角坐標系，則該雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1，點C的坐標為（3，eq\r(3)）.則修建這條公路的總費用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[eq\f(1,2)|MB|+|MC|],設點M、C在右準線上射影分別為點Meq\a(1)、Ceq\a(1)，根據(jù)雙曲線的定義有|MMeq\a(1)|=eq\f(1,2)|MB|，所以=2a[|MMeq\a(1)|+|MC|]≥2a|CCeq\a(1)|=2a×（3-eq\f(1,2)）=5a.當且僅當點M在線段CCeq\a(1)上時取等號，故ω的最小值是5a.二、填空題13.200易知A=2,ω=eq\f(π,2),=±eq\f(π,4),y=2－cos(πx+eq\f(π,2))=2±sinπx,從而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=2×100=200.14.[解析]∵y’=3x2－≥－,∴tanα≥－又∵0≤α≤∏∴0≤α<15.由二項式定理知:的展開式中的系數(shù)為Ceq\o(\s\up7(3),5)·,的展開式中的系數(shù)為Ceq\o(\s\up7(1),4)·eq\f(5,4),于是有Ceq\o(\s\up7(3),5)·=Ceq\o(\s\up7(1),4)·eq\f(5,4),解得=eq\f(1,2).16.①、③可通過作差比較得到結論.17.283[解析]由條件知道:該數(shù)列的奇數(shù)項分別為1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…,偶數(shù)項分別為3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,把奇數(shù)項的前10項與偶數(shù)項的前9項相加即得S19=283.18.4012[解析]∵f(1+0)=f(1)·f(0),2=2f(0),∴f(0)=1∵f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22,f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=23,依此類推:f(2005)=22005,f(2006)=22006,∴原式==4012.三、解答題19．解：(Ⅰ)1分===3分∵θ∈［π，2π］，∴，∴≤1max=2．5分(Ⅱ)由已知,得7分又∴10分∵θ∈［π，2π］∴，∴．12分20．解:(Ⅰ)比賽以甲3勝1而結束,則第四局一定甲勝，前三局中甲勝兩局,1分∴所求概率為:.3分答：比賽以甲3勝1而結束的概率為.4分(Ⅱ)比賽以乙3勝2而結束，則第五局一定乙勝，前四局中乙勝兩局，5分∴所求概率為:7分答：比賽以乙3勝2而結束的概率為.8分(Ⅲ)甲先勝3局的情況有3種:3勝無敗,3勝1敗,3勝2敗.，則其概率分別為9分，=，，于是甲獲勝的概率11分∴乙獲勝的概率∴.12分21．方法一解:(Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,1分∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，2分∴AM∥OE.3分∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE.4分(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，5分∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF.∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。7分在RtΔASB中，∴8分∴二面角A—DF—B的大小為60o.9分（Ⅲ）設CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF，∴PQ⊥QF.11分在RtΔPQF中，∠FPQ=60o，PF=2PQ.∵ΔPAQ為等腰直角三角形，∴12分又∵ΔPAF為直角三角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去)即點P是AC的中點.14分方法二（仿上給分）（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系。設，連接NE，則點N、E的坐標分別是（、（0,0,1）,∴NE=(,又點A、M的坐標分別是（）、（∴AM=（∴NE=AM且NE與AM不共線，∴NE∥AM.又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF.（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF.∴為平面DAF的法向量?！逳E·DB=（·=0，∴NE·NF=（·=0得NE⊥DB，NE⊥NF，∴NE為平面BDF的法向量?！郼os<AB,NE>=∴AB與NE的夾角是60o.即所求二面角A—DF—B的大小是60o.（Ⅲ）設P(t,t,0)(0≤t≤)得∴DA=（0，，0，），又∵PF和AD所成的角是60o.∴解得或（舍去），即點P是AC的中點.22．解:(Ⅰ)法一:|eq\o(\s\up8(),FG)|=eq\r((n－c)2+n2)=eq\r(2(n－eq\f(c,2))2+eq\f(c2,2)),當n=eq\f(c,2)時,|eq\o(\s\up8(),FG)|min=eq\r(eq\f(c2,2))=1,所以c=eq\r(2).3分法二:設G(x,y),則G在直線y=x上,所以|eq\o(\s\up8(),FG)|的最小值為點F到直線y=x的距離,即eq\f(|c－0|,eq\r(2))=1,得c=eq\r(2).(Ⅱ)∵eq\o(\s\up8(),PE)=eq\o(\s\up8(),OF)(≠0),∴PE⊥直線x=eq\f(a2,c),又|eq\o(\s\up8(),PF)|=eq\f(c,a)|eq\o(\s\up8(),PE)|(a>c>0).∴點P在以F為焦點,x=eq\f(a2,c)為準線的橢圓上.5分設P(x,y),則有eq\r((x－eq\r(2))2+y2)=eq\f(eq\r(2),a)|eq\f(a2