單調(diào)性與最大（?。┲担ǖ?課時） 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第三章

函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

第1課時

函數(shù)的單調(diào)性

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2.會劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，提升直觀想象的核心素養(yǎng)；3.會用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)。重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：1.函數(shù)單調(diào)性的定義；

2.函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明。難點(diǎn)：根據(jù)定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性。（一）新知導(dǎo)入

1.創(chuàng)設(shè)情境，生成問題德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究.他經(jīng)過測試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：時間間隔t剛記憶完畢20分鐘后60分鐘后8～9小時后1天后2天后6天后一個月后記憶量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上數(shù)據(jù)表明，記憶量y是時間間隔t的函數(shù).艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”，如圖.（一）新知導(dǎo)入【探究1】(1)當(dāng)時間間隔t逐漸增大，你能看出對應(yīng)的函數(shù)值y有什么變化趨勢？

(2)“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，對此，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行解釋？【提示】(1)隨著時間間隔t逐漸增大，函數(shù)值y逐漸變小.(2)“艾賓浩斯遺忘曲線”是減函數(shù)曲線.探究概念——直觀感知“形”請問氣溫在哪段時間內(nèi)是逐漸升高的或下降的?T(℃)4812162024to-2248610某市一天24小時的氣溫變化圖y＝f(x)，x∈[0，24]

2.探索交流，解決問題【探究2】探究概念——直觀感知“形”觀察下列圖像，看其變化規(guī)律：

1、從左至右圖象上升還是下降

?

2、在區(qū)間

________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著

______．上升(-∞,+∞)增大下降減小探究概念——直觀感知“形”畫出函數(shù)f(x)=x2的圖象，觀察其變化規(guī)律：

【探究3】1、在區(qū)間

____上，f(x)的值隨著x的增大而

______．2、在區(qū)間

_____上，f(x)的值隨著x的增大而

_____．

(-∞,0]減小[0,+∞)增大探究概念——具體感知“數(shù)”畫出函數(shù)f(x)=x2的圖象，觀察其變化規(guī)律：

【探究3】（二）函數(shù)的單調(diào)性（1）當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．

單調(diào)性定義

1.增函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D中的任意兩個自變量的值x1，x2.（2）當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．

2.減函數(shù)

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)

，區(qū)間D叫做y＝f(x)的

．單調(diào)性單調(diào)區(qū)間（二）函數(shù)的單調(diào)性（二）函數(shù)的單調(diào)性注意：

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D中的任意兩個自變量的值x1，x2。

當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。

當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。

（二）函數(shù)的單調(diào)性注意：

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D中的任意兩個自變量的值x1，x2。

當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。

當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。（二）函數(shù)的單調(diào)性【辯一辯】1．如果f(x)在區(qū)間[a，b]和(b，c]上都是增函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[a，c]上是增函數(shù)．()2．函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則f(－3)>f(3)．()3．若函數(shù)y＝f(x)在定義域上有f(1)<f(2)，則函數(shù)y＝f(x)是增函數(shù)．()4．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝－f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．()【做一做】如圖是定義在[-5,5]上的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：

；單調(diào)遞減區(qū)間是：

?！痢獭痢蘙-2,1],[3,5][-5,-2],[1,3]

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

yoxoyxyoxyoxyox在是增函數(shù)在是減函數(shù)在(-∞,+∞)是減函數(shù)在(-∞,0)和(0,+∞)是減函數(shù)在(-∞,+∞)是增函數(shù)在(-∞,0)和(0,+∞)是增函數(shù)yox在是減函數(shù)在是增函數(shù)y=kx+b(k≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)（二）函數(shù)的單調(diào)性例：

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，則滿足

的x的取值范圍為___________.（三）利用函數(shù)單調(diào)區(qū)間求范圍鞏固練習(xí)1：已知y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù),且f(1-a)-f(2a-1)<0,求a的取值范圍.例2：根據(jù)定義判斷函數(shù)f(x)=2x+3的單調(diào)性。（四）利用定義判斷或證明單調(diào)性解：函數(shù)f(x)=2x+3的定義域是R。

則

f(x1)-f(x2)=(2x1+3)-(2x2+3)=2(x1-x2)由x1<x2

，得x1-

x2<0∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)∴

f(x)=2x+3是增函數(shù)。變形定號作差結(jié)論取值?x1,x2∈R,且x1<x2鞏固練習(xí)2：

根據(jù)定義證明函數(shù)

在區(qū)間上單調(diào)遞增.

證明：在區(qū)間上任取兩個值且

則，且所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).取值作差變形定號結(jié)論（四）利用定義判斷或證明單調(diào)性鞏固練習(xí)2：

根據(jù)定義證明函數(shù)

在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（四）利用定義判斷或證明單調(diào)性（五）操作演練

素養(yǎng)提升

[答案]1.A2.D3.B課堂小結(jié)知識總結(jié)

通過這個試驗(yàn)，結(jié)合我們今天所學(xué)的內(nèi)容，你打算以后如何對待剛學(xué)過的知識？