中考數(shù)學復習之考點題型全歸納與分層精練（全國通用）：與圓有關(guān)的計算(解析版)

專題31與圓有關(guān)的計算

【專題目錄】

技巧1:圓與相似三角形的綜合

技巧2:用三角函數(shù)解與圓有關(guān)問題

技巧3:圓與學科內(nèi)知識的綜合應(yīng)用

【題型】一、求多邊形中心角

【題型】二、已知正多邊形中心角求邊數(shù)

【題型】三、正多邊形與圓

【題型】四、利用弧長公式求弧長、圓心角、半徑

【題型】五、扇形面積的相關(guān)計算

【題型】六、圓錐側(cè)面積的相關(guān)計算

【考綱要求】

1.掌握弧長和扇形面積計算公式，并能正確計算.

2.運用公式進行圓柱和圓錐的側(cè)面積和全面積的計算.

3.會求圖中陰影部分的面積.

【考點總結(jié)】一、弧長、扇形面積的計算

1.如果弧長為/,圓心角的度數(shù)為〃。，.圓的半徑為r,那么弧長的計算公式為/=

180

2.由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對弧圍成的圖形叫做扇形.若扇形的圓心角為“。，所在圓半徑為r,

弧長為/,面積為5,則5=需或5=全.

【考點總結(jié)】二、圓柱和圓錐

1.圓柱的側(cè)面展開圖是矩形,這個矩形的長等于圓柱的底面圓的囿氐，寬等于圓柱的高上.如果圓柱的底面

半徑是r,則S側(cè)=2兀，為，S全=2兀戶+2兀機

2.圓錐的軸截面與側(cè)面展開圖：軸截面為由母線、底面直徑組成的等腰三角形.圓錐的側(cè)面展開圖是一個

扇形,扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長,扇形的半徑等于圓錐的母線長.因此圓錐的側(cè)面積:5削=沙2”

="/（/為母線長，/為底面圓半徑）；圓錐的全面積：S企=SM+S底="/+兀尺

【考點總結(jié)】三、不規(guī)則圖形面積的計算

求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積時，最基"本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)

化為規(guī)則圖形的面積.常用的方法有：

1.直接用公式求解.

2.將所求面積分割后，利用規(guī)則圖形的面積相互加減求解.

3.將陰影中某些圖形等積變形后移位，重組成規(guī)則圖形求解.

4.將所求面積分割后，利用旋轉(zhuǎn)將部分陰影圖形移位后，組成規(guī)則圖形求解.

5.將陰影圖形看成是一些基本圖形覆蓋而成的重疊部分，用整體和差法求解.

【技巧歸納】

技巧1:圓與相似三角形的綜合

1.【中考?衢州】如圖，己知AABC,AB=BC,以AB為直徑的圓交AC于點D,過點D的。。的切線交

BC于點下.若CD=5,CE=4,則。0的半徑是（）

A.3B.4C.得Dr^

2.【中考.南.通】如圖，AB為。。的直徑，C為。O上一點，弦AD平分NBAC,交BC于點E,A，B=6,

AD=5,則AE的長為（）

A.2.5B.2.8C.3D.3.2

3.如圖，A,B,C,D是。O上的四個點，AB=AC,AD交BC于點E,AE=3,ED=4,則AB的長為（）

A.3B.2小C.回D.3小

A

?

（第3題）

（第4題）

4.如圖，AB是。。的直徑，點C在圓上，CD1AB,DE〃BC,則圖中與△ABC相似的三角形有

個.

5.如圖，直線1與半徑為4的OO相切于點A,P是。O上的一個動點（不與點A重合），過點P作PBJJ,

垂足為B,連接PA.設(shè)PA=x“PB=y,則x-y的最大值是.

AB，（第5題）

B（第6題）

6.如圖，AB是半圓直徑，半徑OC_LAB于點O,AD平分NCAB交弧BC于點D,連接CD,OD,給出

以下四個結(jié)論：①AC〃0D：②CE=0E；（§）△ODE^AADO；?2CD2=CEAB,其中正確結(jié)論的序號是

7.【2017?濱州】如圖，點￡是4ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點F,交^ABC的外接圓。O于點D,

連接BD,過點D作直線DM,使NBDM=/DAC.

（1）求證：直線DM是（DO的切線；

（2）求證：DE2=DFDA.

Mn（第7題）

8.如圖，AB是。O的直徑，點C為。。上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E,AE交0O于

點D,直線EC交AB的延長線于點P,連接AC,BC,PBPC=12.

⑴求證：AC平分NBAD；

(2)探究線段PB,AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)若AD=3,求△ABC的面積.

答案

1.D2.B3.C4.45.26,?@

7.證明：(1)如圖，連接0D.

?.?點￡是4ABC的內(nèi)心，

.\ZBAD=ZCAD.

.,.BD=cb..\OD±BC.

又；/BDM=NDAC,ZDAC=ZDBC,

.\ZBDM=ZDBC.

:.BC〃DM.，OD_LDM.

直線DM是。O的切線.

(2)如圖，連接BE.

?.?點￡是4ABC的內(nèi)心，

二/BAE=/CAE=/CBD,/ABE=/CBE.

ZBAE+ZABE=ZCBD+ZCBE,

即NBED=ZEBD.ADB=D.E.

VZDBF=ZDAB,/BDF=/ADB,AADBF^ADAB.

，器=需epDB2=DFDA.

UDDA

8.(1)證明：如圖，連接OC.TPE與。O相切，??.OC_LPE.

VAE1PE,???OC〃AE.

:.ZCAD=ZOCA.

:.ZOCA=ZOAC.AZCAD=ZOAC.

???AC平分/BAD.

（第8題）

(2)解：PB,AB之間的數(shù)量關(guān)系為AB=3PB.

理由如下：:AB為。。的直徑，.,.ZACB=90°.

???/BAC+NABC=90。????OB=OC,

，ZOCB=NABC.丁ZPCB+NOCB=90。，

AZPCB.=ZPAC.

VZP=ZP,AAPCA^APBC.

PCPA

APC2=PBPA.

rDri,

VPBPC=12,

???PC=2PB..JPA=4PB.JAB=3PB.

13

(3)解：過點O作OH_LAD于點H,如圖，則AH=]AD=,

3

四邊形OCEH是矩形.，OC=HE..?.AE=]+OC.

OCPO

VOC/7AE,AAPCO^APEA.A

AEPA

3

,.,AB=3PB,AB=2OB,AOB=^PB.

PBBC

c/>

,*,△PBCZ\PCA,?'.=A「=W，

iv-AL乙

.：.AC=2BC.

在4△ABC中，AC2+BC2=AB2,

.,.(2BC)2+BC2=52,/.BC=V5,AAC=2^5.

，SAABC=/ACBC=5,即△ABC的面積為5.

技巧2：用三角函數(shù)解與圓有關(guān)問題

一、選擇題

1.如.圖，已知△ABC的外接圓。。的半徑為3,AC=4,則si〃B=（）

2.如圖，已知0O的兩條弦AC,BD相交于點E,ZA=70°,ZC=50°,那么cosNAEB的值為（）

4.—

3.在△ABC中，AB=AC=5,si〃B=5.OO過B,C兩點，且。0的半徑r=?,則0A的長為（

A.3或5B.5C.4或5D.4

二、填空題

4.如圖，AB是。O的直徑，AB=15,AC=9,則S〃NADC=

（第4題）

（第5題）

5.如圖，直線MN與。0相切于點M,ME=EF且EF〃MN,則cosE=.

6.如圖，在半徑為5的。O中，弦AB=6,點C是優(yōu)弧AB上的一點（不與A,B重合），則cosC的值為

7.如圖，在直角坐標系中，四邊形OABC是直角梯形，BC〃OA,(DP分別與OA,OC,BC相切于點E,

D,B,與AB交于點F,已知A(2,0),B(l,2),則加〃/FDE=.

三、解答題

8.如圖，在RdABC中，/C=90。，AC=小，半徑為2的。C分別交AC,BC于點D,E,

得到6k

(1)求證：AB為.(DC的切線;

(2)求圖中陰影部分的面積.

c

皿第8題)

9.如圖，AB是。。的直徑，CD與相切于點C,與AB的延長線交于點D,.DELAD且與AC的延長

線交于點E.

(1)求證：DC=DE；

(2)若S〃NCAB=；,AB=.3,求BD的長.

答案

一、l.D2.C3.A

14

5.76.77,2

（第8題）

8.（1）證明：如圖，過點C作CFJ_AB于點F,在ABC中，刈〃B=^:=:,；.BC=2AC=2AB

DL.Z

=、AC2+BC2=、（?。?+（2⑹2=5,...CF=歿薩=小，巾=2.AB為。C的切線.

（2）解：SBI?=SAABC-S即CCDE=￡ACBC—小x2小-'^^'=5一萬.

9.（1）證明：連接0C,如圖，；CD是。0的切線，

；./OCD=90°,.?.ZACO+ZDCE=90°.

又?.，ED_LAD,.?./EDA=90°,二/￡人口+/￡=90°.：(^=0人，，/ACO=/EAD,故NDCE=/E,

二DC=DE.

(2)解：設(shè)BD=x,則AD=AB+.BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x.在RmEAD中，/CAB=1,

.?.ED=；AD=T(3+X).由(1)知,DC=DE=；(3+x).在心△OCD中,OC2+CD2=DCP,則1.52+1(3+x)

2

=(1.5+x)2,.解得X1=—3(舍去)，X2=l,故BD=1.

（第9題）

技巧3：圓與學科內(nèi)知識的綜合應(yīng)用

【類型】一：圓與三角函數(shù)的綜合

1.如圖，AB為。。的直徑，直線CD切。O于點D,AMJ_CD于點M,BNLCD于點N.

(1)求證：ZADC=ZABD；

(2)求證：AD2=AMAB；

1Q3

(3)若AM=彳，sinNABD=g,求線段BN的長.

B

（第1題）

【類型】二：圓與相似的綜合

2.如圖，RfZ\ABC內(nèi)接于。O,NACB=90。，點P在晶上移動，P,C分別位于AB的異側(cè)(P不與A,B

重合)，4PCD也為直角三角形，ZPCD=90°,且Rf^PCD的斜邊PD經(jīng)過點B,BA,PC相交于點E.

RF

(1)當BA平分/PBC時，求器的值；

(2)已知AC=1,BC=2,求4PCD面積的最大值.

【類型】三：圓與二次函數(shù)的綜合

3.如圖，在平面直角坐標系中，OA與x軸相交于C(-2,0),D(—8,0)兩點，與y軸相切于點B(0,4).

(1)求經(jīng)過B,C,D三點的拋物線的函數(shù)表達式.

(2)設(shè)拋物線的頂點為E,證明：直線CE與。A相切.

(3)在x軸下方的拋物線上，是否存在一點E使△B.DF的面積最大，最大值是多少？并求出點F的坐

L(1)證明：如圖，連接OD.

?.?直線CD切。O于點D,

AZCDO=90°.VAB為。O的直徑，

ZADB=90°.ZL+Z2=Z2+Z3=90°,/.Z1=Z3.VOB=OD,

.??Z3=Z4..\Z1=Z4,

即NADC=NABD.

(2)證明：；AM_LCD,，/AMD=/ADB=90°.又=.?.△ADMS^ABD“，K=T^.，AD2

2ADAt)

=AMAB.

3318

(3)解：\'sinZABD=pZABD=Z1,Zl=^.VAM=y,AAD=6.

AAB=10.

ABD=^AB2-AD2=8.VBN1CD,AZBND=90°.

3

JZDBN+NBDN=Z1+ZBDN=90°.ANDBN=Zl.AsinNDBN=§.

24__________32

/.DN=y.；.BN=^/BD2-DN2=y.

2.解：⑴連接PA.：BA平分/PBC,

NPBA=NCBA=ZACP.

■:ZACP+NPCB=/BCD+ZPCB=90°,/.NACP=ZBCD.ANBCD=NCBA=ZPBA.AA.B〃CD.

/.ZPBA=ZD.ZBCD=ZD.

ABC=BD.

又?.?/PCD=90。，易證得PB=BC=BD.

又：AB〃CD,APE=EC.

；.BE是APCD的中位線.

.BE1

*"CD=2'

(2)VZPCD=ZACB=90°,

NCAB=NCPD,AAABC^APDC.

.?.當PC最大時，APCD的面積最大，

即PC為。O的直徑時，4PCD的面積最大.

二當PC=AB=#AC2+BC2=4寸,4PCD的面積的最大值為(小產(chǎn)=5.

3.(1)解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c,

'4=c,

把點B(0,4),C(-2,0),D(-8,0)的坐標分別代入，得《0=4a-2b+c,

、0=64a—8b+c,

f1

a=T

解得《._5

b—2，

、c=4.

經(jīng)過B,C,D三點的拋物線的函數(shù)表達式為y=*+|x+4.

1519

(2)證明：???y=ax2+$x+4=a(x+5j2一1

：.E(-5,

設(shè)直線CE的函數(shù)表達式為y=mx+n,

直線CE與y軸交于點G,則

33

???直線CE,的函數(shù)表達式為y=&+水

33

+T

2

4X

如圖①，連接AB,AC,AG,

35

則BG=OB-OG=4-^=2.

；.BG=CG.

fAB=AC,

在Z^ABG與4ACG中，jBG=CG,

.AG=AG,

AABG^AACG..,.ZACG=ZABG.

：OA與y軸相切于點B(0,4),

/ABG=90°.ZACG=ZABG=9X)°.

?.?點C在。A上，...直線CE與OA相切.

①

(3)解：存在點F,使ABDE的面積最大.

設(shè)F(t,/2+|t+4),如圖②，連接BD,BF,DF,

過點F作FN〃y軸交BD于點N,

4=d,k=',

2

設(shè)直線BD的函數(shù)表達式為丫=1?+￡1,則?__解得，

ld=4.

直線BD的函數(shù)表達式為y=4+4.

.?.點N的坐標為(t,,+4)

二FN=去+4—($+*+4)=_2t.

?'?SADBF=S.&DNF+SABNF=|OD-FN=^X8X^—It2—2tJ=-t2—8t=—(t+4)2+16.

.,.當t=-4時,SABDF最大,最大值是16.

當t=—4時，|t2+|t+4=-2,

?,.F(-4,-2).

【題型講解】

【題型】一、求多邊形中心角

例1、正六邊形的邊長為4,則它的面積為（）

A.48百B.24百C.60D.12月

【答案】B

【提示】根據(jù)題意畫出圖形，由正六邊形的特點求出/AOB的度數(shù)及OG的長，再由A043的面積即可求

解.

【詳解】解：如圖，過正六邊形中心0作OG_LAB于G

???此多邊形為正六邊形，

?/360°小

ZAOB=-------=60°；

6

VOA=OBtZAOB=60°,OG±AB

???△OAB是等邊三角形，ZAOG=-ZAOB=30°

2

OA=AB=4f

：.OG=OA-cos30°=4x@=25

2

*??SAOAB=5xABxOG二—x4x2-^3=4-^3，

??S；、詼形:6S△QA8=6X4yfi—245/3

例2、如圖，ABC3EF是中心為原點O,頂點A，。在x軸上，半徑為4的正六邊形，則頂點尸的坐標

A.(2,273)B.(-2,2)C.(-2,2^)D.(-1,73)

【答案】C

【提示】連接OF,設(shè)EF交y軸于G,那么NGOF=30。；在RtAGOF中，根據(jù)30。角的性質(zhì)求出GF,根據(jù)

勾股定理求出OG即可.

【詳解】

解：連接OF,

在RtAOFG中，ZGOF=lx^-=30,OF=4.

26

；.GF=2,00=273.

：.F（-2,2百）.

故選C.

【題型】二、已知正多邊形中心角求邊數(shù)

例3、若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是36。，則這個多邊形是（）

A.正五邊形B.正八邊形C.正十邊形D.正十八邊形

【答案】C

【提示】

一個正多邊形的中心角都相等，且所有中心角的和是360。，用360。除以中心角的度數(shù)，就得到中心角的

個數(shù)，即多邊形的邊數(shù).

【詳解】

由題意可得：

邊數(shù)為36（）°+36°=1（）.

則這個多邊形是正十邊形.

故選：C.

3

例4、一個半徑為3的圓內(nèi)接正n邊形的中心角所對的弧等于二71,則n的值為（）

4

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【提示】

先利用弧長公式求出中心角的度數(shù)，由此即可得出答案.

【詳解】

設(shè)圓內(nèi)接正n邊形的中心角的度數(shù)為了。

x?3

由弧長公式得：f=2萬

1804

解得x=45

即圓內(nèi)接正n邊形的中心角的度數(shù)為45°

故選：B.

【題型】三、正多邊形與圓

例5、半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為mb,c,則a,b,c的大小關(guān)系是

()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【答案】A

【提示】分別畫出符合題意的圖形，利用直角三角形50”,利用三角函數(shù)求解邊心距，再比較大小即可.

【詳解】解：設(shè)圓的半徑為R,

如圖，OB=R,OH=aQHA.BC,

由,A3C為圓。內(nèi)接正三角形，

ZBOH=60°,

則正三角形的邊心距為a=/?xcos60°=—/?.

2

如圖，四邊形A5CD為圓。的內(nèi)接正方形,

OB=R,OH=b,OH±BC,

;.NBOH=45°,

HC

歷

四邊形的邊心距為fe=/?xcos45°=

2

如圖，六邊形A3CDEF為圓。的正內(nèi)接六邊形,

OB=R,OH=c,OHyBC,

F-------、JE

.-.ZBOH=30°,

正六邊形的邊心距為c=Rxcos3(T=^-R.

?:LR〈顯R〈顯R

222

a<b<c,

故選：A.

例6、如圖，圓內(nèi)接正六邊形的邊長為4,以其各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（）

A.246—4萬B.12J5+4萬C.246+8萬D.24肉4萬

【答案】A

【提示】正六邊形的面積加上六個小半圓的面積，再減去中間大圓的面積即可得到結(jié)果.

【詳解】解：正六邊形的面積為：1x4x2V3x6=24V3,

2

六個小半圓的面積為：-2x3=\1TI＞中間大圓的面積為：萬-4?=164,

所以陰影部分的面積為：246+124—16萬=246—4乃，

故選：A.

【題型】四、利用弧長公式求弧長、圓心角、半徑

例7、如圖，A6是）0的直徑，CO是弦，點在直徑AB的兩側(cè).若

ZAOC:ZAOD:ZDOB^2:7:U,8=4,則比的長為（）

B

A.2萬B.4萬C.匕1D.缶

2

【答案】D

【提示】

根據(jù)410。：/40。：/008=2:7:11求出/。0￡＞的度數(shù)，根據(jù)CD=4得到半徑，運用弧長公式計算

即可.

【詳解】

TZAOD:ZDOB=7:11,ZAOD+ZDOB=180°,

7

ZA0D=180°x—=70°,

18

又,:ZAOC:NAQD=2:7,

AZAOC=20°,

；?ZCOD=90°,

又???CD=4,

nxTVxOD_90x%x2及

180—180

故答案選D.

例8、一個扇形的圓心角為120°,扇形的弧長等于4肛則該扇形的面積等于（）

A.2%B.4萬C.12%D.24〃

【答案】C

YlTCr

【提示】根據(jù)弧長公式/=——，代入求出r的值，即可得到結(jié)論.

180

【詳解】解：由題意得，4n=］誓，

18（）

解得：r=6,

S=—x6x4^=12w.

2

故選：C.

例8、若扇形的圓心角是150"且面積是240?CT/,則此扇形的弧長是（）

A.lOTrcmB.2金兀ctnC.30%cmD.40^cm

【答案】B

【提示】

先根據(jù)S項修=竺△-求出該扇形的半徑R,然后再根據(jù)S例產(chǎn)一/R即可求得弧長/.

3602

【詳解】

解：由5附柩=竺七，n=150°,可得240兀="竺史，解得R=24；

360360

又由S刈；尸2/R可得2407t=—/x24,解得/=20兀.

22

故答案為B.

【題型】五、扇形面積的相關(guān)計算

例9、如圖是一個幾體何的三視圖（圖中尺寸單位：cm）,則這個幾何體的側(cè)面積為（）

8

A.48jicm2B.24itcm2C.\2itcm2D.9ncm2

【答案】B

【提示】

先判斷這個幾何體為圓錐，同時得到圓錐的母線長為8,底面圓的直徑為6,然后利用扇形的面積公式計算

這個圓錐的側(cè)面積.

【詳解】

解：由三視圖得這個幾何體為圓錐，圓錐的母線長為8,底面圓的直徑為6,

所以這個幾何體的側(cè)面積=-xx6x8=247t(cm2).

27t

故選:B.

例10、如圖，在0。中，OA=2,NC=45°,則圖中陰影部分的面積為()

【答案】D

【提示】

根據(jù)圓周角定理得出NAOB=90。，再利用SI”=S“麗AB-SAOAB算出結(jié)果.

【詳解】

解：???/C=45°,

NAOB=90°,

VOA=OB=2,

??S康wOAB-SAOAB=-------------X2X2=7T—2,

3602

故選D.

【題型】六、圓錐側(cè)面積的相關(guān)計算

例11、一個圓錐的底面半徑r=10,高人=20,則這個圓錐的側(cè)面積是（）

A.1006兀B.2006兀C.10075KD.2006兀

【答案】C

【提示】

先利用勾股定理計算出母線長，然后利用扇形的面積公式計算這個圓錐的側(cè)面積.

【詳解】

解：這個圓錐的母線長="（）2+202=10逐,

這個圓錐的側(cè)面積=yx27txlOxloT5=100遂兀.

故選：C.

例12、用一個半徑為3,面積為3萬的扇形鐵皮，制作一個無底的圓錐（不計損耗），則圓錐的底面半徑為（）

A.兀B.2"C.2D.1

【答案】D

【提示】

根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和

扇形面積公式得到g-27t-r-3=37T）然后解方程即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意得《Z-rWuSTt,

解得kL

故選：D.

例13、如圖，有一塊半徑為1m,圓心角為90'的扇形鐵皮，要把它做成一個圓錐形容器（接縫忽略不計），

那么這個圓錐形容器的高為（）.

.13V15八百

A.—mBR.-mCr.-----mD.—m

4442

【答案】C

【提示】

首先利用扇形的弧長公式求得圓錐的底面周長，求得底面半徑的長，然后利用勾股定理求得圓錐的高.

【詳解】

解：設(shè)圓錐的底面周長是/,則/=也=雙"蟲=gm,

1801802

jr1

則圓錐的底面半徑是：月十（2萬）=-m,

故選：C.

與圓有關(guān)的計算（達標訓練）

一、單選題

1.已知圓內(nèi)接正六邊形的半徑為26則該內(nèi)接正六邊形的邊心距為（）

A.GB.273C.3D.3

2

【答案】C

【分析】構(gòu)建直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可求出.

【詳解】解：連接。4,作。45于M,得到NAOM=30。，AB=25,

則AM-y/3,

D

A

因而OM=O4?cos30o=3,

，正六邊形的邊心距是3.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了正多邊形和圓、解直角三角形，正確掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.如圖，五邊形ABCDE是。的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角NG8的度數(shù)是（）

A.72°B.60°C.48°D.36°

【答案】A

【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式：也360計°算即可.

n

【詳解】解：；五邊形A8COE是。。的內(nèi)接正五邊形，

360°

二五邊形ABCDE的中心角ZCOD的度數(shù)為三一=72°,

故選：A.

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計算公式：陋360-°是解題的關(guān)鍵.

n

3.我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)在圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)加倍的過程中，“割之彌細，所失彌少，割之

又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”，即當圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面

積可無限逼近圓面積，他首創(chuàng)了利用圓的內(nèi)接正多邊形確定圓周率.這種確定圓周率的方法稱為（）

A.正負術(shù)B.方程術(shù)C.割圓術(shù)D.天元術(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)我國利用“割圓術(shù)'’求圓周率的近似值解答即可.

【詳解】解：由題意可知：利用圓的內(nèi)接正多邊形確定圓周率.這種確定圓周率的方法稱為“割圓術(shù)

故選：C.

【點睛】本題考查正多邊形和圓，解題的關(guān)鍵是了解我國古代用“割圓術(shù)”求圓周率的近似值，即在一個圓中，

它的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，正多邊形就越像圓，它的周長和面積就更接近圓的周長和面積.

4.公元263年，我國數(shù)學家利用“割圓術(shù)”計算圓周率.割圓術(shù)的基本思想是“割之彌細，所失彌少，割之又

割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣隨后，公元480年左右，我國另一位數(shù)學家又進一步得

到圓周率精確到小數(shù)點后7位，由此可知，這兩位數(shù)學家依次為（）

A.劉徽，祖沖之B.祖沖之，劉徽C.楊輝，祖沖之D.秦九韶，楊輝

【答案】A

【分析】掌握割圓術(shù)和圓周率的發(fā)明過程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：3世紀中期，魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算

法，所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法.圓周率不是某一個人發(fā)明的，

而是在歷史的進程中，不同的數(shù)學家經(jīng)過無數(shù)次的演算得出的.古希臘大數(shù)學家阿基米德（公元前287-212

年）開創(chuàng)了人類歷史上通過理論計算圓周率近似值的先河.公元480年左右，南北朝時期的數(shù)學家祖沖之進

一步得出精確到小數(shù)點后7位的結(jié)果，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值31415927,還得到兩個近

似分數(shù)值.

故選：A.

【點睛】本題考查了割圓術(shù)和圓周率的發(fā)明過程和發(fā)明人，熟練掌握割圓術(shù)和圓周率的發(fā)明過程是解題的

關(guān)鍵.

5.下列圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長最小的是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，越接近圓的周長，正多邊形周長越長.

【詳解】解：圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，越接近圓的周長，正多邊形周長越長，

故選：A.

【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是掌握“圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，越接近圓的周長,

正多邊形周長越長

6.如圖，將正六邊形ABCOEF放在直角坐標系中，中心與坐標原點重合，若。點的坐標為（2,0）,則點F

B.卜6,1)

c.（-6同D.(-1,1)

【答案】A

【分析】先連接。尸，由于正六邊形是軸對稱圖形,并設(shè)EF交y軸于G,那么ZGOF=30°；在Rt_GOF中,

則GF=1,OG=6.即可求得尸的坐標.

【詳解】解：連接。尸，設(shè)成交y軸于G,如圖所示,

???。點的坐標為（2,0）,

/.OD=2,

由正六邊形尸是軸對稱圖形知：

在Rt_G。尸中，NGOF=30°,OF=2.

GF=\,OG=G，

AF（-l,道）,

【點睛】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)及圖形與坐標，熟練掌握正多邊形的性

質(zhì)、含30度宜角三角形的性質(zhì)及圖形與坐標是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，點。是正六邊形ABC。所的中心，NGOK的兩邊OGOK,分別與AB,CB,相交于點M,N,

當NG0K+ZA8C=180時,下列說法錯誤的是（)

A.NGOK=60°B.MB+NB=DC

C-S四邊形OMBN=7T5正六邊形ABCOEFD./OM4與NON8相等

【答案】C

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)逐項進行證明即可.

【詳解】解：如下圖所示，連接。4OB,OC.

:點。是正六邊形ABCDEF的中心,

OA^OB=OC,ZFAB=ZABC=]SQX^6-2^=120,AAOB=ZBOC==60

AB=DC,

66

S&OAB=不5爪六邊形ABCDEF-

.SMJO-NA明6。,“"SO”/。.

22

??.ZOAM=ZOBN.

.ZGOK+ZABC=180，

Z.OMB+NONB=360-(NGOK+ZABC)=180,ZGOK=180-ZABC=60.

故A選項不符合題意.

，ZOMA+ZOMB=\SO，

??.ZOMA=ZONB.

.?AOAM冬AOBN(AAS).

/.NOMA=4ONB,MA=NB,S^OAM=S^0BN.

故D選項不符合題意.

:.MB+NB=MB+MA=AB=DC.

故B選項不符合題意.

S叫運熙OMBN=S40MB+S&)BN=^AO,Wfi+t^OAM=SAOAB■

''S四邊形OMBN=S&OAB=$正六邊形A3CZ>￡F'

故c選項符合題意.

故選：c

【點睛】此題考查正六邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

8.若正六邊形的邊長等于4,則它的面積等于()

A.486B.24gC.1273D.46

【答案】B

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由正六邊形的特點求事NAOB的度數(shù)及OG的長，再由的面積即可求解.

【詳解】解：如圖，過正六邊形中心。作OGLAB于G

?.?此多邊形為正六邊形，

360°

ZAOB=--=60°：

6

OA=OB,ZAOB=60°,OG±AB

???乙。45是等邊三角形，NAOG=g/A08=30。

OA=AB=4,AG=BG=—AB=2

2

?*,OG=A/42-22=2\/3?

?#*Sd°AB=yxABxOG=gx4x2V3=4下>,

S六邊形=6S0AB=6x4打=24

故選：B.

【點睛】本題考查了正多邊形的計算問題，關(guān)鍵是由正六邊形的特點求出中心角的度數(shù)及三角形的高的長.

二、填空題

9.如圖，已知正五邊形ABCQE內(nèi)接于。0,則N0CZ）的度數(shù)為'

【答案】54

【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：；多邊形A3CCE是正五邊形,

360°

：.ZCOD=—^=12°,

,:0C=0D,

.,.ZOCD=-x(180°-72°)=54°,

2

故答案為：54.

【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角與外角的知識點，解答本題的關(guān)鍵是求出正五邊形中

心角的度數(shù).

10.一個正多邊形的中心角是30。，則這個多邊形是正一邊形.

【答案】十二

【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)=周角:中心角，計算即可得.

【詳解】解：???一個正多邊形的中心角是30。,

???這個多邊形是：360。+30。=12,即正十二邊形,

故答案為：十二.

【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系.

三、解答題

11.如圖，。為正五邊形ABCDE的外接圓，已知CF=：8C,請用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的

畫圖痕跡.

圖1圖2

(1)在圖1中的邊DE上求作點G,使DG=CF；

(2)在圖2中的邊DE上求作點H,使EH=CF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)連接A0并延長與8相交，連接EF交4?延長線于M,連接8M與OE的交點即為所求作；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，連接80并延長與OE相交，連接AG交80延長線于N,連接CN并延長即可.

【詳解】(I)連接A。并延長與8相交，連接￡尸交4?延長線于M,連接8M交OE于點G,則點G為

所求作，如圖1所示：

理由：

???。。為正五邊形的外接圓，

二直線AO是正五邊形ABCDE的一條對?稱軸，點B與點E、點、C與點D分別是一對對?稱點.

:點M在直線40上，

射線BM與射線EF關(guān)于直線A0對稱，從而點尸與點G關(guān)于直線A0對稱，

CF與DG關(guān)于直線A0對稱.

：.DG=CF.

BE

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接8。并延長與。E相交，連接AG交80延長線于N,連接CM如圖2所示;

【點睛】本題考查了作圖：無刻度直尺作圖，考查了正五邊形的對稱性質(zhì)，掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

與圓有關(guān)的計算（提升測評）

一、單選題

1.如圖，工人師傅準備從一塊斜邊A8長為40cm的等腰直角uAOB材料上裁出一塊以直角頂點O為圓心的

面積最大的扇形，然后用這塊扇形材料做成無底的圓錐（接縫處忽略），則圓錐的底面半徑為（）

C.4cmD.2\/2cm

【答案】A

【分析】作。C于點C,首先求事扇形的半徑OC的長，再根據(jù)弧長公式，求出弧長，然府再根據(jù)圓的

周長公式，即可求出底面半徑.

【詳解】解：如圖，作OCLAB于點C,

?；.AOB是斜邊45氏為40cm的等腰直角三角形,

二OA=OB,OR?+OB2=402,

；?04=08=200cm，

NA=45。，

..OC72

??sin45==—,

OA2

5

???OC=—OA=20cm,

2

.??扇形的弧長=四焉生=10萬，

1o0

設(shè)底面半徑為rem,

則2）廣=10萬，

解得：r=5,

.??圓錐的底面半徑為5cm.

故選：A

【點睛】本題考查了等腰直三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、弧長公式，解本題的關(guān)鍵在理解扇

形的弧長等于圓錐底面的周長.

2.如圖，在半徑為2,圓心角為90。的扇形內(nèi)，以8c為直徑作半圓，交弦48于點。，則圖中陰影部分的

面積是（）

D.—乃+1

2

【答案】A

【分析］已知8c為直徑，則NCDB=90。，在等腰直角三角形月8c中，C。垂直平分A8,CD=DB,D為）

半圓的中點，陰影部分的面積可以看作是扇形ACB的面積與AWC的面積之差.

【詳解】解：在Rt^ACB中，4?=后港=2a,

V8C是半圓的直徑,

二ZC￡）B=90°,

在等腰Rl^ACB中，C力垂直平分A3,CD=BD=歷,

二。為半圓的中點,

S陰影部分=S扇形AC8—S*0C=[乃x2~-]X（&）=1-1.

故選：A.

【點睛】本題考查扇形面積的計算公式及不規(guī)則圖形面積的求法，掌握面積公式是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，正方形A6a＞的邊長為2,以8C為直徑的半圓與對角線AC相交于點E,則圖中陰影部分的面積

為（）

A.U51c31

B.—+—7TC.------71D.

24242422

【答案】A

【分析】連接OE,求出弓形CE的面枳,然后根據(jù)陰影部分的面枳等T-AAOC的面積減去弓形CE的面積

求解即可.

【詳解】連接OE.

D

BOC

:正方形ABC。的邊長為2,

,OC=OB=OE=\.

'：SZ/A./A1LnA--r=-2ADCD2=-x2x2=2,

s_112_1

S扇形OC￡=W%X1=W%，

ScACOE=-1Xl,xl,=-1,

=

§拱形CE~^^~2，

...陰影部分的面積=2-（丁一3=

4224

故選：A.

【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

4.如圖，..ABC中，AC=J^，點。是A8邊上的一點，。與AC、BC分別相切于點A、E,點F為O

上一點，連AF,若四邊形ACE尸是菱形，則圖中陰影部分面積是（）

r

A.73--B.至-GC.73--D.26-工

3333

【答案】A

【分析】設(shè)AB與O。相交于點D,利用菱形的性質(zhì)可得NC=/F,AC=CE=娓,利用圓的切線性質(zhì)可得

ZCAB=ZOEC=90°,從而可得NC+NAOE=180。，進而可得NF+ZAOE=180。，然后求出NC=ZF=60。，

從而求出NB=30。，BC=2?,BE=A再在Rt_8O￡中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OE的長，ZB

的度數(shù)，最后根據(jù)陰影部分面積=..BOE的面積一扇形