機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 第4版 課件 第3、4章 瞬態(tài)響應(yīng)及誤差分析、頻率特性分析

第三章 瞬態(tài)響應(yīng)及誤差分析第一節(jié)瞬態(tài)響應(yīng)及系統(tǒng)的輸入信號(hào)第二節(jié)

一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)第三節(jié)

二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)第四節(jié)

瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)第五節(jié) 控制系統(tǒng)的誤差分析與計(jì)算X

i

s

X

o

s

s

規(guī)定一些特殊的試驗(yàn)輸入信號(hào)X

o

s

s

X

i

s

各種系統(tǒng)xo

t

L

Xo

s

L

s

X

i

s

1

1比較各種系統(tǒng)對(duì)這些試驗(yàn)信號(hào)的響應(yīng)時(shí)域分析法：根據(jù)所描述系統(tǒng)的微分方程，以拉普拉斯變換為數(shù)學(xué)工具，直接解出系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，然后根據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式及其描述曲線來分析系統(tǒng)的性能。第一節(jié)

時(shí)間響應(yīng)及系統(tǒng)的輸入信號(hào)一、

時(shí)間響應(yīng)的概念機(jī)械工程系統(tǒng)在外加作用激勵(lì)下，其輸出量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系稱之為系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。瞬態(tài)響應(yīng)：在某外加激勵(lì)作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程。時(shí)間響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：時(shí)間

t

時(shí)，系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定狀態(tài)。二、系統(tǒng)的輸入信號(hào)1.階躍信號(hào)

0, t

0xi(t)

a(a為常數(shù)),t

0階躍信號(hào)的拉氏變換為：L[a]

as當(dāng)a=1時(shí)，為單位階躍信號(hào)。拉氏變換為：L[1(t)]

1s0txi(t)a2.斜坡信號(hào)（速度信號(hào)）

a

t,

t

0x(t)

0, t

0i當(dāng)a=1時(shí)，為單位斜坡信號(hào)。s2斜坡信號(hào)的拉氏變換為：L[at]

a1s2拉氏變換為：L[t

1(t)]

10txi(t)a3.加速度信號(hào)（拋物線信號(hào)）2

at ,

t

0x(t)

0, t

0i當(dāng)a=1/2時(shí)，為單位加速度信號(hào)。s3加速度信號(hào)的拉氏變換為：L[at

2

]

2a2s31

1拉氏變換為：L(

t

)20txi(t)

,

t

0ix

(t)

(t)

0,

t

04.脈沖信號(hào)

（函數(shù)）0

hth1xi(t)單位脈沖信號(hào)的拉氏換L

t

15.正弦信號(hào)

0,

t

0x(t)

i

Asin

t,

t

00txi(t)a

s2

2拉氏變換為：L[

Asin

t]

A

究竟采用哪種典型信號(hào)作為輸入信號(hào)？根據(jù)不同系統(tǒng)的具體工作狀況而定輸入量是隨時(shí)間變化的函數(shù)輸入量是突然變化的輸入量是沖擊量輸入量是隨時(shí)間周期性變化的斜坡信號(hào)階躍信號(hào)脈沖信號(hào)正弦信號(hào)控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)通常是以階躍信號(hào)為輸入信號(hào)定義的。X

i

s

Ts

1一階系統(tǒng)的方框圖：?1s21(t)

st

1δ(t)

1第二節(jié) 一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一、

一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：Xo

s

1 二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)iisx(t)

1(t)X (s)

1eTox

(t))

1

t

(1

1

tiiooX (s)X (s)1

1Ts

1

sX (s)

X (s)

sTT1s

1

Ts1s

11

1

T 2T 3T 4T 5T98.2%95%99.3%86.5%1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線0tx

t

o結(jié)論：一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)T，反映了一階系統(tǒng)慣性的大??；一階系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，無振蕩；在t=0處，響應(yīng)曲線的切線斜率為1/T，可用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)

T；調(diào)整時(shí)間ts=3~4T，響應(yīng)已達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95%~98%；調(diào)整構(gòu)成系統(tǒng)的元件參數(shù)，減小T值，可提高系統(tǒng)的快速性。0.632斜率1/T例3-1 兩個(gè)時(shí)間常數(shù)T值不同的慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)在一起，求其單位階躍響應(yīng)。已知兩環(huán)節(jié)串聯(lián)的傳遞函數(shù)為：Xo

(s)

1 1Xi

(s) 10s

1 s

1解：對(duì)系統(tǒng)輸入單位階躍信號(hào)，即siX (s)

1o單位階躍響應(yīng)的拉氏變換1 1 110s

1 s

1 sX (s)

o將其分解成簡(jiǎn)單因式和的形式

A B

C10s

1 s

1 sX (s)

求解待定系數(shù)A、B、C得：1 1o

X (s)

1

1

10.09

10s

1

9

s

1

s

10.91

1

t10oe

et

19x(t)

取拉氏反變換得系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)o

1

t或：x

(t)

1

1.11e

10

0.11e

t三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)s2iiX

(s)

1x(t)

t

21 1oiiX

o

s

XX ss

X s

Ts

1

s1s

1TTss2

s2

T

1

1

T

s

1T

xo

(t)

t

T

T

e

T

1(t)

1

t

eeTTi oe

T

T

1

e

t

x

t

x

t

t

t

T

T

1

t

1

t

txi

t

te

TeTo

1

t

x

t

t

T

T

1

t

0一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線x

t

四、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)xi(t)

δ(t)X

i

(s)

1

ToTe

1

1

t

x t

1

t

o

o

iiXsXX

s

s

Xs

1 Ts

11

T 1T

s

98.2%95%99.3%86.5%0 B T 2T 3T 4T 5Tx

t

o1T63.2%A10.368Tt五、響應(yīng)之間的關(guān)系

dt

dt

d

t

xt

(t)

t

T

T

e

T

1(t)

t

1eT

1(t)

x

t

1

d

1

t

t

TeT

1(t)

1x (t)

t

t

X

i

s

xi

t

X

o

s

xo

t

1Ts

1第三節(jié) 二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一、

二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。in nX

o

s

ω

2X

s

s2

2ζωs

ω

2X

s

iX

s

o

n ω

2s2

2ζω

s

ω

2n nζ - 阻尼比ωn

無阻尼固有頻率1

n

T

2

s2

2ζTs

1X

s

iX

s

oE

s

-n2n

s

s

2

0二階系統(tǒng)特征方程：

s2

2

s

2n n[s]1.2nns

1.2

2

1

2

1nns

特征方程的根：

s1.2

n(1)

過阻尼

1(2)

臨界阻尼

10

[s]01

2s1.2

n

j

n(3)

欠阻尼0

10[s](4)

零阻尼

0 s1.2

j

n[s]0二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)n

n

j

d1.0

11

2s1.2

n

j

nnj

1

2

n

1

2

tg

0[s]1

2

j

n

2

n onω

1s2

2ζω

s

ω

2

s此時(shí)：X

snbs

c

a

ss2

2ζωs

ω

2n n

d

1

sin

t

1t1

2e

nt

nnodd

ζ ee

ζω

t

ζω

t

cosωt

x t

1

sinωt

1

t

1

ζ

2

求出：a,

b,

c

do

x

t

1

sin

t

1t1

2e

nt衰減振蕩0ζ

1nnn

s

2.

1

j

1

21.2

2

n onω

21ss

s

ω此時(shí)：X

2nnb bas

2

1 s

ω

s

ω不振蕩

nnon

ω

t

ω

tx t

1

ωtee

1

t求出：a,

b2

,

b10ζ

11.2

2

13.

1nns

121 n oω

2s

s

s

s

s

s此時(shí)：X

12s

ts

tox (t)

a

bece

1(t)求出：a,

b,

c12c

a bs s

s s

s不振蕩動(dòng)態(tài)過程更長(zhǎng)0ζ

01.24. ζ

0s

ζω

jω1

ζ

2n n

jωn

n onω

21ss

s2

ω

2此時(shí)：Xns

1

s s2

ω

2xo

t

1

cos

ωn

t

1

t

等幅振蕩三、二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)0

1Xi

s

1xi

t

t

don

ne sin

t

t1

2x (t)

1

1non

te2

tx (t)21o(e

stest

)x (t)

2

2

1

n第四節(jié) 瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)X

o

s

s

X

i

s

二階系統(tǒng)sxo

t

L

X

s

L

s

X

s

1

1o i1(t)

1動(dòng)態(tài)性能？響應(yīng)曲線從0上升到穩(wěn)態(tài)值的100%所用時(shí)間rt響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所用時(shí)間tpts10t在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值上，用穩(wěn)態(tài)值的絕對(duì)百分?jǐn)?shù)做一個(gè)允許誤差范圍，響應(yīng)曲線達(dá)到并且永遠(yuǎn)保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所用的最小時(shí)間pxo

(t)

M

100%o p oxo

x

t

x

欠阻尼

0

1

0.05或0.022s1.2

ζωn

jωn 1

ζ

ζωn

jωdiX

o

s

ω

2X

s

n s2

2ζωs

ω

2n n

do

x

t

1

sin

t

1t1

2e

nt一、上升時(shí)間tr1

2sin

t

0de

nt則：令

xo

t

1

sin

d

t

0

1

2ndr

t

取n

1

do

x

t

1

sin

t

1t1

2e

nt二、峰值時(shí)間tpdxo

t

dt

0令

1

2

ndp求出te

ζωnt

p

xo

tp

1

sin

ωd

tp

β

1

t

1

ζ

2

sin

π

β

sinβ

- 1-ζ

2-

ζπ 1

ζ

2Mp

%

100%

e

100%xo

tp

xo

xo

p三、最大超調(diào)量Msin

1

21

2

1

eeo p2-

1

x

t

1

xo

tp

xo

100%xo

pdπω代入

t

do

x

t

1

sin

t

1t1

2e

nts四、調(diào)整時(shí)間t1ln

0.05

n

n得

ts

=

ln

0.05 1

1

2-

te n

s

2%1

2若令

4nts

-

te n

s令

=5%1

23sn

t

do

x

t

1

sin

t

1t1

2e

nt標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)dr

t

dpt

100%M

p

e1

2-

3nsnst

t

5%

2%

4

例3-3 圖a是一個(gè)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)。當(dāng)有3N的力（階躍輸入）作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)中質(zhì)量m作圖b示的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)這個(gè)響應(yīng)曲線，確定質(zhì)量m，粘性阻尼系數(shù)B和彈簧剛度系數(shù)k的值。a b解：（1）寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。根據(jù)牛頓定律dt

2

dtd

2

x(t)

dx(t)m

B

kx(t)

f

1(t)1F

(s) ms2

Bs

kX(s)

得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：（2）由于階躍力作用sf

3N

，其拉氏變換：F

(s)

31 3ms2

Bs

k sX(s)

k

lim

sX

(s)

3

1由拉氏變換的終值定理可求得：x(t)s

0t

由于：M

p

0.0951

2p代入公式：M

0.095

e

/

n

1.96s

1得：k

3N

/

cm

300N

/

m

0.6t

p

2s1

2

2st

p

/

n

0.6第五節(jié) 控制系統(tǒng)的誤差分析與計(jì)算一、

穩(wěn)態(tài)誤差的定義誤差定義：

e

t

x

t

x

t

or osst

穩(wěn)態(tài)誤差：

e

lim

e

t

X

i

s

X

o

s

H

s

G1

s

s

×-Y

s

s

X

or

s

×

E

s

-1H

s

比較得：

s

E

s

Xor

s

Xo

s

s

Xi

s

Xo

s

s

X

i

s

Y

s

X

i

s

H

s

X

o

s

X

s

X

s

i o1H

s

1H

s

s

s

1H

s

誤差和偏差的關(guān)系：E

s

X

o

s

H

s

G1

s

X

i

s

s

×-Y

s

X

s

orE

s

s

×-

E

s

1

s

往往是一個(gè)常數(shù)，對(duì)于實(shí)際使用的控制系統(tǒng)來說，H

s

求穩(wěn)態(tài)誤差，求出穩(wěn)態(tài)偏差即可E

s

s

單位反饋系統(tǒng)H

s

1，H誤差與偏差有簡(jiǎn)單的比例關(guān)系1X

(s)isse

lime(t)

limsE(s)

lim

st

s

X

s

iX

s

oH

s

-× G

s

1Y

s

×s

0

s

0X

or

s

E

s

s

-1X

(s)G(s)iioorH

(s) 1

G(s)H

(s)X(s)

(s)

X (s)

E(s)

X1X

i

(s)

e

(s)

X

i

(s)H

(s)[1

G(s)H

(s)]

H

(s)[1

G(s)H

(s)]H

s

11iss1

G(s)

lim

s X

(s)e

lime(t)

lim

sE(s)s

0t

s

0例3-4 系統(tǒng)方框如圖，求當(dāng)輸入信號(hào)xi

(t)

t

時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)穩(wěn)定性判別略。輸入信號(hào)xi(t)

t

，其拉氏變換為X

i

(s)

1/

s21X

(s)iss[1

G(s)]s

0

s

0代入公式：e

lim

sE(s)

lim

ssss(s

1)(2s

1) 1

1s(s

1)(2s

1)

K

(0.5s

1)

s

2

Ke

lim

ss

0得穩(wěn)態(tài)誤差為：s

n

m

21T

s

1 Ts

1

G

s

H

s

K

1s

1

2

s

1

X

s

iX

s

o×G

s

-E

s

H

s

二、

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與穩(wěn)態(tài)誤差1.

系統(tǒng)的類型

0,

0型系統(tǒng)

1,

型系統(tǒng)

=2，Ⅱ型系統(tǒng)

的個(gè)數(shù)

12

G

s

K

1s

1

2

s

1

n

m

s T

s

1 Ts

1X

s

iX

s

o×G

s

-E

s

22ix

t

txi

t

1

t

xi

t

t1ess

?1 1sss

0 s

0e =

lim

s

E

s

lim

s1

G

s

sps

0令：K

lim

G

s

靜態(tài)位置誤差系數(shù)

21s

0=

ess

0s Ts

1對(duì)II型系統(tǒng)

KP

=

lim1

=K ess

=s

0K

τ1s

1

T1s

1

1

K對(duì)0型系統(tǒng) KP=

lims

0K

τ1s

1

ess

0s

T1s

1

K

τ1s

1

對(duì)Ι型系統(tǒng) KP=

lim1 1 1ps

0

lim

s

01

G

s

1

lim

G

s

1

K（1）靜態(tài)位置誤差系數(shù)2.

穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差

H

(s)

1xi(t)

1(t)sss2s

0e =

lim

s

1

11

G

s

vs

0令：K

lim

sG

s

靜態(tài)速度誤差系數(shù)11ss

s

0K

s

1

=0 e

Ts

1

對(duì)0型系統(tǒng) K =

lim

s1essKs

0

K

K

1

s

1

s

T1

s

1

對(duì)I型系統(tǒng) K

lim

s

21esss

0

0s T

s

1K

1

s

1

對(duì)II型系統(tǒng) K

=

lim

s1=

limvlim

sG

s

Ks

0

1

1s

0

s

sG

s

（2）靜態(tài)速度誤差系數(shù)xi(t)

t

212ix t

t2lims

G

s

s

0令：Ka

靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka

=

lim

ss

02

K

1s

1

=0 ess

T1s

1

對(duì)0型系統(tǒng)Ka

=

lim

ss

0=0 ess

=

2

K

1s

1

s

T1s

1

對(duì)

型系統(tǒng)

2211Ka

=

lim

s=K ess

=Ks

0K

1s

1

s Ts

1對(duì)

型系統(tǒng)1sss3s

0e =

lim

s

1

G

s

11 =

lims

0s2

s2G

s

alim

s2G

s

Ks

0=

1

1（3）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)1

t

t1t

22K

p

limG

s

s

0Kv

lim

sG

s

s

0K

lim

s2G

s

a s

0系統(tǒng)型別ess

11

Kpess

1Kvess

1Ka0型K

p

Ke

1ss 1

KKv

0ess

Ka

0ess

K

p

ess

0Kv

Ke

1ss KKa

0ess

K

p

ess

0Kv

ess

0Ka

Ke

1ss K3、位置誤差、速度誤差、加速度誤差分別指輸入為階躍、斜坡、加速度信號(hào)時(shí)的輸出位置上的誤差。

ss

ss

, ess

H

0

2、對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，ess

ss對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)，先求出注意：1、系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，否則計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差無意義；t

2例3-5 控制系統(tǒng)的方框圖如圖，若輸入信號(hào)xi

(t)

1(t)

t

2試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)輸入當(dāng)輸入xi

(t)

t2ix(t)

t /

2解：該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中含有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，是Ⅱ型系統(tǒng)。開環(huán)增益為：K1Km因此：當(dāng)輸入

xi

(t)

1(t)

時(shí)，ess1

0時(shí)，ess2

01 m時(shí)，ss3e

1/

K

1/

K

K所以系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：ess

ess1

ess2

ess3

1/K1Km三、

干擾作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差X

s

iX

s

o×G2

s

H

s

-G1

s

×N

s

Y

s

E

s

令xi

t

0,系統(tǒng)只存在擾動(dòng)EN

(s)

Xor

(s)

XoN

(s)

0

XoN

(s)N

(s)N1

G2

(s)G1

(s)H

(s)

G2(s)E (s)

2 1N

(s)NssnsG2

(s)e

lim

sE (s)

lims

01

G (s)G(s)H

(s)s

0系統(tǒng)的總誤差為輸入引起誤差和干擾引起誤差的和：ess

essi

essn1iX (s)s

0

lim

sH

(s)[1

G(s)H

(s)]N

(s)

sG2

(s)s

0

1

G2

(s)G1

(s)H

(s)+ lim例3-6 系統(tǒng)的負(fù)載變化往往是系統(tǒng)的主要干擾，已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖示，試分析N(s)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的影響。解：由系統(tǒng)方框圖得到系統(tǒng)輸出為：Xo

(s)

N(s)

E(s)G(s)

N(s)

[Xi

(s)

H

(s)Xo

(s)]G(s)N

(s)

G(s)ioX

(s)1

G(s)H

(s) 1

G(s)H

(s)整理后得：X (s)

擾動(dòng)信號(hào)的影響N

(s)1

G(s)H

(s)設(shè)Xi

(s)

0,則X

o

(s)

則：E(s)

Xi

(s)

H

(s)Xo

(s)

H

(s)Xo

(s)H

(s)N

(s)E(s)

X

i

(s)

H

(s)

X

o

(s)

H

(s)

X

o

(s)

=

1

G(s)H

(s)N

(s)ss1

G(s)H

(s)H

(s)e

limsE(s)

lim

ss

0

s

0如果擾動(dòng)信號(hào)為單位階躍函數(shù)，擾動(dòng)信號(hào)引起的誤差：ss

H

(s) 1

H

(0)1

G(s)H

(s)

s 1

G(0)H

(0)e

lim

ss

0若：G(0)H

(0)

1sslim

G(s)

G(0)s

0

1

1

則有：e顯然：干擾作用點(diǎn)前的前向通道傳遞函數(shù)值越大，由干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差就越小。為了減低由干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差可以增大干擾作用點(diǎn)前的前向通道傳遞函數(shù)值或在干擾作用點(diǎn)前引入積分環(huán)節(jié)，但這樣對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是不利的。時(shí)域分析方法是根據(jù)所描述系統(tǒng)的微分方程，以拉普拉斯變換為數(shù)學(xué)工具，直接解出系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，再根據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式及其描述曲線來分析系統(tǒng)的性能時(shí)間響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、瞬態(tài)響應(yīng)及不同類型信號(hào)的特點(diǎn)一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及影響一階系統(tǒng)性能的參數(shù)二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及影響二階系統(tǒng)性能的參數(shù)二階控制系統(tǒng)性能指標(biāo)計(jì)算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)—穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算，靜態(tài)誤差系數(shù)及系統(tǒng)型別的關(guān)系。本章小結(jié)課后作業(yè)P82：4，5，6，7P83：10，11，12，13，14第四章 頻率特性分析第一節(jié)頻率特性的基本概念第二節(jié) 頻率特性的圖示法第三節(jié) 系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性第四節(jié) 頻域性能指標(biāo)及其與時(shí)域性能指標(biāo)間的關(guān)系第五節(jié) 頻率實(shí)驗(yàn)法估計(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

時(shí)域分析：

重點(diǎn)研究過渡過程，通過階躍或脈沖輸入下系統(tǒng)的瞬態(tài)時(shí)間響應(yīng)來研究系統(tǒng)的性能，獨(dú)立變量t。

頻域分析：

通過系統(tǒng)在不同頻率ω的諧波（正弦）輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來研究系統(tǒng)的性能，獨(dú)立變量ω

。頻率特性是又一種數(shù)學(xué)模型頻率特性分析是用圖解的方法，通過系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，間接地分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。0ui

t

F

s

=

F

f

t

F

sin

ts2

21

kX

= sin

t

arctg

T

T

2

1對(duì)上式拉氏反變換，穩(wěn)態(tài)后：=A

sin

t

系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)第一節(jié)

頻率特性的基本概念一、

概念

1kTs

1kB

s

11k

X

(s)

1

F

(s) Bs

k1kF

X

(s)=Ts

1s2

2uo

t

一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，輸入正弦信號(hào)時(shí)，輸出穩(wěn)定后也是同頻正弦信號(hào)，并且輸出信號(hào)的振幅和相位均為輸入信號(hào)頻率的函數(shù)。X

s

G

s

0tX

Y

ω

X

x(t)

X

sin

tY

s

y

t

Y

(ω)

sin[ωt

φ(ω)]頻率特性是線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比的關(guān)系特性，又稱做正弦傳遞函數(shù)。j

(

)F

Im

e

j

tX

Im

e

j

t

e

j

(

)f

(t)x(t)

A(

)e

G(j

)

幅頻特性相頻特性二、頻率特性的求取及表示方法1、頻率特性的求?。?）微分方程（或傳遞函數(shù)），輸入正弦信號(hào)，求穩(wěn)態(tài)解；（2）由傳遞函數(shù)求（用jw代替s）；（3）實(shí)驗(yàn)法。2、頻率特性的表示方法0U

A

G

j

UVjV

(1)復(fù)數(shù)表示法：G

j

U

jV

頻率特性 實(shí)頻特性 虛頻特性V

A

G

j

U

2

V

2

G

j

=arctgU

(2)指數(shù)表示法：G

j

A

e

j

幅頻特性 相頻特性三、頻率特性的物理意義和數(shù)學(xué)本質(zhì)

1k 0.11

j

T 1

j

G(j

)

例4-2 圖示機(jī)械系統(tǒng)中，輸入幅值為1N的正弦力，兩種頻率下

f

(t)

sin

t和f

(t)

sin100t

時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位移輸出。其中

k

10N

/

m,

B

10N

s

/

m解：

由頻率特性的幅值和相角來求穩(wěn)態(tài)位移輸出，系統(tǒng)的頻率特性可直接由其傳遞函數(shù)獲得，即：20.1

0.11

2T

2

1s

1時(shí),A(

)

11

j

T

(

)

k

45

2x(t)

0.1sin(t

45

)

100s

1時(shí)1000.1

0.11

1002A(

)

100x(t)

0.1

sin(100t

89.4

)

(

)

arctg100

89.4

系統(tǒng)的位移幅值隨著輸入力的頻率增大而減小，同時(shí)位移的相位滯后量也隨頻率的增高而加大。1、頻率特性的物理意義（1）頻率特性表示了系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的復(fù)觀能力和跟蹤能力；（2）系統(tǒng)中含有儲(chǔ)能元件，所以頻率特性隨頻率而變化；（3）頻率特性取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身，與外界因素?zé)o關(guān)。2、頻率特性的數(shù)學(xué)本質(zhì)以不同的數(shù)學(xué)形式表達(dá)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，它們從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內(nèi)在運(yùn)動(dòng)規(guī)律。第二節(jié)

頻率特性的圖示法一、幅相頻率特性曲線G

j

是輸入頻率

的復(fù)變函數(shù)，當(dāng)

從0逐漸增長(zhǎng)至

時(shí)，G

j

作為一個(gè)矢量，其端點(diǎn)在復(fù)平面相應(yīng)的軌跡就是頻率響應(yīng)的極坐標(biāo)圖，又稱Nyquist

圖或幅相頻率特性曲線。1、典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線（1）比例環(huán)節(jié)0UjV

G

j

G

j

KA(

)

K

0

K（2）一階慣性環(huán)節(jié)1

(

)

arctan

TA(

)

1

j

T11

T

2G

j

G

j

jV2G

j

0

0 G

j

1

0

0

01

U2（4）積分環(huán)節(jié)

1

A(

)

1j

G

j

0

G

j

jV0U0U

0jV

G

j

（3）微分環(huán)節(jié)2

A(

)

G

j

j

（5）二階振蕩環(huán)節(jié)11T2

T

G

j

1T

2

j

2

2

T

j

1A(

)

1

T

2

2

2

2

T

2

arctan

2

T

1

1

T

2

2

(

)

arctanT

1

T

2

2

n

n

n

0

1

0 G

j

1

0

G

j

0

0jV

G

j

U

（6）一階復(fù)合微分環(huán)節(jié)G

j

1

j

A(

)

1

(

)2

(

)

arctan(

)（7）二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)

G

j

0U0jV12

2

1

G

j

2

j

2

2

j

1A(

)

1

2

2

2

2

2

arctan

1

1

2

2

(

)

arctan

1

2

2

0

G

j

jVU

0

0（8）延遲環(huán)節(jié)1G

j

e

j

TA(

)

1

(

)

T

0 G

j

1

0

G

j

1

0

G

j

jVU2、幅相頻率特性曲線繪制步驟2.寫出A(

)

和

(

)

的表達(dá)式；3.分別求出

0

和

時(shí)的

G

j

4.求奈氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn)；5.求奈氏圖與虛軸的交點(diǎn)；6.在0

范圍內(nèi)，取點(diǎn)分別求出A(

),

(

)；7.勾畫出大致曲線。1.令s

j

,

將傳遞函數(shù)寫成頻率特性的形式

mmnnbam

1n

1jω

b

jω

m

1

b1jω

b0G

jω

m

n

jω

a

jω

n

1

a1jω

a0

1 222212

arctan

T1

arctan

T2

arctan

arctan

(

)

1

T

1

T

K 1

2 1

2

A(

)

1 2

1212λ

K

jωτ

1

jωτ

1jω jωT

1jωT

1n階系統(tǒng)

λ

0 0型系統(tǒng)λ

1 I

型系統(tǒng)λ

2 II

型系統(tǒng)對(duì)于一般線性定常系統(tǒng)，其頻率特性為：3、控制系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線的繪制

0，G

j

0，漸進(jìn)于平行于負(fù)實(shí)軸的線段

2

0

時(shí)：

G

j

K

（1）低頻段

0，G

j

K

0

2

1，G

j

K

K

2, G

j

2

2

0，G

j

0，漸進(jìn)于平行于負(fù)虛軸的線段

12

G

j

=K

j

1

1

j

2

1

j

j

T

1j

T

1

0

20

G

j

K

0

=0

0

=11 2T1T2

K

1

2

n

m A(

)

0n

m A(

)

K

1

2

2

n

m

G

j

TT

n

mn

m

1n

m

2n

m

3（2）高頻段

12

G

j

=K

j

1

1

j

2

1

j

j

T

1j

T

1

0G

j

二、對(duì)數(shù)幅頻、相頻特性曲線（Bode）圖

0.1 1 101000-20L

20lg

A(

)40 單位：dB20

1

180

90

0

90

180

十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程0.1十倍頻程十倍頻程001101. 典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻、相頻特性曲線（Bode圖）（1）比例環(huán)節(jié)G

j

KL

20

lg

A(

)

20

lg

K

)(

00

L

K=1K>10

K<1 （2）一階慣性環(huán)節(jié)1L

ω

20

lg

20

lg

1

ωT

21

ωT

2

90

0

L

0

T110TT

100

2020dB

dec

arctan

T

0 L

0dB

0

L

20

lg

T

90

4520

lg 2

TTT3dB

45T

1

L

1G

jω

1

jωT（3）微分環(huán)節(jié)G

j

j

L

20

lg

(

)

90

L

0 0.11012090020dB

dec

（4）積分環(huán)節(jié)

L

20

lg

1

20

lg

j

G

j

1

L

0101200

0.1

1

2

(

)

180

40

lg

L

20

lg1

j

2G

j

(

)

90

二重積分-2020dB

dec40dB

dec

90

180

（5）二階振蕩環(huán)節(jié)

arctan

12 22 2

22

1

T

(

)

arctan

2

T

1

T

2

T

1

T

2

2

2

2

T

2L

20

lgT j

2

T

j

1G

j

0

L

1T10T-4040dB

dec0

90

180

0

0 L

0dB

L

20

lg

T

2

40

lg

T

180

n

90

1T（6）一階復(fù)合微分環(huán)節(jié)L

20

lg

1

2

(

)

arctan

45

0

L

1

10

20020dB

decG

j

1

j

0 L

0dB

0

L

20

lg

90

TTT2

3dB

45

1 L

20

lg

90

（7）二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)

1

2

2

2

arctan1

2

2arctan

2

(

)

L

20

lg

1

2

2

2

2

290

0

L

1 10

100

40040dB

decG

j

2

(

j

)2

2

(

j

)

1

0

0 L

0dB

90

L

20

lg

TT

1

90

180

G

j

e

j

L

20

lg1

0

(

)

0

（8）延時(shí)環(huán)節(jié)L

00.1 1 10 100

第三節(jié)

系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)于一般線性定常系統(tǒng)：

1 2λK

jωτ1

1

jωτ2

1

G

jω

m

n

jω jωT

1jωT

1121 22

φ(ω)

arctgωτ

arctgωτ

λ

π

arctgωT

arctgωT

2221

1

T

1

T

K 1

2

1

2

A(

)

1 2

221 21

T

1

T

20