等差數(shù)列前項和性質(zhì)

關(guān)于等差數(shù)列前項和性質(zhì)等差數(shù)列通項公式an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d等差數(shù)列定義an+1-an=d(n∈N*)a、b、c成等差數(shù)列

2b=a+c

b為a、c的等差中項復(fù)習回顧第2頁,共31頁，2024年2月25日，星期天等差數(shù)列的前n項和公式:形式1:形式2:復(fù)習回顧第3頁,共31頁，2024年2月25日，星期天1.將等差數(shù)列前n項和公式

看作是一個關(guān)于n的函數(shù)，這個函數(shù)有什么特點？當d≠0時,Sn是常數(shù)項為零的二次函數(shù)則Sn=An2+Bn令第4頁,共31頁，2024年2月25日，星期天例1、若等差數(shù)列{an}前4項和是2，前9項和是－6，求其前n項和的公式。，解得：解：設(shè)首項為a1，公差為d，則有：∴第5頁,共31頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)Sn=an2+bn，依題意得：S4=2,S9=－6,即解得：另解：第6頁,共31頁，2024年2月25日，星期天例1

已知數(shù)列{an}中Sn=n2+3n，求an例2

已知數(shù)列{an}中Sn=n2+3n+1，求an第7頁,共31頁，2024年2月25日，星期天

若數(shù)列是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，公差為k2d

為也等差數(shù)列.第8頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共31頁，2024年2月25日，星期天等差數(shù)列的前n項的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴當n=7時,Sn取最大值49.第10頁,共31頁，2024年2月25日，星期天等差數(shù)列的前n項的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴當n=7時,Sn取最大值49.則Sn的圖象如圖所示又S3=S11所以圖象的對稱軸為7n113Sn第11頁,共31頁，2024年2月25日，星期天等差數(shù)列的前n項的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴當n=7時,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得第12頁,共31頁，2024年2月25日，星期天∴a7+a8=0等差數(shù)列的前n項的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴當n=7時,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0第13頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共31頁，2024年2月25日，星期天求等差數(shù)列前n項的最大(小)的方法方法1:由利用二次函數(shù)的對稱軸求得最值及取得最值時的n的值.方法2:利用an的符號①當a1>0,d<0時,數(shù)列前面有若干項為正,此時所有正項的和為Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②當a1<0,d>0時,數(shù)列前面有若干項為負,此時所有負項的和為Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.第15頁,共31頁，2024年2月25日，星期天練習:已知數(shù)列{an}的通項為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項和最大,則n的值為()A.12B.13C.12或13D.14C第16頁,共31頁，2024年2月25日，星期天3.已知數(shù)列{an}是正數(shù)數(shù)列，且(1)求證{an}是等差數(shù)列；第17頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共31頁，2024年2月25日，星期天等差數(shù)列前項和的最值問題：

第21頁,共31頁，2024年2月25日，星期天若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項的和分別為Sn和Tn,則第22頁,共31頁，2024年2月25日，星期天兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別是Sn和Tn,且求第23頁,共31頁，2024年2月25日，星期天5.等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)（4）第24頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共31頁，2024年2月25日，星期天