北師大版（2019）數(shù)學(xué)-必修第二冊-第一章 三角函數(shù)5.1正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識(課件)

§5.1正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識

公元5世紀(jì)到12世紀(jì),印度數(shù)學(xué)家對三角學(xué)做出了較大的貢獻.盡管當(dāng)時三角學(xué)仍然是天文學(xué)的一個計算工具,但是三角學(xué)的內(nèi)容卻由于印度數(shù)學(xué)家的努力而得到大大的豐富.三角學(xué)中“正弦”的概念是由印度數(shù)學(xué)家首先引進的.

當(dāng)我們遇到一個新函數(shù)時,它總具有許多基本性質(zhì),要直觀、全面了解基本特性,自然是從它的圖象入手,畫出它的圖象,觀察圖象的形狀,看它的特殊點,并借助它的圖象研究它的性質(zhì),如值域、單調(diào)性、奇偶性、最值等.今天我們就來一起學(xué)習(xí)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì).1.能用“五點法”畫正弦函數(shù)在[0,2π]上的圖象.2.理解正弦曲線的意義.3.掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)，會求正弦函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間和最值.1.通過畫正弦函數(shù)的圖象，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．2.通過正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

在§3中引入了弧度制，在§4中我們借助單位圓學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念、性質(zhì)和誘導(dǎo)公式.從現(xiàn)在起，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)分別表示為y=sinx和y=cosx，并在平面直角作標(biāo)系中討論它們的圖象和性質(zhì).探究點1

正弦函數(shù)的圖象

應(yīng)該注意到，由于自變量x是用弧度表示的，這里討論的函數(shù)y=sinx和y=cosx都是R的兩個子集中元素之間的對應(yīng)，它們都是周期函數(shù)，自變量x可以與角度無關(guān).因此，自然界大量的周期現(xiàn)象(如簡諧振動、潮汐現(xiàn)象等)都可以用這類函數(shù)來描述.先畫出正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間x∈[0，2π]上的圖象.在區(qū)間[0，2π]上取一系列的x值，例如，并借助單位圓獲得對應(yīng)的正弦函數(shù)值（如圖）.列表(如表).

利用表中的數(shù)據(jù)，先在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點，結(jié)合對函數(shù)y=sinx性質(zhì)的了解，用光滑曲線順次連接，就可以得到函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0，2π]上的圖象(如圖).思考：根據(jù)函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象，你能想象函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象嗎？將函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象向左、右平移(每次平移2π個單位長度)，就可以得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象(如圖).正弦函數(shù)的圖象稱作正弦曲線.這就是正弦函數(shù)圖象的幾何畫法請觀察正弦函數(shù)的圖象(如圖)，進一步理解正弦函數(shù)的性質(zhì).探究點2

正弦函數(shù)性質(zhì)的再認(rèn)識1.定義域正弦函數(shù)的定義域是R.2.周期性

從正弦函數(shù)的圖象(如圖)可以看到，當(dāng)自變量x的值增加2π的整數(shù)倍時，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).即正弦函數(shù)是周期函數(shù)，它的最小正周期為2π.同樣，也可以從誘導(dǎo)公式sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z中得到正弦函數(shù)的最小正周期為2π.2.周期性

因此，為了研究問題方便，可以任意選取一個2π長度的區(qū)間，討論y=sinx的性質(zhì)，然后延拓到定義域R上.3.單調(diào)性

在正弦函數(shù)的圖象中，選取長度為2π的區(qū)間觀察圖，可以看出：當(dāng)x由

增加到

時，sinx的值由-1增加到1；當(dāng)x由

增加到

時，sinx的值由1減小到-1.3.單調(diào)性

正弦函數(shù)在區(qū)間

上單調(diào)遞增,在區(qū)間

上單調(diào)遞減.3.單調(diào)性由正弦函數(shù)的周期性可知，正弦函數(shù)在每一個區(qū)間k∈z上都單調(diào)遞增，在每一個區(qū)間k∈z上都單調(diào)遞減.4.最大(小)值和值域

設(shè)集合A={x|x=2kπ+k∈z},B={x|x=2kπ+k∈z},當(dāng)x∈A時,正弦函數(shù)y=sinx取得最大值1;反之，當(dāng)正弦函數(shù)y=sinx達到最大值1時,x∈A.當(dāng)x∈B時,正弦函數(shù)y=sinx取得最小值-1;反之，當(dāng)正弦函數(shù)y=sinx達到最小值-1時,x∈B.4.最大(小)值和值域從正弦函數(shù)的圖象(如圖)可以看出，正弦曲線夾在兩條平行線y=1和y=-1之間，所以正弦函數(shù)的值域是[-1，1].5.奇偶性

正弦曲線關(guān)于原點對稱，如圖.由誘導(dǎo)公式sin(-x)=-sinx可知，正弦函數(shù)是奇函數(shù).思考：探索正弦函數(shù)圖象的對稱性.它有對稱軸嗎?有對稱中心嗎?提示：有，對稱軸是x=kπ+，k∈z；對稱中心是（kπ，0）.例1比較下列各組三角函數(shù)值的大小：(1)與；(2)與.思考:在確定正弦函數(shù)的圖象形狀時，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點？探究點3

五點(畫圖)法在一個周期內(nèi)，例如[[0，2π]，從正弦函數(shù)的圖象(如圖)可以看出:x=0，π，2π是y=sinx的零點；，分別是y=sinx的最大值點、最小值點.它們在正弦曲線中起著關(guān)鍵作用.

根據(jù)正弦曲線的基本性質(zhì)，描出(0，0)(，1)，(π，0)，(，-1)，(2π，0)這五個關(guān)鍵點后，函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象就基本確定了(如圖).

因此，在精確度要求不太高時，常常先描出這五個關(guān)鍵點，然后用光滑曲線將它們順次連接起來，就得到正弦函數(shù)的簡圖.這種作正弦曲線的方法稱為“五點(畫圖)法”.例2畫出函數(shù)y=-sinx在區(qū)間[0，2π]上的圖象.解按照五個關(guān)鍵點列表：得到五個關(guān)鍵點：解按照五個關(guān)鍵點列表：得到五個關(guān)鍵點：描點連線：例3畫出函數(shù)y=sinx-1的圖象，并討論它的性質(zhì).解：函數(shù)y=sinx的周期是2π，按五個關(guān)鍵點列表(如表).于是得到函數(shù)y=sinx-1在[0，2π]上的五個關(guān)鍵點為描點，并用光滑曲線將它們順次連接起來，就畫出函數(shù)y=sinx-1在區(qū)間[0，2π]上的圖象.將其按周期延拓到R上得到y(tǒng)=sinx-1在實數(shù)集上的圖象，如圖.觀察