中考數(shù)學總復習專題01實數(shù)(10個高頻考點)(舉一反三)(全國版)(原卷版+解析)

專題01實數(shù)（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1正負數(shù)的意義】 1【考點2無理數(shù)的識別與估算】 2【考點3實數(shù)的分類】 3【考點4實數(shù)的相關(guān)概念】 3【考點5實數(shù)的大小比較】 4【考點6實數(shù)的運算】 5【考點7非負數(shù)的運用】 6【考點8新定義運算】 6【考點9科學記數(shù)法】 7【考點10近似數(shù)與有效數(shù)字】 7【考點1正負數(shù)的意義】【例1】（2022?桂林）在東西向的馬路上，把出發(fā)點記為0，向東與向西意義相反．若把向東走記做“”，那么向西走應記做A． B． C． D．【變式1-1】（2022?濟寧）若盈余2萬元記作萬元，則萬元表示A．盈余2萬元 B．虧損2萬元 C．虧損萬元 D．不盈余也不虧損【變式1-2】（2022?大連）某水井水位最低時低于水平面5米，記為﹣5米，最高時低于水平面1米，則水井水位h米中h的取值范圍是．【變式1-3】（2022?南京）北京與莫斯科的時差為5小時，例如，北京時間，同一時刻的莫斯科時間是．小麗和小紅分別在北京和莫斯科，她們相約在各自當?shù)貢r間之間選擇一個時刻開始通話，這個時刻可以是北京時間A． B． C． D．【要點1實數(shù)的分類及有關(guān)概念】一．實數(shù)的分類：注意：在理解無理數(shù)時，要注意“無限不循環(huán)”，歸納起來有四類：(1)開方開不盡的數(shù)，如，等；(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如等；(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；(4)某些三角函數(shù)，如sin60°等二．數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。三．絕對值：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，|a|≥0。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。四．相反數(shù)：實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零).從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=-b，反之亦成立。五．倒數(shù)：如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)?！究键c2無理數(shù)的識別與估算】【例2】（2022·重慶·中考真題）估計3×(23+A．10和11之間 B．9和10之間 C．8和9之間 D．7和8之間【變式2-1】（2022·江蘇泰州·中考真題）下列4個數(shù)：9，227，π，(A．9 B．227 C．π D．【變式2-2】（2022·四川綿陽·中考真題）已知x是整數(shù)，當x?30取最小值時，x的值是(

A．5 B．6 C．7 D．8【變式2-3】（2022·廣東·中考真題）設6?10的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則2a+10bA．6 B．210 C．12 D．9【考點3實數(shù)的分類】【例3】（2022·浙江溫州·中考真題）給出四個實數(shù)5，2，0，-1，其中負數(shù)是（

）A．5 B．2 C．0 D．-1【變式3-1】（2022·山東·中考真題）在實數(shù)38，π3，12，43A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式3-2】（2022·山東日照·中考真題）在實數(shù)2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數(shù)的個數(shù)是（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式3-3】（2022·浙江金華·中考真題）實數(shù)?12，?5，2，?3A．?12 B．?5 C．2【考點4實數(shù)的相關(guān)概念】【例4】（2022·河北·中考真題）下列說法正確的是（）A．1的相反數(shù)是﹣1 B．1的倒數(shù)是﹣1C．1的立方根是±1 D．﹣1是無理數(shù)【變式4-1】（2022·湖南衡陽·中考真題）下列各式中正確的是()A．9=±3 B．C．39=3 【變式4-2】（2022·江蘇南京·中考真題）設邊長為3的正方形的對角線長為a，下列關(guān)于a的四種說法：①a是無理數(shù)；②a可以用數(shù)軸上的一個點來表示；③3<a<4；④a是18的算術(shù)平方根．其中，所有正確說法的序號是A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【變式4-3】（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，下列各數(shù)中，數(shù)軸上點A表示的可能是（）A．4的算術(shù)平方根 B．4的立方根 C．8的算術(shù)平方根 D．8的立方根【要點2實數(shù)的大小比較】有理數(shù)的比較大小的法則在實數(shù)范圍內(nèi)同樣適用。（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設a、b是實數(shù)，，，（3）求商比較法：設a、b是兩正實數(shù)，（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數(shù)，則。（5）平方法：設a、b是兩負實數(shù)，則。備注：遇到有理數(shù)和帶根號的無理數(shù)比較大小時，讓“數(shù)全部回到根號下”，再比較大小?！究键c5實數(shù)的大小比較】【例5】（2022·湖南株洲·中考真題）下列不等式錯誤的是（

）A．?2<?1 B．π<17 C．52>【變式5-1】（2022·山東菏澤·中考真題）下列各數(shù)中，絕對值最小的數(shù)是（

）A．?5 B．12 C．?1 D．【變式5-2】（2022·甘肅張掖·中考真題）估計5?12與0.5的大小關(guān)系是：【變式5-3】（2022·貴州銅仁·中考真題）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．﹣a＜b C．a(chǎn)＞﹣b D．﹣a＞b【要點3開方及實數(shù)的運算】一．平方根：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根(或二次方根)。一個數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。正數(shù)a的平方根記做“”。正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。二．立方根：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零。注意：，這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面。三．實數(shù)的運算：在實數(shù)范圍內(nèi)，可以進行加、減、乘、除、乘方及開方運算，而且有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立1、加法交換律2、加法結(jié)合律3、乘法交換律4、乘法結(jié)合律5、乘法對加法的分配律6、實數(shù)的運算順序先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。實數(shù)范圍內(nèi)混合運算的順序：①先乘方開方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行?！究键c6實數(shù)的運算】【例6】（2022·四川內(nèi)江·中考真題）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為2，則最后輸出的結(jié)果是（）A．14 B．16 C．8+52 D．14+2【變式6-1】（2022·四川達州·中考真題）計算：?1【變式6-2】（2022·四川內(nèi)江·中考真題）計算：6sin【變式6-3】（2022·四川·中考真題）計算：（﹣2）-2﹣|3﹣2|+（﹣32）0﹣3【考點7非負數(shù)的運用】【例7】（2022·廣東韶關(guān)·中考真題）已知a?b+|b?1|=0，則a+1=【變式7-1】（2022·甘肅武威·中考真題）已知α、β均為銳角，且滿足sinα?12+(tanβ?1)【變式7-2】（2022·四川內(nèi)江·中考真題）若|1001?a|+a?1002=a，則【變式7-3】（2022·四川巴中·中考真題）已知a、b、c是△ABC三邊的長，且滿足關(guān)系式c2【考點8新定義運算】【例8】（2022·湖北鄂州·中考真題）已知a1為實數(shù)﹐規(guī)定運算：a2=1?1a1，a3=1?1a2，aA．?23 B．13 C．?【變式8-1】（2022·青?！ぶ锌颊骖}）對于任意兩個不相等的數(shù)a,b，定義一種新運算“⊕”如下：a⊕b=a+ba?b如：3⊕2=3+2【變式8-2】（2022·重慶·中考真題）《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出了自然數(shù)的特征．在數(shù)的學習過程中，我們會對其中一些具有某種特性的數(shù)進行研究，如學習自然數(shù)時，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等．現(xiàn)在我們來研究另一種特殊的自然數(shù)—“純數(shù)”．定義；對于自然數(shù)n，在計算n+（n+1）+（n+2）時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位，則稱這個自然數(shù)n為“數(shù)”，例如：32是”純數(shù)”，因為計算32+33+34時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位；23不是“純數(shù)”，因為計算23+24＋25時，個位產(chǎn)生了進位．（1）判斷2019和2020是否是“純數(shù)”？請說明理由；（2）求出不大于100的“純數(shù)”的個數(shù)．【變式8-3】（2022·重慶·中考真題）對于任意一個四位數(shù)m，若千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個四位數(shù)m為“共生數(shù)”例如：m=3507，因為3+7=2×(5+0)，所以3507是“共生數(shù)”：m=4135，因為4+5≠2×(1+3)，所以4135不是“共生數(shù)”；（1）判斷5313，6437是否為“共生數(shù)”？并說明理由；（2）對于“共生數(shù)”n，當十位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的2倍，百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和能被9整除時，記F(n)=n3．求滿足F(n)各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的所有【要點4科學記數(shù)法】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù).【考點9科學記數(shù)法】【例9】（2022·山東·濟南市鋼城區(qū)實驗學校期末）中國“神威太湖之光”計算機系統(tǒng)首次亮相，一舉奪冠，成為世界上最快的計算機，一分鐘的計算能力相當于全球72億人同時用計算器不間斷計算32年．72億用科學記數(shù)法表示為（）A．0.72×109 B．7.2×109 C．【變式9-1】（2022·四川·眉山市東坡區(qū)尚義鎮(zhèn)象耳初級中學八年級期中）已知某種植物孢子的半徑為150000nm，1nm＝10-9m，用科學記數(shù)法表示該孢子的半徑是（

）A．15×10?5m B．1.5×104m【變式9-2】（2022·江西省上高縣第五中學七年級階段練習）13940萬這個數(shù)字用科學記數(shù)法可表示為（

）A．1.394×108 B．13.94×108 C．【變式9-3】（2022·甘肅天水·八年級期末）新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），簡稱“新冠肺炎”，2020年2月11日，世界衛(wèi)生組織總干事譚德塞在瑞士日內(nèi)瓦宣布，將新型冠狀病毒感染的肺炎命名為“COVID-19”．某實驗室測得某種冠狀病毒分子直徑約87納米，已知1納米=110【要點5有效數(shù)字】一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數(shù)字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。【考點10近似數(shù)與有效數(shù)字】【例10】（2022·浙江金華·中考真題）由四舍五入法得到的近似數(shù)8.8×103，下列說法中正確的是（）．A．精確到十分位，有2個有效數(shù)字 B．精確到個位，有2個有效數(shù)字C．精確到百位，有2個有效數(shù)字 D．精確到千位，有4個有效數(shù)字【變式10-1】（2022·山東濟南·中考真題）2010年4月20日晚，“支援青海玉樹抗震救災義演晚會”在萊蕪市政府廣場成功舉行，熱心企業(yè)和現(xiàn)場觀眾踴躍捐款31083．58元．將31083．58元保留兩位有效數(shù)字可記為（

）A．3．1×106元B．3．11×104元C．3．1×104元D．3．10×105元【變式10-2】（2022·江西·中考真題）長度單位1納米=10【變式10-3】（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）某省將為義務教育階段的貧困學生免費發(fā)放教科書，預計發(fā)放總量為1500萬冊，發(fā)放總量用科學記數(shù)法記為________萬冊（保留3個有效數(shù)字）．專題01實數(shù)（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1正負數(shù)的意義】 1【考點2無理數(shù)的識別與估算】 3【考點3實數(shù)的分類】 5【考點4實數(shù)的相關(guān)概念】 6【考點5實數(shù)的大小比較】 8【考點6實數(shù)的運算】 10【考點7非負數(shù)的運用】 12【考點8新定義運算】 13【考點9科學記數(shù)法】 17【考點10近似數(shù)與有效數(shù)字】 18【考點1正負數(shù)的意義】【例1】（2022?桂林）在東西向的馬路上，把出發(fā)點記為0，向東與向西意義相反．若把向東走記做“”，那么向西走應記做A． B． C． D．【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．【詳解】解：若把向東走記做“”，那么向西走應記做．故選：．【變式1-1】（2022?濟寧）若盈余2萬元記作萬元，則萬元表示A．盈余2萬元 B．虧損2萬元 C．虧損萬元 D．不盈余也不虧損【分析】根據(jù)正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量解答．【詳解】解：萬元表示虧損2萬元，故選：．【變式1-2】（2022?大連）某水井水位最低時低于水平面5米，記為﹣5米，最高時低于水平面1米，則水井水位h米中h的取值范圍是﹣5≤h≤﹣1．【分析】理解“正”和“負”的相對性，根據(jù)題意，水平面高度為0米，低于水平面的高度均為負數(shù)，可得h的取值范圍．【詳解】解：某水井水位最低時低于水平面5米，記為﹣5米；最高時低于水平面1米，記作﹣1米；應最低時應低于水平面5米，最高時低于等于水平面1米，則水井水位h米中h的取值范圍是﹣5≤h≤﹣1．【變式1-3】（2022?南京）北京與莫斯科的時差為5小時，例如，北京時間，同一時刻的莫斯科時間是．小麗和小紅分別在北京和莫斯科，她們相約在各自當?shù)貢r間之間選擇一個時刻開始通話，這個時刻可以是北京時間A． B． C． D．【分析】根據(jù)北京時間比莫斯科時間早5小時解答即可．【詳解】解：由題意得，北京時間應該比莫斯科時間早5小時，當莫斯科時間為，則北京時間為；當北京時間為，則莫斯科時間為；所以這個時刻可以是到之間，所以這個時刻可以是北京時間．故選：．【要點1實數(shù)的分類及有關(guān)概念】一．實數(shù)的分類：注意：在理解無理數(shù)時，要注意“無限不循環(huán)”，歸納起來有四類：(1)開方開不盡的數(shù)，如，等；(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如等；(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；(4)某些三角函數(shù)，如sin60°等二．數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。三．絕對值：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，|a|≥0。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。四．相反數(shù)：實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零).從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=-b，反之亦成立。五．倒數(shù)：如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)?！究键c2無理數(shù)的識別與估算】【例2】（2022·重慶·中考真題）估計3×(23+A．10和11之間 B．9和10之間 C．8和9之間 D．7和8之間【答案】B【分析】先化簡3×(23+【詳解】3×(2∵9＜∴3＜∴9＜故選：B．【點睛】本題考查了二次根式混合運算及無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)估算方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·江蘇泰州·中考真題）下列4個數(shù)：9，227，π，(A．9 B．227 C．π D．【答案】C【詳解】試題分析：根據(jù)無理數(shù)的概念即可判斷出結(jié)果.試題解析：A、9=3，是有理數(shù)；B、227C、π是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)；D、(3故選C.考點：無理數(shù).【變式2-2】（2022·四川綿陽·中考真題）已知x是整數(shù)，當x?30取最小值時，x的值是(

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)絕對值的意義，找到與30最接近的整數(shù)，可得結(jié)論．【詳解】解：∵25<30<且與30最接近的整數(shù)是5，∴當x?30取最小值時，x故選A．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的估算和絕對值的意義，熟練掌握平方數(shù)是關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·廣東·中考真題）設6?10的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則2a+10bA．6 B．210 C．12 D．【答案】A【分析】首先根據(jù)10的整數(shù)部分可確定a的值，進而確定b的值，然后將a與b的值代入計算即可得到所求代數(shù)式的值．【詳解】∵3<10∴2<6?10∴6?10的整數(shù)部分a=2∴小數(shù)部分b=6?10∴2a+10故選：A．【點睛】本題考查了二次根式的運算，正確確定6?10的整數(shù)部分a與小數(shù)部分b的值是解題關(guān)鍵【考點3實數(shù)的分類】【例3】（2022·浙江溫州·中考真題）給出四個實數(shù)5，2，0，-1，其中負數(shù)是（

）A．5 B．2 C．0 D．-1【答案】D【分析】根據(jù)負數(shù)的定義，負數(shù)小于0即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意：負數(shù)是-1，故答案為：D.【點睛】此題主要考查了實數(shù)，正確把握負數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.【變式3-1】（2022·山東·中考真題）在實數(shù)38，π3，12，43A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，依此定義求解即可．【詳解】解：在實數(shù)38，π3，12，43中38＝2，有理數(shù)有故選B．【點睛】此題主要考查實數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟知無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別.【變式3-2】（2022·山東日照·中考真題）在實數(shù)2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數(shù)的個數(shù)是（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的意義，即可解答．【詳解】解：在實數(shù)2，x0（x≠0）=1，cos30°=32，38=2中，有理數(shù)是所以，有理數(shù)的個數(shù)是2，故選：B．【點睛】本題考查了零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學概念是解題的關(guān)鍵.【變式3-3】（2022·浙江金華·中考真題）實數(shù)?12，?5，2，?3A．?12 B．?5 C．2【答案】D【分析】按照負整數(shù)的概念即可選取答案．【詳解】解：?12是負數(shù)不是整數(shù)；?5故選D．【點睛】本題考查了實數(shù)的分類，比較簡單．【考點4實數(shù)的相關(guān)概念】【例4】（2022·河北·中考真題）下列說法正確的是（）A．1的相反數(shù)是﹣1 B．1的倒數(shù)是﹣1C．1的立方根是±1 D．﹣1是無理數(shù)【答案】A【詳解】解：A、1的相反數(shù)為-1，故A正確；B、1的倒數(shù)是1，故B錯誤；C、1的立方根是1，故C錯誤；D、-1是有理數(shù)，是整數(shù)，故D錯誤．故選A考點：相反數(shù)的定義【變式4-1】（2022·湖南衡陽·中考真題）下列各式中正確的是()A．9=±3 B．C．39=3 【答案】D【分析】原式利用平方根、立方根定義計算即可求出值．【詳解】解：A.原式=3，不符合題意；B.原式=|-3|=3，不符合題意；C.原式不能化簡，不符合題意；D.原式=23-3=3，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了立方根，以及算術(shù)平方根，熟練掌握各自的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·江蘇南京·中考真題）設邊長為3的正方形的對角線長為a，下列關(guān)于a的四種說法：①a是無理數(shù)；②a可以用數(shù)軸上的一個點來表示；③3<a<4；④a是18的算術(shù)平方根．其中，所有正確說法的序號是A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【詳解】解：根據(jù)勾股定理，邊長為3的正方形的對角線長為a=3根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸上的一點一一對應的關(guān)系，a可以用數(shù)軸上的一個點來表示，故說法②正確．∵16<a∴4<a=3∵a2∴根據(jù)算術(shù)平方根的定義，a是18的算術(shù)平方根，故說法④正確．綜上所述，正確說法的序號是①②④．故選C．【變式4-3】（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，下列各數(shù)中，數(shù)軸上點A表示的可能是（）A．4的算術(shù)平方根 B．4的立方根 C．8的算術(shù)平方根 D．8的立方根【答案】C【詳解】解：由題意可知4的算術(shù)平方根是2，4的立方根是3434<2,8的算術(shù)平方根是22故根據(jù)數(shù)軸可知,故選C【要點2實數(shù)的大小比較】有理數(shù)的比較大小的法則在實數(shù)范圍內(nèi)同樣適用。（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設a、b是實數(shù)，，，（3）求商比較法：設a、b是兩正實數(shù)，（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數(shù)，則。（5）平方法：設a、b是兩負實數(shù)，則。備注：遇到有理數(shù)和帶根號的無理數(shù)比較大小時，讓“數(shù)全部回到根號下”，再比較大小。【考點5實數(shù)的大小比較】【例5】（2022·湖南株洲·中考真題）下列不等式錯誤的是（

）A．?2<?1 B．π<17 C．52>【答案】C【分析】選項A，根據(jù)兩個負數(shù)絕對值大的反而小即可得?2<?1；選項B，由3<π<4，4<17<5即可得π<17；選項C，由522=6.25，6.25<10，可得【詳解】選項A，根據(jù)兩個負數(shù)絕對值大的反而小可得?2<?1，選項A正確；選項B，由3<π<4，4<17<5可得選項C，由522=6.25選項D，由13=0.3故選C．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較及無理數(shù)的估算，熟練運用實數(shù)大小的比較方法及無理數(shù)的估算方法是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·山東菏澤·中考真題）下列各數(shù)中，絕對值最小的數(shù)是（

）A．?5 B．12 C．?1 D．【答案】B【分析】根據(jù)絕對值的意義，計算出各選項的絕對值，然后再比較大小即可．【詳解】解：?5=5，12=12∵5>2∴絕對值最小的數(shù)是12故選：B．【點睛】本題考查的是實數(shù)的大小比較，熟知絕對值的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·甘肅張掖·中考真題）估計5?12與0.5的大小關(guān)系是：【答案】＞【分析】首先把兩個數(shù)采用作差法相減，根據(jù)差的正負情況即可比較兩個實數(shù)的大小．【詳解】解：∵5?1∵5?2>0∴5?2∴5?1故答案為：>．【點睛】此題主要考查了兩個實數(shù)的大小，其中比較兩個實數(shù)的大小，可以采用作差法、取近似值法等．【變式5-3】（2022·貴州銅仁·中考真題）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞b B．﹣a＜b C．a(chǎn)＞﹣b D．﹣a＞b【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸即可判斷a和b的符號以及絕對值的大小，根據(jù)有理數(shù)的大小比較方法進行比較即可求解．【詳解】根據(jù)數(shù)軸可得：a<0，b>0，且|a|>|b|，則a<b，選項A錯誤；﹣a>b，選項B錯誤；a<﹣b，選項C錯誤；﹣a>b，選項D正確；故選：D．【點睛】本題考查的是數(shù)軸與實數(shù)的大小比較等相關(guān)內(nèi)容，會利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小是解決問題的關(guān)鍵．【要點3開方及實數(shù)的運算】一．平方根：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根(或二次方根)。一個數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。正數(shù)a的平方根記做“”。正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。二．立方根：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零。注意：，這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面。三．實數(shù)的運算：在實數(shù)范圍內(nèi)，可以進行加、減、乘、除、乘方及開方運算，而且有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立1、加法交換律2、加法結(jié)合律3、乘法交換律4、乘法結(jié)合律5、乘法對加法的分配律6、實數(shù)的運算順序先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。實數(shù)范圍內(nèi)混合運算的順序：①先乘方開方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行?！究键c6實數(shù)的運算】【例6】（2022·四川內(nèi)江·中考真題）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的n值為2，則最后輸出的結(jié)果是（）A．14 B．16 C．8+52 D．14+2【答案】C【詳解】試題分析：當n=2時，n（n+1）=2（2+1）=2+2＜15；當n=2+2時，n（n+1）=（2+2）（3+2）=6+52+2=8+52＞15，則輸出結(jié)果為8+52．故選C．考點：實數(shù)的運算．【變式6-1】（2022·四川達州·中考真題）計算：?1【答案】1【分析】直接通過整數(shù)的平方、零次冪的運算、去絕對值符號、特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：原式=?1+1+2×=1故答案是：1．【點睛】本題考查了整數(shù)的平方、零次冪的運算、去絕對值符號、特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是：掌握相關(guān)的運算法則，直接進行求解．【變式6-2】（2022·四川內(nèi)江·中考真題）計算：6sin【答案】-3【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，絕對值的意義，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式等運算法則計算即可．【詳解】解：原式=6×=3=?3．【點睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，絕對值的意義，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式等知識點，熟知相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·四川·中考真題）計算：（﹣2）-2﹣|3﹣2|+（﹣32）0﹣3【答案】?2【分析】首先計算乘方、開方，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可．【詳解】解：（﹣2）﹣2﹣|3﹣2|+（﹣32）0﹣3＝14﹣2+3+1﹣2﹣2×＝﹣234【點睛】本題主要考查實數(shù)的混合運算及特殊三角函數(shù)值，熟練掌握運算法則及三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【考點7非負數(shù)的運用】【例7】（2022·廣東韶關(guān)·中考真題）已知a?b+|b?1|=0，則a+1=【答案】2．【分析】利用非負數(shù)的性質(zhì)結(jié)合絕對值與二次根式的性質(zhì)即可求出a，b的值，進而即可得出答案．【詳解】∵a?b+|b﹣1|=0，又∵a?b≥0，|b?1|≥0∴a﹣b=0且b﹣1=0，解得：a=b=1，∴a+1=2.故答案為2．【點睛】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)以及絕對值與二次根式的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負數(shù)的和為0，那么每個非負數(shù)都為0得到關(guān)于a、b的方程是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·甘肅武威·中考真題）已知α、β均為銳角，且滿足sinα?12+(tanβ?1)【答案】75°##75度【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到sinα=12，tanβ=1，利用特殊角的三角函數(shù)值分別求出α、β【詳解】由已知得sinα－12=0，tanβ∴α=30°，β=45°，∴α+β=75°．【點睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值、非負數(shù)的性質(zhì)，掌握絕對值和算術(shù)平方根的非負性是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·四川內(nèi)江·中考真題）若|1001?a|+a?1002=a，則【答案】1002．【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)，即可解答【詳解】∵a?1002≥0，∴a≥1002．由|1001?a|+a?1002=a，得∴a?1002=1001∴a?1002=1001∴a?1001故答案是：1002．【點睛】此題考查絕對值的非負性，二次根式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則【變式7-3】（2022·四川巴中·中考真題）已知a、b、c是△ABC三邊的長，且滿足關(guān)系式c2【答案】等腰直角三角形【詳解】∵c2∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，∴根據(jù)勾股定理的逆定理，得△ABC為直角三角形．又由a－b=0得a=b，∴△ABC為等腰直角三角形．故答案為：等腰直角三角形．【考點8新定義運算】【例8】（2022·湖北鄂州·中考真題）已知a1為實數(shù)﹐規(guī)定運算：a2=1?1a1，a3=1?1a2，aA．?23 B．13 C．?【答案】D【分析】當a1=3時，計算出a2【詳解】解：當a1=3時，計算出會發(fā)現(xiàn)是以：3,2∵2021=3×673+2，∴a故選：D．【點睛】本題考查了實數(shù)運算規(guī)律的問題，解題的關(guān)鍵是：通過條件，先計算出部分數(shù)的值，從中找到相應的規(guī)律，利用其規(guī)律來解答．【變式8-1】（2022·青?！ぶ锌颊骖}）對于任意兩個不相等的數(shù)a,b，定義一種新運算“⊕”如下：a⊕b=a+ba?b如：3⊕2=3+2【答案】2【分析】根據(jù)定義的新運算的方式，把相應的數(shù)字代入運算即可．【詳解】解：由題意得：12⊕4===2．故答案為：2．【點睛】本題主要考查實數(shù)的運算，二次根式的化簡，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，對實數(shù)的運算的相應的法則的掌握．【變式8-2】（2022·重慶·中考真題）《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出了自然數(shù)的特征．在數(shù)的學習過程中，我們會對其中一些具有某種特性的數(shù)進行研究，如學習自然數(shù)時，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等．現(xiàn)在我們來研究另一種特殊的自然數(shù)—“純數(shù)”．定義；對于自然數(shù)n，在計算n+（n+1）+（n+2）時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位，則稱這個自然數(shù)n為“數(shù)”，例如：32是”純數(shù)”，因為計算32+33+34時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位；23不是“純數(shù)”，因為計算23+24＋25時，個位產(chǎn)生了進位．（1）判斷2019和2020是否是“純數(shù)”？請說明理由；（2）求出不大于100的“純數(shù)”的個數(shù)．【答案】（1）2019不是“純數(shù)”，2020時“純數(shù)”，見解析；（2）13個.【分析】（1）根據(jù)題目中的新定義可以解答本題，注意各數(shù)位都不產(chǎn)生進位的自然數(shù)才是“純數(shù)”；（2）根據(jù)題意可以推出不大于100的“純數(shù)”的個數(shù)，本題得以解決.【詳解】解：（1）當n=2019時，n+1=2020，n+2=2022∵計算時，個位為9+0+1=10，需要進位，∴2019不是“純數(shù)”；當n=2020時，n+1=2021，n+2=2022∴個位為0+1+2=3，不需要進位：十位為2+2+6，不需要進位：百位為0+0+0=0，不需要進位：千位為2+2+2=6，不需要進位：∴2020是“純數(shù)”；綜上所述，2019不是“純數(shù)”，2020時“純數(shù)”.

（2）由題意，連續(xù)的三個自然數(shù)個位不同，其他位都相同；并且，連續(xù)的三個自然數(shù)個位為0、1、2時，不會產(chǎn)生進位；其他位的數(shù)字為0、1、2、3時，不會產(chǎn)生進位；①當這個數(shù)為一位的自然數(shù)的時候，只能是0、1、2，共3個；②當這個數(shù)為二位的自然數(shù)的時候，十位只能為1、2、3，個位只能為0、1、2，共9個；③當這個數(shù)為100時，100是“純數(shù)”；∴不大于100的“純數(shù)”有3+9+1=13個.【點睛】本題考查整式的加減、有理數(shù)的加法、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中的新定義解答.【變式8-3】（2022·重慶·中考真題）對于任意一個四位數(shù)m，若千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個四位數(shù)m為“共生數(shù)”例如：m=3507，因為3+7=2×(5+0)，所以3507是“共生數(shù)”：m=4135，因為4+5≠2×(1+3)，所以4135不是“共生數(shù)”；（1）判斷5313，6437是否為“共生數(shù)”？并說明理由；（2）對于“共生數(shù)”n，當十位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的2倍，百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和能被9整除時，記F(n)=n3．求滿足F(n)各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的所有【答案】（1）5313是“共生數(shù)”，6437不是“共生數(shù)”．（2）n=2148或n=3069.【分析】（1）根據(jù)“共生數(shù)”的定義逐一判斷兩個數(shù)即可得到答案；（2）設“共生數(shù)”n的千位上的數(shù)字為a,則十位上的數(shù)字為2a,設百位上的數(shù)字為b,個位上的數(shù)字為c,可得：1≤a＜5,0≤b≤9,0≤c≤9,且a,b,c為整數(shù)，再由“共生數(shù)”的定義可得：c=3a+2b,而由題意可得：b+c=9或b+c=18,再結(jié)合方程的正整數(shù)解分類討論可得答案．【詳解】解：（1）∵5+∴5313是“共生數(shù)”，∵6+∴6437不是“共生數(shù)”．（2）設“共生數(shù)”n的千位上的數(shù)字為a,則十位上的數(shù)字為2a,設百位上的數(shù)字為b,個位上的數(shù)字為c,∴1≤a＜5,0≤b≤9,0≤c≤9,且a,b,c為整數(shù)，所以：n=1000a+100b+20a+c=1020a+100b+c,由“共生數(shù)”的定義可得：a+c=2(2a+b),∴c=3a+2b,∴n=1023a+102b,∴F(n)=n∵百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和能被9整除，∴b+c=0或b+c=9或b+c=18,當b+c=0,則b=c=0,則a=0,不合題意，舍去，當b+c=9時，則3a+3b=9,∴a+b=3,當a=1時，b=2,c=7,此時：n=1227,F(n)=12273=409當a=2時，b=1,c=8,此時：n=2148,F(n)=21483=716,當a=3時，b=0,c=9,此時：n=3069,F(n)=30693=1023,當b+c=18時，則b=c=9,而3a+3b=18,則a=?3不合題意，舍去，綜上：滿足F(n)各數(shù)位上的數(shù)字之和是偶數(shù)的n=2148或n=3069,【點睛】本題考查的是新定義情境下的實數(shù)的運算，二元一次方程的正整數(shù)解，分類討論的數(shù)學思想的運用，準確理解題意列出準確的代數(shù)式與方程是解題的關(guān)鍵．【要點4科學記數(shù)法】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù).【考點9科學記數(shù)法】【例9】（2022·山東·濟南市鋼城區(qū)實驗學校期末）中國“神威太湖之光”計算機系統(tǒng)首次亮相，一舉奪冠，成為世界上最快的計算機，一分鐘的計算能力相當于全球72億人同時用計算器不間斷計算32年．72億用科學記數(shù)法表示為（）A．0.72×109 B．7.2×109 C．【答案】B【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n【詳解】解：72億＝7200000000，用科學記數(shù)法可表示為7.2×10故選：B．【點睛】此題主要考查了科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a【變式9-1】（2022·四川·眉山市東坡區(qū)尚義鎮(zhèn)象耳初級中學八年級期中）已知某種植物孢子的半徑為150000nm，1nm＝10-9m，用科學記數(shù)法表示該孢子的半徑是（

）A．15×10?5m B．1.5×104m【答案】C【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×1【詳解】解：150000nm＝150000×10?9m＝故選：C．【點睛】本題考查了用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10?n，其中1≤|【變式9-2】（2022·江西省上高縣第五中學七年級階段練習）13940萬這個數(shù)字用科學記數(shù)法可表示為（

）A．1.394×108 B．13.94×108 C．【答案】A【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×108的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原