整式的乘法與因式分解小結(jié)與復(fù)習(xí)

整式的乘法與因式分解小結(jié)與復(fù)習(xí)知識(shí)梳理1.有關(guān)法那么⑴冪的四個(gè)運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)名稱語(yǔ)言表達(dá)表達(dá)式推廣運(yùn)算級(jí)別同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪相乘，不變，相加am·an＝(m,n都是正整數(shù)).am·an·ap＝由乘法運(yùn)算降為加法運(yùn)算.冪的乘方冪的乘方，不變，指數(shù).〔am〕n=(m,n都是正整數(shù)).[〔am〕n]p=由乘方運(yùn)算降為乘法運(yùn)算.積的乘方積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別，再把所得的冪.(ab)n=(n為正整數(shù)).(ambncp)k=.由乘方運(yùn)算降為乘法運(yùn)算.⑵單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法那么：把它們的、分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式中出現(xiàn)的字母，那么連同一起作為積的一個(gè)因式.⑶單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法那么：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)律用單項(xiàng)式去多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的相.⑷多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法那么：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相.⑸單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法那么：把、分別相除后，作為商的；對(duì)于只在被除式里含有的字母，那么連同它的一起作為商的一個(gè)．⑹多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法那么：先把這個(gè)多項(xiàng)式的除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商．2.有關(guān)公式：⑴平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積等于這兩個(gè)數(shù)的，即用字母表示為：(a+b)(a－b)=.⑵完全平方公式：兩個(gè)數(shù)和〔或差〕的平方，等于它們的再加上〔或減去〕這兩數(shù)的，即：(a±b)2=.3.有關(guān)概念⑴因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化為的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解.⑵提公因式法：把多項(xiàng)式各項(xiàng)的提出來(lái)，這種分解因式的方法叫做提公因式法，即.提公因式法的實(shí)質(zhì)是逆用律.⑶公式法：把乘法公式、逆用，就得到分解因式的公式，，這種運(yùn)用公式分解因式的方法叫做公式法.考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)1冪的運(yùn)算性質(zhì)例1以下運(yùn)算正確的選項(xiàng)是〔〕A.〔-a〕6·〔-a3〕=a18B.〔-b3〕5=-3b8C.〔a2b〕4=a10b3D.〔ab〕12÷〔ab〕10=a2b2分析：根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可知〔-a〕6·〔-a3〕=a6·〔-a3〕=-a6+3=-a9，〔-b3〕5=〔-1〕5〔b3〕5=-b3×5=-b15，〔a2b〕4=〔a2〕4b4=a8b4，〔ab〕12÷〔ab〕10=〔ab〕12-10=〔ab〕2=a2b2，所以選項(xiàng)D正確.解：選D.溫馨提示：對(duì)于冪的各種運(yùn)算性質(zhì)，一定要分清指數(shù)的變化特征，防止混淆.另外，在計(jì)算選項(xiàng)D時(shí)，把a(bǔ)b看做一個(gè)整體，也就是看做底數(shù)，因此，它實(shí)際上是進(jìn)行同底數(shù)冪的除法運(yùn)算.考點(diǎn)2整式的乘法例2先化簡(jiǎn)，再求值：〔-2x2〕2-〔x2+1〕〔4x2-5〕-x〔x+11〕，其中x=-2.分析：根據(jù)整式的乘法法那么對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入求值即可.解：原式=4x4-〔4x4+4x2-5x2-5〕-x2-11x=4x4-4x4-4x2+5x2+5-x2-11x=-11x+5.當(dāng)x=-2時(shí)，原式=-11×〔-2〕+5=22+5=27.溫馨提示：在解決單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘以及多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算時(shí)，要防止出現(xiàn)漏乘，并且要細(xì)心處理每項(xiàng)的符號(hào).考點(diǎn)3乘法公式例5計(jì)算：〔x+3y〕2-2〔x+3y〕〔x-3y〕+〔x-3y〕2的結(jié)果為＿＿＿＿.分析：此題可以利用兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差的乘法公式和兩數(shù)和〔差〕的平方公式展開(kāi)后化簡(jiǎn)，也可逆用兩數(shù)和〔差〕的平方公式化簡(jiǎn).解：方法1：原式=x2+6xy+9y2-2〔x2-9y2〕+x2-6xy+9y2=x2+6xy+9y2-2x2+18y2+x2-6xy+9y2=36y2.方法2：原式=[〔x+3y〕-〔x-3y〕]2=〔6y〕2=36y2.溫馨提示：解這類題時(shí)，一是要注意乘法公式的正確使用，確保化簡(jiǎn)的結(jié)果正確；二是注意公式的逆向運(yùn)用，此題顯然逆用公式計(jì)算比擬簡(jiǎn)便.考點(diǎn)4整式的除法例4先化簡(jiǎn)〔4ab3+8a2b2〕÷〔-4ab〕-〔2a+b〕〔2a-b〕，然后再選取你喜歡的一對(duì)a，b的值代入求值.分析：化簡(jiǎn)此題時(shí)，主要分兩局部：對(duì)于〔4ab3+8a2b2〕÷〔-4ab〕采用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的方法計(jì)算；對(duì)于〔2a+b〕〔2a-b〕采用兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差的乘法公式計(jì)算，最后合并同類項(xiàng)即可.在選取a，b的值時(shí)，要注意ab≠0，即a，b都不能為0.解：原式=-b2-2ab-〔4a2-b2〕=-b2-2ab-4a2+b2=-4a2-2ab.當(dāng)a=2，b=1時(shí)，原式=-4×22-2×2×1=-16-4=-20.溫馨提示：在進(jìn)行多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，要特別注意多項(xiàng)式每項(xiàng)的符號(hào)與除式的符號(hào).此題是開(kāi)放性試題，答案并不唯一，在選取a，b的值時(shí)，一定要注意a，b的取值范圍.考點(diǎn)5定義新運(yùn)算型例5先規(guī)定一種新運(yùn)算“§”，a§b=a2+ab+〔b-1〕2，根據(jù)這個(gè)新運(yùn)算，可得〔2x-1〕§〔x+3〕=＿＿＿＿.分析：根據(jù)規(guī)定的新運(yùn)算a§b=a2+ab+〔b-1〕2，把它轉(zhuǎn)化成我們熟悉的四那么運(yùn)算〔2x-1〕2+〔2x-1〕〔x+3〕+〔x+3-1〕2，然后進(jìn)行計(jì)算即可.解：〔2x-1〕§〔x+3〕=〔2x-1〕2+〔2x-1〕〔x+3〕+〔x+3-1〕2=4x2-4x+1+2x2+6x-x-3+x2+4x+4=7x2+5x+2.溫馨提示：解決這類問(wèn)題其關(guān)鍵是根據(jù)規(guī)定的新運(yùn)算法那么把待求式轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過(guò)的運(yùn)算.考點(diǎn)6分解因式的方法例6分解因式：a2b2?a2b+ab2.分析：當(dāng)多項(xiàng)式的系數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)把各項(xiàng)中分?jǐn)?shù)系數(shù)的最小公分母作為公因式系數(shù)的分母，使余下的因式中各項(xiàng)系數(shù)都化成整數(shù).解：原式＝ab(2ab?9a+6b).例7分解因式：〔1〕；〔2〕．分析：〔1〕觀察可知多項(xiàng)式兩項(xiàng)都有公因式a+b，提公因式a+b后，余下的多項(xiàng)式能利用兩數(shù)和乘以兩數(shù)差的乘法公式繼續(xù)分解；〔2〕各項(xiàng)都有公因式x，提公因式x后，余下的多項(xiàng)式可以利用兩數(shù)和的平方公式繼續(xù)分解．解：〔1〕原式．〔2〕原式．考點(diǎn)8分解因式的相關(guān)計(jì)算例8實(shí)數(shù)a，b滿足，，求代數(shù)式的值．分析：觀察算式特點(diǎn)可知，兩項(xiàng)都有公因式，為此可將其因式分解，再將，a+b=2代入求值．解：當(dāng)，時(shí)，原式．誤區(qū)點(diǎn)撥易錯(cuò)點(diǎn)1混淆冪的運(yùn)算性質(zhì)例1以下計(jì)算：①x3·x9=x27；②〔-2m2n〕3=-2m6n；③〔a-b〕9÷〔a-b〕3=〔a-b〕3.其中正確的個(gè)數(shù)為〔〕A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)錯(cuò)解：選D.剖析：①是冪的乘法運(yùn)算，應(yīng)是底數(shù)不變，指數(shù)相加，即x3·x9=x12，而錯(cuò)解是把指數(shù)運(yùn)算弄成指數(shù)相乘了；②是積的乘方運(yùn)算，應(yīng)該是〔-2m2n〕3=〔-2〕3m6n3=-8m6n3，而錯(cuò)解是忘記把2和n分別乘方了；③冪的除法運(yùn)算，應(yīng)是底數(shù)不變，指數(shù)相減，即〔a-b〕9÷〔a-b〕3=〔a-b〕6，錯(cuò)解卻弄成指數(shù)相除了，以上錯(cuò)誤的原因是對(duì)冪的運(yùn)算性質(zhì)混淆不清造成的.正解：A.易錯(cuò)點(diǎn)2進(jìn)行整式的乘法運(yùn)算時(shí)出現(xiàn)漏乘例2計(jì)算：⑴ab〔b+b2〕-b2〔ab-a+1〕=＿＿＿＿＿.⑵〔a-b〕〔a+5b〕的結(jié)果為＿＿＿＿＿.錯(cuò)解：⑴原式=ab2+ab3-ab3+ab2=2ab2；⑵原式=a2-5b2.剖析：⑴單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，要注意單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都要相乘，錯(cuò)解中，單項(xiàng)式-b2與多項(xiàng)式ab-a+1相乘時(shí)，只是-b2與ab、-a分別相乘，卻漏掉了-b2與1相乘；⑵同樣多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，要求是先用其中一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，而錯(cuò)解中只是兩個(gè)多項(xiàng)式的首項(xiàng)與首項(xiàng)相乘，末項(xiàng)與末項(xiàng)相乘，即a與a相乘，-b與5b相乘，漏掉了a與5b相乘和-b與a相乘.以上兩個(gè)小題出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是由于漏乘造成錯(cuò)誤.正解：⑴原式=ab2+ab3-ab3+ab2-b2=2ab2-b2.⑵原式=a2-ab+5ab-5b2=a2+4ab-5b2.易錯(cuò)點(diǎn)3乘法公式的結(jié)構(gòu)掌握不牢例3計(jì)算：⑴〔2x+3y〕〔3y-2x〕=＿＿＿＿＿.⑵〔4x-5y〕2=＿＿＿＿＿.錯(cuò)解：⑴原式=〔2x〕2-〔3y〕2=4x2-9y2.⑵錯(cuò)解1：〔4x-5y〕2=〔4x〕2-4x·5y+〔5y〕2=16x2-20xy+25y2.錯(cuò)解2：〔4x-5y〕2=〔4x〕2-〔5y〕2=16x2-25y2.剖析：⑴兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差的乘法公式是〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2，此題出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是沒(méi)能很好地把握兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差的乘法公式的結(jié)構(gòu)特征，順序顛倒；⑵兩數(shù)和〔差〕的平方公式是〔a-b〕2=a2-2ab+b2，錯(cuò)解1把中間項(xiàng)的2漏掉了，錯(cuò)解2干脆把中間項(xiàng)都漏掉了，錯(cuò)誤的原因是未能把握兩數(shù)和〔差〕的平方公式的特征.正解：⑴原式=〔3y+2x〕〔3y-2x〕=〔3y〕2-〔2x〕2=9y2-4x2.⑵〔4x-5y〕2=〔4x〕2-2·4x·5y+〔5y〕2=16x2-40xy+25y2.易錯(cuò)點(diǎn)4在整式的乘除混合運(yùn)算中，運(yùn)算順序混亂例4計(jì)算：x2y2÷x·xy的結(jié)果為＿＿＿＿＿.錯(cuò)解：原式=x2y2÷x2y=y.剖析：在進(jìn)行整式的乘除混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)按照從左到右的順序進(jìn)行，即先做除法〔x2y2÷x=xy2〕再做乘法〔xy2·xy=x2y3〕，錯(cuò)解的原因是違背了這一混合運(yùn)算的順序，造成了運(yùn)算順序的混亂而出現(xiàn)錯(cuò)誤.正解：原式=xy2·xy=x2y3.易錯(cuò)點(diǎn)5提公因式后漏項(xiàng)致錯(cuò)例5分解因式：．錯(cuò)解：原式．剖析：當(dāng)各項(xiàng)的公因式恰與某一項(xiàng)相同〔或互為相反數(shù)〕時(shí)，提取公因式后，該項(xiàng)的位置應(yīng)為〔或〕，而錯(cuò)解卻無(wú)視了這一點(diǎn)，漏掉了第三項(xiàng)“”．正解：原式．易錯(cuò)點(diǎn)6用公式不恰當(dāng)致錯(cuò)例6分解因式．錯(cuò)解：原式．剖析：錯(cuò)解錯(cuò)在對(duì)兩數(shù)和〔差〕的平方公式的特點(diǎn)掌握不牢，誤認(rèn)為是完全平方式．正解：原式．易錯(cuò)點(diǎn)7式分解不徹底致錯(cuò)例7分解因式．錯(cuò)解：原式．剖析：錯(cuò)解錯(cuò)在因式分解不徹底．因?yàn)榻Y(jié)果中的兩個(gè)因式都是完全平方式，還可以繼續(xù)分解．正解：原式．方法點(diǎn)擊1.逆用冪的運(yùn)算性質(zhì)求值例1am=2，an=4，求a3m-n的值.分析：a3m-n的指數(shù)是3m與n的差，它是同底數(shù)冪的除法的結(jié)果的形式，于是就有a3m-n=a3m÷an，再逆用冪的乘方法那么化成〔am〕3÷an，代入求出結(jié)果.解：因?yàn)閍m=2，an=4，所以，a3m-n=a3m÷an=〔am〕3÷an=23÷4=2.點(diǎn)評(píng)：逆用冪的運(yùn)算法那么是解相關(guān)問(wèn)題的技巧性方法.例2計(jì)算：〔-0.125〕115×〔2115〕3+〔的結(jié)果為＿＿＿＿＿.分析：按常規(guī)計(jì)算比擬繁瑣，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，假設(shè)把〔2115〕3轉(zhuǎn)化為〔23〕115，〔，可逆用積的乘方法那么計(jì)算.解：原式=〔-0.125〕115×〔23〕115+〔=〔-0.125〕115×8115+=〔-0.125×8〕115+=〔-1〕115+=-1+=.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于這類特殊問(wèn)題，逆用冪的運(yùn)算性質(zhì)，可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.3.利用整式的乘法確定積中不含某項(xiàng)字母系數(shù)的值例3假設(shè)關(guān)于多項(xiàng)式〔x-1〕〔-kx+1〕的乘積中不含一次項(xiàng)，那么k的值為＿＿＿＿＿.分析：因題中要求不含x的項(xiàng)，即該項(xiàng)系數(shù)的和為0.解：〔x-1〕〔-kx+1〕=-kx2+kx+x-1=-kx2+〔k+1〕x-1，因?yàn)榉e中不含x的項(xiàng)，所以k+1=0，所以k=-1.點(diǎn)評(píng)：解此題的關(guān)鍵是理解不含某項(xiàng)的意義，即相乘后合并同類項(xiàng)使其系數(shù)為0.4.巧用乘法公式求值例4計(jì)算：20132-2012×2014-10012的結(jié)果為＿＿＿＿＿.分析：此題是有理數(shù)的混合運(yùn)算，假設(shè)按混合運(yùn)算的順序：先算乘方，再算乘法，最后算減法，會(huì)使運(yùn)算過(guò)程很繁瑣，注意到假設(shè)把20132-2012×2014化為20132-〔2013-1〕〔2013+1〕，10012化為〔1000+1〕2，然后利用乘法公式，可使運(yùn)算大大的簡(jiǎn)化.解：20132-2012×2014-10012=20132-〔2013-1〕〔2013+1〕-〔1000+1〕2=20132-〔20132-12〕-〔10002+2×1000×1+12〕==20132-20132+1-10002-2000-1=-1002000.點(diǎn)評(píng)：解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住式子的特點(diǎn)，把它轉(zhuǎn)化為易于利用乘法公式求解的形式.5.巧用“被除式=除式×商式+余式”求解例5多項(xiàng)式2x3-4x2-1除以多項(xiàng)式A，得商式為2x，余式為2x-1，那么多項(xiàng)式A=＿＿＿＿＿.分析：由“被除式=除式×商式+余式”可得“除式=〔被除式-余式〕÷商式，將除式2x3-4x2-1、商式2x、余式2x-1，代入即可求出除式A的值.解：根據(jù)題意得，A=[2x3-4x2-1-〔2x-1〕]÷2x=〔2x3-4x2-1-2x+1〕÷2x=〔2x3-4x2-2x〕÷2x=x2點(diǎn)評(píng)：明確“除式=〔被除式-余式〕÷商式“是解決此題的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1.(-2x3y4)3的運(yùn)算結(jié)果是()A.-6x6y7B.-8x27y64C.-6x9y12D.-8x9y2.用激光測(cè)距儀測(cè)量?jī)勺椒逯g的距離，從一座山峰發(fā)出的激光經(jīng)過(guò)4×103秒到達(dá)另一座山峰，光在空氣中的速度約為3×108A.1.2×1010米B.12×1011米C.1.2×103.假設(shè)x2-ax-1可以分解為(x-2)(x+b)，那么a+b的值為〔〕A.-1 B.1 C.-2 D.24.把多項(xiàng)式x3-2x2+x分解因式結(jié)