矩陣位移法哈工大結(jié)構(gòu)力學(xué)

關(guān)于矩陣位移法哈工大結(jié)構(gòu)力學(xué)1.概述結(jié)點：桿件交匯點、剛度變化點、支承點。有時也取荷載作用點。圖中1、2、3、4點均為結(jié)點。

單元：兩結(jié)點間的等直桿段。圖中1-3、2-4、3-4為

單元。編碼：黑的結(jié)點編號稱整體碼。紅的1、2局限于單元，稱

局部碼。坐標(biāo)：蘭的坐標(biāo)稱

整體坐標(biāo)。紅的x、y局限于單元，稱局部坐標(biāo)1342xy121122yx右手系①②③

將結(jié)構(gòu)分解為桿件集合，為進行分析，事先需做下面稱為離散化的工作第2頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

對于如下所示的結(jié)構(gòu)，離散化時需先做以下的工作第3頁,共64頁，2024年2月25日，星期天2.單元剛度方程基本原理：在彈性小變形條件下，疊加原理成立。已有知識：轉(zhuǎn)角位移方程、單跨梁形常數(shù)和載常數(shù)。目的：像位移法一樣，通過“一拆、一合”來解決結(jié)構(gòu)分析。為此，必須首先掌握單元的特性。第4頁,共64頁，2024年2月25日，星期天利用疊加原理單元剛度方程平面拉壓-(桁架)單元第5頁,共64頁，2024年2月25日，星期天EE連續(xù)梁單元利用疊加原理單元剛度方程剛度矩陣等效結(jié)點荷載矩陣第6頁,共64頁，2024年2月25日，星期天不考慮軸向變形的平面梁柱單元q(x)根據(jù)形、載常數(shù)，利用疊加原理可得梁柱單元的單元剛度方程為第7頁,共64頁，2024年2月25日，星期天單元剛度矩陣(應(yīng)熟記)是轉(zhuǎn)角位移方程的矩陣表示單元桿端位移矩陣第8頁,共64頁，2024年2月25日，星期天單元等效結(jié)點荷載矩陣向上滿跨均布荷載q作用逆時針滿跨均布力偶m作用根據(jù)單跨梁的載常數(shù)，可得第9頁,共64頁，2024年2月25日，星期天計軸向變形的平面自由式梁柱單元單元剛度矩陣可根據(jù)疊加原理得到拉壓梁柱這一結(jié)果對應(yīng)的桿端位移矩陣如何？單元等效結(jié)點荷載可同理疊加得到補充第10頁,共64頁，2024年2月25日，星期天單元剛度矩陣的性質(zhì)

根據(jù)反力互等定理，單元剛度矩陣一定是對稱矩陣。

除連續(xù)梁單元剛度矩陣外，其它三種單元剛度矩陣是奇異的。

解釋一：從數(shù)學(xué)上看，因為存在相關(guān)的行、列，所以對應(yīng)的行列式為零，矩陣不可逆。

解釋二：從物理概念上看，因為桿端相當(dāng)于沒有約束（均可位移），自由體系在平衡外力作用下，可以產(chǎn)生慣性運動，所以無法由平衡的外荷唯一地確定位移。

剛度矩陣元素kij的物理意義為：單元僅發(fā)生第個j桿端單位位移時，在第個i桿端位移對應(yīng)的約束上所需施加的桿端力。第11頁,共64頁，2024年2月25日，星期天3.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題

在搞清單元特性后，像位移法一樣，需將單元拼裝回去。在結(jié)點處位移自動滿足協(xié)調(diào)條件的基礎(chǔ)上，令全部結(jié)點平衡，即可建立求解位移的方程，這是下一節(jié)將討論的內(nèi)容。

除連續(xù)梁外，一般結(jié)構(gòu)單元不全同方位，為保證協(xié)調(diào)和平衡，應(yīng)將桿端位移和桿端力都轉(zhuǎn)換成統(tǒng)一的，對整體坐標(biāo)的量，因此要先解決坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題。下面先討論自由式梁單元的轉(zhuǎn)換問題。第12頁,共64頁，2024年2月25日，星期天力的轉(zhuǎn)換位移的轉(zhuǎn)換將局部量向整體量方向投影，可得將整體量向局部量方向投影，可得第三、六兩個量不存在轉(zhuǎn)換問題。第13頁,共64頁，2024年2月25日，星期天如果記結(jié)點位移坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為單元桿端位移坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為因此位移力第14頁,共64頁，2024年2月25日，星期天剛度方程的轉(zhuǎn)換力轉(zhuǎn)換剛度方程位移轉(zhuǎn)換如果記整體坐標(biāo)單元剛度矩陣為則整體坐標(biāo)單元剛度方程為局部坐標(biāo)第15頁,共64頁，2024年2月25日，星期天連續(xù)梁單元需要進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換嗎？連續(xù)梁的局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)一致，所以不需要轉(zhuǎn)換。第16頁,共64頁，2024年2月25日，星期天桁架單元如何進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換？力的轉(zhuǎn)換位移的轉(zhuǎn)換第一種做法第17頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第二種做法位移擴展為剛度矩陣改為轉(zhuǎn)換矩陣第18頁,共64頁，2024年2月25日，星期天局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)成900時，局部單剛和整體單剛間有何關(guān)系？局部坐標(biāo)單元剛度矩陣整體坐標(biāo)單元剛度矩陣To47第19頁,共64頁，2024年2月25日，星期天4.整體分析以圖示簡例來說明

圖中有兩套編號，紅的是單元桿端編號，黑的是結(jié)構(gòu)整體編號。4-1)結(jié)點示意121221①②③

圖中藍(lán)色的表示結(jié)點荷載（已知），紅色的表示桿端力（未知的），、分別①、②單元桿端力子矩陣。對1、4結(jié)點“荷載”含有未知反力。2第20頁,共64頁，2024年2月25日，星期天4-2)結(jié)點平衡

由示意圖可見，結(jié)構(gòu)結(jié)點的平衡方程為121221①②③2134第21頁,共64頁，2024年2月25日，星期天若記2134則平衡方程為式中(I)、0分別為單位和零矩陣。第22頁,共64頁，2024年2月25日，星期天若引入矩陣記號則結(jié)點平衡方程可改寫作

這一結(jié)論雖然是由一個例子得到的，但是顯然對一切結(jié)構(gòu)都是成立的。問題在于不同結(jié)構(gòu)，(A)矩陣是不同的。①②③第23頁,共64頁，2024年2月25日，星期天4-3)桿端位移用結(jié)點位移來表示121221①②③仍以上述簡單例子來說明若記

由結(jié)點、桿端位移的協(xié)調(diào)條件，可得(

)、(

)的對應(yīng)關(guān)系為

式中(A)T是前面力關(guān)系(A)的轉(zhuǎn)置，因此(A)T稱為位移轉(zhuǎn)換矩陣。第24頁,共64頁，2024年2月25日，星期天4-4)整體剛度方程——結(jié)點平衡121221①②③若記引入位移轉(zhuǎn)換關(guān)系，則第25頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

這就是整體剛度方程，它的物理實質(zhì)是結(jié)點平衡。(K)稱作結(jié)構(gòu)剛度矩陣（或整體剛度矩陣），(P)稱作綜合等效結(jié)點荷載矩陣，它由兩部分組成:

Pd

直接結(jié)點荷載矩陣由結(jié)點荷載組成

PE

等效結(jié)點荷載矩陣由單元荷載組成綜合等效結(jié)點荷載矩陣整體(總體)剛度矩陣整體(總體)剛度方程第26頁,共64頁，2024年2月25日，星期天單元個數(shù)③②①4-5)整體剛度矩陣的建立121221①②③

若將(A)按單元分成圖示三個子矩陣

則第27頁,共64頁，2024年2月25日，星期天121221①②③

由此可見，整體剛度矩陣可由各單元整體剛度矩陣裝配累加得到。為說明如何裝配，先將單元剛度矩陣進行分割整體結(jié)點碼

則由矩陣乘法可證明，(A)I(k)I(A)iT的結(jié)果是，將剛度矩陣子矩陣按整體結(jié)點碼r、s

送整體剛度矩陣相應(yīng)位置。這一裝配規(guī)則稱為“對號入座”。第28頁,共64頁，2024年2月25日，星期天整體結(jié)點碼剛度矩陣對號入座集裝規(guī)則第29頁,共64頁，2024年2月25日，星期天4-6)任意結(jié)構(gòu)情況

上面結(jié)論是通過具體例子（全剛結(jié)點平面剛架）得到的，由理論分析可證明，任意結(jié)構(gòu)其結(jié)論同此例。1)結(jié)點位移編號

如果按結(jié)點順序，對結(jié)點非零位移進行依次編號，這一序號稱作結(jié)點位移碼。為便于計算機處理并減少結(jié)構(gòu)剛度矩陣的階次，將零位移的號碼變?yōu)榱恪＂佗冖邰?/p>

對圖示三鉸剛架，當(dāng)僅用一種單元（梁柱自由是單元）時結(jié)點位移編號如圖所示。2)單元定位向量

按單元局部結(jié)點碼順序，將結(jié)點位移碼排成的向量，稱作單元的定位向量。第30頁,共64頁，2024年2月25日，星期天①②③④

對圖示剛架各單元的定位向量為①

(0,0,1,3,4,5)②(0,0,2,10,11,12)③

(3,4,5,6,7,8)④

(6,7,9,10,11,12)

如果如圖所示采用各種不同的單元（一端有鉸），則定位向量為①②③④①②③④①

(0,0,1,2,3)②

(0,0,,6,7,8)③

(1,2,3,4,5)④

(4,5,6,7,8)如何獲得帶鉸的單元剛度矩陣和等效荷載矩陣第31頁,共64頁，2024年2月25日，星期天一端帶鉸的單元如下圖所示

其單元剛度矩陣和等效結(jié)點荷載矩陣可有兩種方法獲得：直接用形、載常數(shù)疊加來的到；由自由式單元剛度方程，以鉸結(jié)端彎矩為零為約束條件，從這個方程解出鉸結(jié)端的轉(zhuǎn)角位移（用其它位移表示），代回其它剛度方程，整理后即可得到。這類單元的單元剛度矩陣可在(Ⅱ)P.40找到第32頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定位向量①②③④①②③④1)剛度集裝(以④單元為例)定位向量單元局部位移碼4-7)按單元定位向量集裝剛度矩陣和綜合荷載

前面說明的是分塊子矩陣集裝,下面說明如何按定位向量來集裝.

根據(jù)單元局部位移碼和定位向量的對應(yīng)關(guān)系用定位向量位移碼送元素。第33頁,共64頁，2024年2月25日，星期天位移碼位移碼總荷111213141522232425333444354555對稱“總荷”第④單元集裝后的“總剛”小結(jié)第34頁,共64頁，2024年2月25日，星期天①②③④①②③④2)荷載集裝

以②單元為例來說明定位向量局部位移碼此結(jié)論同樣適用于剛度集裝根據(jù)單元局部位移碼和定位向量的對應(yīng)關(guān)系用定位向量位移碼送元素，定位向量元素為零時不送。第35頁,共64頁，2024年2月25日，星期天整體分析小結(jié)1)對局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)不一致的單元，要對剛度、荷載進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。2)需對“結(jié)構(gòu)”進行結(jié)點、位移的局部和整體編號。4)整體剛度矩陣是對稱、帶狀稀疏矩陣，支撐條件能限制剛體位移時，矩陣非奇異。3)根據(jù)單元局部位移碼和定位向量的對應(yīng)關(guān)系用定位向量位移碼送元素，定位向量元素為零時不送。據(jù)此可集裝、累加得到整體剛度矩陣。第36頁,共64頁，2024年2月25日，星期天5)綜合荷載由兩部分組成，因此首先要將直接作用結(jié)點的荷載按結(jié)點位移碼送入，如果還有單元等效荷載，再按定位向量集裝、累加?！?)如果有某位移碼方向彈性支撐，需進行將彈簧剛度送入位移碼對應(yīng)的對角線元素位置累加?！?)如果有某位移碼方向已知支撐位移，需進行將“邊界條件處理”。具體做法以后介紹。7)整體剛度方程實質(zhì)是全部結(jié)點的平衡條件。6)剛度矩陣帶狀稀疏，其帶寬取決于結(jié)點、位移編碼。最大半帶寬=定位向量中最大元素差+1。整體分析小結(jié)第37頁,共64頁，2024年2月25日，星期天4-8）邊界條件的處理1)乘大數(shù)法2)置換法(劃零置1)

設(shè)第i個位移為已知值a。設(shè)第i個位移為已知值a，N=108或更大的數(shù)。乘大數(shù)法是將剛度矩陣Kii改為N

Kii，將Pi改為N

a。

當(dāng)按子矩陣(后處理法)集裝形成整體剛度方程時，整體剛度矩陣是奇異的。此外，當(dāng)需分析的結(jié)構(gòu)有已知支座位移時，上述兩情況均需進行邊界條件處理。請考慮為什麼這樣做能使邊界條件得到滿足？第38頁,共64頁，2024年2月25日，星期天剛度方程為：上述置換工作量大一些，顯然可看出邊界條件得到精確滿足。第39頁,共64頁，2024年2月25日，星期天★3)關(guān)于斜邊界的處理

如圖示意的斜支座情況，有多種處理方案。3-1)通過單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換來處理xyr3-2)通過增加一個單元來處理3-3)對整體剛度矩陣進行處理(參見有關(guān)教材)

圖示有斜支座單元，r結(jié)點處以傾角

-

來進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，也即在r結(jié)點處整體坐標(biāo)為圖示xy。圖示有斜支座單元，r結(jié)點處沿y方向增加一個剛結(jié)的單元，此單元有“無窮大”的抗拉剛度、但沒有抗彎剛度。單元長度可任意。第40頁,共64頁，2024年2月25日，星期天5.剛度與荷載元素的速算方法目的：為調(diào)試程序準(zhǔn)備測試數(shù)據(jù)。元素Kij的物理意義：僅j位移碼處單位位移，i位移碼處所需施加的力。舉例試求圖示結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣元素K11。根據(jù)元素物理意義，求K11的計算簡圖如有所示。因為僅j位移碼處單位位移，故可改為5-1）“總剛”元素第41頁,共64頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)形常數(shù)，取隔離體如圖，由此可得K11根據(jù)元素物理意義，由圖示計算簡圖還可求得K41K31結(jié)論：根據(jù)整體剛度矩陣元素的物理意義，在熟記形常數(shù)的前提下，取相關(guān)部分為對象，即可方便地求得剛度元素。第42頁,共64頁，2024年2月25日，星期天求K22、K23、K25、K26應(yīng)取什么樣的隔離體做計算簡圖？求K33、K35、K36應(yīng)取什么樣的隔離體做計算簡圖？第43頁,共64頁，2024年2月25日，星期天5-2）“總荷”元素

綜合結(jié)點荷載包含兩部分：直接結(jié)點荷載和單元荷載等效的結(jié)點荷載。

因為在固端力正向和桿端力正向規(guī)定相同時，有

所以如圖所示，將實際的固端力反向等效作用于結(jié)點，由集裝規(guī)則可得第44頁,共64頁，2024年2月25日，星期天

試求圖示結(jié)構(gòu)在所示編碼下的綜合結(jié)點荷載矩陣第45頁,共64頁，2024年2月25日，星期天5-3）任一截面的內(nèi)力計算

在求解整體剛度方程，獲得結(jié)構(gòu)位移矩陣后，根據(jù)定位向量，可得到各單元的桿端位移矩陣，由單元剛度方程可得到單元桿端力。

需注意：如圖所示，單元桿端力和前幾章單元桿端內(nèi)力的正向規(guī)定是不同的。

求得單元桿端力后，如圖取隔離體，由平衡條件可得第46頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第47頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第48頁,共64頁，2024年2月25日，星期天程序編制題試參考隨書光盤所給的平面與空間桁架計算程序（F90）自行編制平面剛架靜力計算程序返首第49頁,共64頁，2024年2月25日，星期天看課程教材第50頁,共64頁，2024年2月25日，星期天單元桿端位移示意圖示量均是正的第51頁,共64頁，2024年2月25日，星期天單元桿端力示意圖示量均是正的第52頁,共64頁，2024年2月25日，星期天單一位移時的單元桿端力第53頁,共64頁，2024年2月25日，星期天單一位移時的單元桿端力第54頁,共64頁，2024年2月25日，星期天單一位移時的單元桿端力第55頁,共64頁