第3章 章末小結(jié) - 副本

第3章章末小結(jié)【知識(shí)導(dǎo)圖】【題型探究】圓錐曲線的定義及應(yīng)用例1(1)(2022年全國(guó)乙卷)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=().A.2B.22C.3D.32(2)(2021年全國(guó)甲卷)已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為().A.72 B.132 C.7小結(jié)涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題時(shí),常用定義結(jié)合解三角形的知識(shí)來(lái)解決;在求有關(guān)拋物線的最值問(wèn)題時(shí),常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,結(jié)合幾何圖形,利用幾何意義去解決.運(yùn)用定義解題時(shí)應(yīng)注意圓錐曲線定義中的限制條件.本題滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的素養(yǎng).圓錐曲線的方程例2(2021年北京卷)雙曲線C:x2a2-y2b2=1的離心率為2,過(guò)點(diǎn)(2,3),A.x23-y2=1 B.x2-yC.x2-3y23=1 D.3x小結(jié)一般求已知曲線類(lèi)型的曲線方程問(wèn)題,可采用“先定形,后定式,再定量”的步驟.本題考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).圓錐曲線的幾何性質(zhì)例3(1)(多選題)(2022年新高考全國(guó)Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過(guò)點(diǎn)B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則().A.C的準(zhǔn)線方程為y=-1B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2(2)(2022年新高考全國(guó)Ⅰ卷)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,離心率為12.過(guò)F1且垂直于AF2的直線與C交于D,E兩點(diǎn),|DE|=小結(jié)應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)時(shí),要注意與數(shù)形結(jié)合、方程思想等結(jié)合運(yùn)用.本題考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象以及邏輯推理的素養(yǎng).直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例4(2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷)已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),右焦點(diǎn)為F((1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn),直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切.證明:M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=3.小結(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等諸多方面的知識(shí),形成了求軌跡、最值、對(duì)稱(chēng)、取值范圍、線段的長(zhǎng)度等多種問(wèn)題.解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,以形輔數(shù)的方法,還要多結(jié)合圓錐曲線的定義,根與系數(shù)的關(guān)系以及“點(diǎn)差法”等.本題滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的素養(yǎng).與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題例5(2022年全國(guó)甲卷)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過(guò)F的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MF|=3.(1)求C的方程.(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程.【小結(jié)圓錐曲線中的最值問(wèn)題通常有兩類(lèi):一類(lèi)是有關(guān)長(zhǎng)度、面積的最值問(wèn)題;一類(lèi)是圓錐曲線中有關(guān)幾何元素的最值問(wèn)題.這兩類(lèi)問(wèn)題的解決往往需要回歸定義,結(jié)合所學(xué)平面幾何知識(shí),建立目標(biāo)函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識(shí),以及數(shù)形結(jié)合,設(shè)參,轉(zhuǎn)化,代換等途徑來(lái)解決.本題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的素養(yǎng).圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題例6(2020年全國(guó)Ⅰ卷)已知A,B分別為橢圓E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),AG·GB=8,P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E(1)求E的方程.(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).小結(jié)對(duì)于圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題,有以下兩種求法:(1)從特殊情況入手,先求含變量的定點(diǎn)(定值),再證明這個(gè)點(diǎn)(值)與變量的關(guān)系.(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算的過(guò)程中消去變量,從而得到定點(diǎn)(定值).【拓展延伸】圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及應(yīng)用圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓,通過(guò)平面直角坐標(biāo)系,它們又與一元二次方程對(duì)應(yīng),所以圓錐曲線又叫作二次曲線.圓錐曲線一直是幾何學(xué)研究的重要課題之一,在我們的實(shí)際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線.一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)1.橢圓的光學(xué)性質(zhì)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)橢圓反射后,反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上,如圖所示.橢圓的這種光學(xué)性質(zhì),常被用來(lái)設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置,例如點(diǎn)F1處放置一個(gè)熱源,那么紅外線也能聚焦于點(diǎn)F2處,對(duì)F2處的物體加熱.電影放映機(jī)的反光鏡也是這個(gè)原理.2.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)雙曲線反射后,反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上,如圖.雙曲線的這種反向虛聚焦性質(zhì),在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面,也能找到實(shí)際應(yīng)用.3.拋物線的光學(xué)性質(zhì)從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)拋物線反射后,反射光線都平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸,如圖所示.拋物線的這種聚焦性質(zhì),成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇.例如探照燈、汽車(chē)大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線,把光源置于它的焦點(diǎn)處,經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束,使照射距離加大,并可通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方向,控制照射方向.衛(wèi)星通信像碗一樣接收或發(fā)射天線,一般也是以拋物線對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)得到的,把接收器置于其焦點(diǎn),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星,這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號(hào)射線最大限度地集中到接收器上,保證接收效果;反之,把發(fā)射裝置安裝在焦點(diǎn),讓對(duì)稱(chēng)軸跟蹤衛(wèi)星,則可以使發(fā)射的電磁波訊號(hào)射線能平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置,同樣保證接收效果.最常見(jiàn)的太陽(yáng)能熱水器,它也是以拋物線鏡面聚集太陽(yáng)光,以加熱焦點(diǎn)處的儲(chǔ)水器的.二、圓錐曲線光學(xué)的應(yīng)用例1如圖所示,橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn),根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題:已知曲線C的方程為x24+y23=1,其左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P,且|PF1|=32,過(guò)點(diǎn)P且與直線l垂直的直線l'與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)M,則|F1M|∶|F例2雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為:如圖①,從雙曲線右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射,反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F1.我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”,就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分,如圖②,其方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2分別為其左、右焦點(diǎn),若從右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后,滿足∠BAD=90°,tan∠ABC=-34A.52 B.5 C.102例3拋物線具有以下光學(xué)性質(zhì):從焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸.該性質(zhì)在實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用非常廣泛.如圖,從拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F發(fā)出的兩條光線a,b分別經(jīng)拋物線上位于第一象限的A,B兩點(diǎn)反射,已知兩條入射光線與x軸所成銳角均為60°,則兩條反射光線a'和b'之間的距離為().A.233C.433三、總結(jié)我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽(yáng)的橢圓軌跡上運(yùn)行,太陽(yáng)系其他行星也如此,太陽(yáng)則位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.如果這些行星運(yùn)行速度增大到某一程度,它們就會(huì)沿拋物線或雙曲線運(yùn)行.人類(lèi)發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就是遵照了這個(gè)原理.由拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn),可得到一個(gè)叫作旋轉(zhuǎn)拋物面的曲面.它也有一條軸,即拋物線的軸.在這個(gè)軸上有一個(gè)具有奇妙性質(zhì)的焦點(diǎn),任何一條過(guò)焦點(diǎn)的直線由拋物面反射出來(lái)以后,都成為平行于對(duì)稱(chēng)軸的直線.這就是我們?yōu)槭裁匆烟秸諢舴垂忡R做成旋轉(zhuǎn)拋物面的道理.由雙曲線的一支繞其虛軸旋轉(zhuǎn),可以得到雙曲面,它又是一種直紋曲面,由兩組母直線