矩陣論標準形

關(guān)于矩陣論標準形機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束1.3Jordan標準形

一、

-

矩陣二、Jordan標準形

三、Jordan標準形簡單應(yīng)用目標：發(fā)展一個所有方陣都能與之相似的矩陣結(jié)構(gòu)----Jordan矩陣。第2頁,共98頁，2024年2月25日，星期天1.定義設(shè)

P

是一個數(shù)域，

是一個文字，作多項式環(huán)P[

].一個矩陣，如果它的元素是

的多項式，即P[

]的元素,就稱為

-矩陣.討論

-

矩陣的一些性質(zhì)，并用這些性質(zhì)來證明上關(guān)于若爾當標準形的主要定理.因為數(shù)域

P

中的數(shù)也是

P[

]的元素，所以在

-矩陣中也包括以數(shù)為元素的矩陣.一、

-

矩陣第3頁,共98頁，2024年2月25日，星期天矩陣稱為數(shù)字矩陣.以下用

A(

)，B(

)，…等表示

-矩陣.我們知道，

P[

]中的元素可以作加、減、乘三種運算,并且它們與數(shù)的運算有相同的運算規(guī)律.而矩陣加法與乘法的定義只是用到其中元素的加法與乘法，因此，我們可以同樣定義

-矩陣的加法與乘法,它們與數(shù)字矩陣的運算有相同的運算規(guī)律.把以數(shù)域

P

中的數(shù)為元素的第4頁,共98頁，2024年2月25日，星期天行列式的定義也只用到其中元素的加法與乘法,因此,同樣可以定義一個

n

n

的

-矩陣的行列式.一般地，

-矩陣的行列式是

的一個多項式,它與數(shù)字矩陣的行列式有相同的性質(zhì).例如,對于

-矩陣的行列式，矩陣乘積的行列式等于行列式的乘積，這一結(jié)論，顯然是對的.既然有行列式，也就有

-矩陣的子式的概念.利用這個概念，我們有秩和可逆矩陣等。第5頁,共98頁，2024年2月25日，星期天秩

如果

-矩陣

A(

)中有一個

r(r

1)級子式不為零，而所有

r+1級子式(如果有的話)全為零，則稱

A(

)的秩為

r.零矩陣的秩規(guī)定為零?？赡婢仃?/p>

一個

n

n的

-矩陣

A(

)稱為可逆的，如果有一個

n

n的

-矩陣使A(

)B(

)=B(

)A(

)=E,(1)這里

E是

n

級單位矩陣.適合

(1)的矩陣

B(

)(它是唯一的)稱為

A(

)的逆矩陣，記為

A-1(

).第6頁,共98頁，2024年2月25日，星期天定理1

一個

n

n的

-矩陣

A(

)是可逆的

充分必要條件是行列式

|A(

)|是一個非零數(shù).證明先證充分性.設(shè)d=|A(

)|

是一個非零的數(shù).A*(

)是

A(

)的伴隨矩陣，它也是一個

-矩陣

，而因此，

A(

)可逆.第7頁,共98頁，2024年2月25日，星期天再證必要性.設(shè)

A(

)可逆，則有A(

)B(

)=B(

)A(

)=E,上式兩邊取行列式，得|A(

)||B(

)|=|E|=1.因為

|A(

)|與

|B(

)|都是

的多項式，所以由它們的乘積是

1可以推知，它們都是零次多項式，也就是非零的數(shù).證畢第8頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例1

求下列

-矩陣的秩秩為3秩為2第9頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例2

下列

-矩陣中，哪些是可逆的？若可逆求其逆矩陣.第10頁,共98頁，2024年2月25日，星期天初等變換的定義定義下面的三種變換叫做

-矩陣的初等變換：(1)矩陣的兩行(列)互換位置；(2)矩陣的某一行(列)乘以非零常數(shù)

c

；(3)

矩陣的某一行(列)加另一行(列)的

(

)倍，

(

)是一個多項式.和數(shù)字矩陣的初等變換一樣，可以引進初等矩陣.2.-矩陣的Smith標準形第11頁,共98頁，2024年2月25日，星期天三種初等變換對應(yīng)三個初等矩陣

i

行

j

行

i

列

j

列第12頁,共98頁，2024年2月25日，星期天

i

行

j

行

i

列

j

列第13頁,共98頁，2024年2月25日，星期天

i

行

i

列第14頁,共98頁，2024年2月25日，星期天同樣地，對一個s

n

的

-矩陣A(

)作一次初等行變換就相當于在A(

)的左邊乘上相應(yīng)的s

s

初等矩陣；對A(

)作一次初等列變換就相當于在A(

)的右邊乘上相應(yīng)的n

n

的初等矩陣.初等矩陣都是可逆的，并且有P(i,j)-1=P(i,j),P(i(c))-1=P(i(c-1

)),P(i,j(

))-1=P(i,j(-

)).第15頁,共98頁，2024年2月25日，星期天由此得出初等變換具有可逆性：設(shè)

-矩陣A(

)用初等變換變成B(

)，這相當于對A(

)左乘或右乘一個初等矩陣.再用此初等矩陣的逆矩陣來乘B(

)就變回A(

)，而這逆矩陣仍是初等矩陣，因而由B(

)可用初等變換變回A(

).我們還可以看出在第二種初等變換中，規(guī)定只能乘以一個非零常數(shù)，這也是為了使P(i(c))

可逆的緣故.第16頁,共98頁，2024年2月25日，星期天

-矩陣的等價定義

-矩陣

A(

)稱為與

B(

)等價，可以經(jīng)過一系列初等變換將

A(

)化為

B(

).等價的性質(zhì):

等價是

-矩陣之間的一種等價關(guān)系。如果

-

矩陣等價的條件：矩陣

A(

)與

B(

)等價的充分必要條件是有一系列初等矩陣

P1,P2,…,Pl,Q1,Q2,…,Qs

使A(

)=P1

P2…Pl

B(

)Q1Q2…Qs.第17頁,共98頁，2024年2月25日，星期天

-矩陣的標準形本段主要是證明任意一個

-矩陣可以經(jīng)過初等變換化為Smith標準形.引理設(shè)

-矩陣A(

)的左上角元素

a11(

)0，并且

A(

)中至少有一個元素不能被它除盡，那么一定可以找到一個與

A(

)等價的矩陣

B(

)，它的左上角元素也不為零,但是次數(shù)比

a11(

)的次數(shù)低.

第18頁,共98頁，2024年2月25日，星期天證明根據(jù)A(

)中不能被a11(

)除盡的元素所在的位置，分三種情況來討論：1)

若A(

)的第一列中有一個元素ai1(

)不能被a11(

)除盡，則有ai1(

)=a11(

)q(

)+r(

),其中余式r(

)0，且次數(shù)比a11(

)的次數(shù)低.對A(

)作初等行變換.把A(

)的第i

行減去第1行的q(

)倍，得：第19頁,共98頁，2024年2月25日，星期天再將此矩陣的第1行與第i

行互換，得：B(

)左上角元素r(

)符合引理的要求，故B(

)即為所求的矩陣.第20頁,共98頁，2024年2月25日，星期天2)

在A(

)的第一行中有一個元素a1i

(

)不能被a11(

)除盡，這種情況的證明與1)類似，但是對A(

)進行的是初等列變換.3)

A(

)的第一行與第一列中的元素都可以被a11(

)除盡，但A(

)中有另一個元素aij

(

)(i>1,j>1)不能被a11(

)除盡.設(shè)ai1

(

)=a11(

)

(

).對A(

)作下述初等行變換：第21頁,共98頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共98頁，2024年2月25日，星期天=A1(

).矩陣A1(

)的第一行中，有一個元素ai

j(

)+(1-

(

))a1j(

)不能被左上角元素a11(

)除盡，這就化為已經(jīng)證明了的情況2).證畢第23頁,共98頁，2024年2月25日，星期天定理2

任意一個非零的

s

n

的

-矩陣A(

)都等價于下列形式的矩陣其中

r

1,di(

)(i=1,2,…,r-1)是首項系數(shù)為

1的多項式，且di(

)|di+1(

)(i=1,2,…,r-1).第24頁,共98頁，2024年2月25日，星期天證明經(jīng)過行列調(diào)動之后，可以使得A(

)的左上角元素a11(

)0，如果a11(

)不能除盡A(

)的全部元素，由可以找到與A(

)等價的B1(

)，它的左上角元素b1(

)0，并且次數(shù)比a11(

)低.如果b1(

)還不能除盡B1(

)的全部元素,由引理，又可以找到與B1(

)等價的B2(

)，它的左上角元素b2(

)0，并且次數(shù)比b1(

)低.如此下去，將得到一系列彼此等價的

-矩陣A(

),B1(

),B2(

),….它們的左上角元素皆不為零，而第25頁,共98頁，2024年2月25日，星期天且次數(shù)越來越低.但次數(shù)是非負整數(shù)，不可能無止境地降低.因此在有限步以后，我們將終止于一個

-矩陣Bs(

)，它的左上角元素bs(

)0，而且可以除盡Bs(

)的全部元素bij(

)，bij(

)=bs(

)qij(

)，對Bs(

)作初等變換：即第26頁,共98頁，2024年2月25日，星期天在右下角的

-矩陣A1

(

)中，全部元素都是可以被bs(

)除盡的,因為它們都是Bs(

)中元素的組合.如果A1(

)O，則對于A1(

)可以重復(fù)上述過程，進而把矩陣化成第27頁,共98頁，2024年2月25日，星期天其中d1(

)

與d2(

)都是首項系數(shù)為1的多項式(d1(

)與bs(

)只差一個常數(shù)倍數(shù))，而且d1(

)|d2(

)，d2(

)能除盡A2(

)的全部元素.如此下去，A(

)最后就化成了所要求的形式.證畢最后化成的這個矩陣稱為A(

)的標準形.第28頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例3

用初等變換把下列

-矩陣化為標準形.第29頁,共98頁，2024年2月25日，星期天行列式因子在上一段，我們討論了

-矩陣的標準形，其主要結(jié)論是：任何

-矩陣都能化成標準形.但是矩陣的標準形是否唯一呢？答案是肯定的.為了證明唯一性，要引入矩陣的行列式因子的概念.3.行列式因子與不變因子不變因子第30頁,共98頁，2024年2月25日，星期天設(shè)

-矩陣

A(

)的秩為

r

，對于正整數(shù)k，1

k

r

，A(

)中必有非零的

k

級子式.A(

)中全部

k

級子式的首項系數(shù)為

1的最大公因式Dk(

)稱為A(

)的

k

級行列式因子.由定義可知，對于秩為

r

的

-矩陣，行列式因子一共有

r

個.行列式因子的意義就在于，它在初等變換下是不變的.行列式因子第31頁,共98頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)定理3

等價的

-矩陣具有相同的秩與相同的各級行列式因子.證明我們只要證明，

-矩陣經(jīng)過一次初等行變換，秩與行列式因子是不變的.設(shè)

-矩陣A(

)經(jīng)過一次初等行變換變成B(

),f(

)與g(

)分別是A(

)與B(

)的k

級行列式因子.我們證明f(

)=g(

).下面分三種情形討論.第32頁,共98頁，2024年2月25日，星期天1)

A(

)

經(jīng)初等行變換(1)變成B(

).這時B(

)的每個k

級子式或者等于A(

)的某個k

級子式,者與A(

)的某一個k

級子式反號,因此f(

)是B(

)的k

級子式的公因式，從而f(

)|g(

).2)

A(

)

經(jīng)初等行變換(2)變成B(

).

這時B(

)的每個k

級子式或者等于A(

)的某個k

級子式,者等于A(

)的某一個k

級子的c

倍,因此f(

)是B(

)的k

級子式的公因式，從而f(

)|g(

).或或第33頁,共98頁，2024年2月25日，星期天3)

A(

)

經(jīng)初等行變換(3)變成B(

).這時B(

)中那些包含i

行與j

行的k

級子式和那些不包含i

行的k

級子式都等于A(

)

中對應(yīng)的k

級子式；B(

)中那些包含i

行但不包含j

行的k

級子式，按i

行分成兩部分，而等于A(

)

的一個

k

級子式與另一個k

級子式的

(

)倍的和，也就是A(

)

的兩個k級子式的組合.因此f(

)是B(

)的k

級子式的公因式，從而f(

)|g(

).第34頁,共98頁，2024年2月25日，星期天對于列變換，可以完全一樣地討論.總之，如果A(

)

經(jīng)一次初等變換變成B(

)，那么f(

)|g(

).但由于初等變換是可逆的，B(

)也可以經(jīng)一次初等變換變成A(

).由上討論，同樣應(yīng)有g(shù)(

)|f(

).于是f(

)=g(

).當A(

)

的全部k

級子式為零時，B(

)的全部k

級子式也就為零；反之亦然.因此，A(

)與B(

)既有相同的各級行列式因子，又有相同的秩.證畢第35頁,共98頁，2024年2月25日，星期天標準形的唯一性標準形的行列式因子設(shè)標準形為其中

d1(

),d2(

),…,dr(

)是首項系數(shù)為1的多項式，且

di(

)|di+1(

)(i=1,2,…,r-1).不難證明,第36頁,共98頁，2024年2月25日，星期天在這種形式的矩陣中，如果一個

k

級子式包含的行與列的標號不完全相同，那么這個

k

級子式一定為零.因此，為了計算

k

級行列式因子，只要看由i1,i2,…,ik

行與

i1,i2,…,ik列

(1

i1

i2

…

ik

r)組成的

k級子式就行了，而這個k

級子式等于顯然，這種

k級子式的最大公因式就是第37頁,共98頁，2024年2月25日，星期天定理4

-矩陣的標準形是唯一的.證明設(shè)(1)是

A(

)的標準形.由于A(

)與

(1)等價，它們有相同的秩與相同的行列式因子，因此，A(

)的秩就是標準形的主對角線上非零元素的個數(shù)

r;A(

)的

k

級行列式因子就是第38頁,共98頁，2024年2月25日，星期天于是(3)這說明

A(

)的標準形

(1)的主對角線上的元素是被A(

)的行列式因子所唯一確定的，所以

A(

)的標準形是唯一的.證畢第39頁,共98頁，2024年2月25日，星期天不變因子定義

標準形的主對角線上非零元素d1(

),d2(

),…,dr(

)稱為

-矩陣

A(

)的不變因子.性質(zhì)定理5

兩個

-矩陣等價的充分必要條件是

它們有相同的行列式因子，或者，它們有相同的不變因子.第40頁,共98頁，2024年2月25日，星期天證明等式（2）與（3）給出了

-矩陣的行列式因子與不變因子之間的關(guān)系.這個關(guān)系式說明行列式因子與不變因子是相互確定的.因此，說兩個矩陣有相同的各級行列式因子，就等于說它們有相同的各級不變因子.必要性已由定理3證明。充分性是很明顯的.因為若

-矩陣A(

)與B(

)有相同的不變因子，則

A(

)與

B(

)和同一個標準形等價，因而它們也等價.證畢第41頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例4

試求下列矩陣的不變因子:第42頁,共98頁，2024年2月25日，星期天第43頁,共98頁，2024年2月25日，星期天定義現(xiàn)在我們假定討論中的數(shù)域是復(fù)數(shù)域C.上面已經(jīng)看到，不變因子是矩陣的相似不變量.為了得到若爾當標準形，再引入初等因子。把矩陣

A

(或線性變換A)的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪(相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算)稱為矩陣

A(或線性變換

A)的初等因子.4.初等因子第44頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例如設(shè)12級矩陣的不變因子是(

-1)2(

+1)(

2+1)2.1,1,…,1,(

-1)2,(

-1)2(

+1),9個按定義，它的初等因子有

7個，即(

-1)2,(

-1)2,(

-1)2,(

+1),(

+1),(

-i)2,(

+i)2.其中

(

-1)2

出現(xiàn)三次，

+1出現(xiàn)二次.第45頁,共98頁，2024年2月25日，星期天不變因子與初等因子的關(guān)系首先，假設(shè)

n

級矩陣

A

的不變因子d1(

),d2(

),…,dn(

)為已知.將

di(

)(i=1,2,…,n)分解成互不相同的一次因式方冪的乘積：第46頁,共98頁，2024年2月25日，星期天則其中對應(yīng)于

kij

1的那些方冪就是

A

的全部初等因子.我們注意到不變因子有一個除盡一個的性質(zhì)，即

di(

)|di+1(

)(i=1,2,…,n-1),從而第47頁,共98頁，2024年2月25日，星期天因此在

d1(

),d2(

),…,dn(

)的分解式中，屬于同一個一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質(zhì)，即k1j

k2j

…knj

(j=1,2,…,r).這說明，同一個一次因式的方冪作成的初等因子中方次最高的必定出現(xiàn)在

dn(

)的分解式中，方次次高的必定出現(xiàn)在

dn-1(

)的分解式中.如此順推下去，可知屬于同一個一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的.第48頁,共98頁，2024年2月25日，星期天上面的分析給了我們一個如何從初等因子和矩陣的級數(shù)唯一地作出不變因子的方法.設(shè)一個

n

級矩陣的全部初等因子為已知，在全部初等因子中將同一個一次因式

(-j)(j=1,2,…,r)的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當這些初等因子的個數(shù)不足

n

時，就在后面補上適當個數(shù)的1，使得湊成

n

個.設(shè)所得排列為第49頁,共98頁，2024年2月25日，星期天于是令則

d1(

),d2(

),…,dn(

)就是

A的不變因子.這也說明了這樣一個事實：如果兩個同級的數(shù)字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變因子，因而它們相似.反之，如果兩個矩陣相似，則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初等因子.第50頁,共98頁，2024年2月25日，星期天綜上所述，即得：定理8

兩個同級復(fù)數(shù)矩陣相似的充分必要條是它們有相同的初等因子.初等因子的求法初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量.但是初等因子的求法與不變因子的求法比較，反而方便一些.第51頁,共98頁，2024年2月25日，星期天在介紹直接求初等因子的方法之前，先來說明關(guān)于多項式的最大公因式的一個性質(zhì)：如果多項式

f1(

)，f2(

)都與

g1(

)，g2(

)互素，則(f1(

)g1(

),f2(

)g2(

))=(f1(

),f2(

))

(g1(

),g2(

)).事實上，令(f1(

)g1(

),f2(

)g2(

))=d(

),(f1(

),f2(

))=d1(

),(g1(

),g2(

))=d2(

).顯然，d1(

)|d(

),d2(

)|d(

).由于

(f1(

),g1(

))=1,故(d1(

),d2(

))=1，因而d1(

)d2(

)|d(

).第52頁,共98頁，2024年2月25日，星期天另一方面，由于d(

)|f1(

)g1(

),可令d(

)=f(

)g(

),其中

f(

)|f1(

),g(

)|g1(

).由于(f1(

),g2(

))=1,故

(f

(

),g2(

))=1.由

f(

)|f2(

)g2(

)又得

f(

)|f2(

)，因而f(

)|d1(

).同理

g(

)|d2(

).所以d(

)|d1(

)d2(

).于是d(

)=d1(

)d2(

).證畢第53頁,共98頁，2024年2月25日，星期天引理設(shè)如果多項式

f1(

)，f2(

)都與

g1(

)，g2(

)互素，則A(

)和

B(

)等價.第54頁,共98頁，2024年2月25日，星期天下面的定理給了我們一個求初等因子的方法，它不必事先知道不變因子.定理9

首先用初等變換化特征矩陣

E-A

為對角形式，然后將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，式的方冪(相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算)就是

A

的全部初等因子.則所有這些一次因第55頁,共98頁，2024年2月25日，星期天證明設(shè)

E-A

已用初等變換化為對角形其中每個

hi(

)的最高項系數(shù)都為

1.將

hi(

)分解成互不相同的一次因式方冪的乘積：第56頁,共98頁，2024年2月25日，星期天我們現(xiàn)在要證明的是，對于每個相同的一次因式的方冪在

D(

)的主對角線上按遞升冪次排列后，得到的新對角矩陣

D

(

)與

D(

)等價.此時

D

(

)就是

E-A的標準形而且所有不為1的就是

A

的全部初等因子.第57頁,共98頁，2024年2月25日，星期天為方便起見，先對

-

1

的方冪進行討論.令于是而且每個都與

gj(

)(j=1,2,…,n)互素.如果有相鄰的一對指數(shù)

ki1>ki+1,1,則在

D(

)中將與對調(diào)位置，而其余因式保持不動.根據(jù)第58頁,共98頁，2024年2月25日，星期天與等價.從而

D(

)與對角矩陣第59頁,共98頁，2024年2月25日，星期天等價.然后對

D1(

)作如上的討論.如此繼續(xù)進行直到對角矩陣主對角線上元素所含

-

1的方冪是按遞升冪次排列為止.依次對

-

2,…,

-

r作同樣處理，最后便得到與

D(

)等價的對角矩陣D

(

)，它的主對角線上所含每個相同的一次因式的方冪，都是按遞升冪次排列的.證明第60頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例5

已知

-矩陣

A(

)的初等因子，秩

r

與階數(shù)

n

，求

A(

)的標準形.第61頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)解把

A(

)的初等因子令第62頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束則

d1(

),d2(

),d3(

),d4(

)是

A(

)的不變因子.

以

A(

)的標準形為第63頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)解把

A(

)的初等因子按降冪排成如下兩行，每行3個因子(因

A(

)的秩令等于

3):第64頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束則

d1(

),d2(

),d3(

)是

A(

)的不變因子.

所以A(

)的標準形為第65頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例6

求下列矩陣的不變因子，行列式因子與初等因子第66頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)解把

E-A

化為標準形初等變換所以不變因子為行列式因子為初等因子為第67頁,共98頁，2024年2月25日，星期天(2)解把

E-B

化為標準形初等變換所以不變因子為行列式因子為初等因子為第68頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束二、Jordan標準形

Jordan標準形的存在定理任何方陣A均可通過某一相似變換化為如下Jordan標準形：其中

稱為Jordan塊矩陣。為A的特征值，可以是多重的。

第69頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束說明：（1）

2階以上Jordan塊矩陣一定不能對角化；中的特征值全為，但是對于不同的i和j有可能，即多重特征值可能對應(yīng)多個Jordan塊矩陣。

（4）Jordan標準形是唯一的，這種唯一性是指：各Jordan塊矩陣的階數(shù)和對應(yīng)的特征值是唯一的，但是各Jordan塊矩陣的位置可以變化。

（3）對于特征值的階數(shù)整除它的代數(shù)重數(shù)。（5）Jordan標準形中各Jordan塊矩陣的階數(shù)均為1時，即為對角形矩陣。第70頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束Jordan矩陣可以作為相似標準形。惟一性：Jordan子塊的集合惟一。A相似于B

JA相似于JB元素的結(jié)構(gòu)Jordan矩陣是上三角矩陣對角矩陣是Jordan矩陣第71頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束2.Jordan標準形的求法方法一特征向量法P9-10注：1.屬于某一個特征值的若當塊個數(shù)由它的幾何維數(shù)確定。2.該方法只適用于階數(shù)較低的矩陣第72頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例7

求下列矩陣的Jordan標準形。1的幾何維數(shù)是1，故它對應(yīng)一個若當塊。2的幾何維數(shù)是2，故它對應(yīng)兩個若當塊。第73頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束方法二初等因子法（1）求出特征多項式的初等因子組，設(shè)為（2）寫出各Jordan塊矩陣（一個初等因子對應(yīng)一個Jordan塊矩陣）

（3）合成Jordan矩陣：第74頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例8

求下列矩陣的Jordan標準形。由例6A初等因子為：B初等因子為：第75頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束方法三行列式因子法（1）求λE-A的各階行列式因子

（2）求λE-A的各階不變因子

（3）求λE-A的初等因子，確定Jordan標準形。

第76頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例9

求下列矩陣的Jordan標準形。第77頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束第1-4行與第1、2、4、5列交叉的元素形成的四階子式為第78頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束第1、2、3、5行與1、3、4、5列交叉的元素形成的四階子式為第79頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束這兩個子式的公因式為1，故第80頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束第1-5行與第1、2、3、5、6列交叉的元素形成的五階子式為第81頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束第1、2、3、5、6行與第1、3、4、5、6列交叉的元素形成的五階子式為第82頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束其它五階子式均含因式，故

特征值行列式為，從而有初等因子組為第83頁,共98頁，2024年2月25日，星期天機動

目錄上頁下頁返回結(jié)束相應(yīng)的Jordan塊為Jordan標準形為第84頁,共98頁