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解三角形一一中線問(wèn)題的應(yīng)用(講+練)含答案
解三角形類問(wèn)題在考查時(shí)除了結(jié)合正弦定理,余弦定理,勾股定理設(shè)置題目外,往往還和
三角形的一些常見(jiàn)元素:中線,角平分線,高線結(jié)合在一起考查。在處理相關(guān)題目時(shí),我們除
了要充分運(yùn)用正余弦定理處理邊角關(guān)系,還要結(jié)合角平分線,中線,高線自身的一些性質(zhì)進(jìn)行
解題。本文就中線的一些題目收集,從幾個(gè)方面說(shuō)說(shuō)中線和高線的處理方法。
從向量角度看,三角形一邊上的中線本質(zhì)上是共起點(diǎn)的兩條向量和的一半,例如:
AD=-(AC+AB
oAOAC+ABAcf+2AC.AB+\ABAC『+2|AC||陰cosA+網(wǎng)2
22
O|AD|=,|+2|^C||AB|cosA+1+2^cosA+c)
一、基礎(chǔ)小測(cè)
1.在A/WC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為“,b,c,且a+2Z?=2ccosA
⑴求C;
(2)若。=2,48邊上的中線CE的長(zhǎng)為1,求AA5C的面積.
2.在AABC中,角A“所對(duì)的邊分別為如,旦滿足
⑴求角A的大??;
(11)若8=^,AC=4,求BC邊上的中線4M的長(zhǎng).
6
3.設(shè)ABC中三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知5=45°,b=M,cosC=^
(D求”的長(zhǎng);
(2)若。是AB的中點(diǎn),求中線CO的長(zhǎng).
2/s
4.在MBC中,ZB=45°,AC=N/10,COSC=,求
(D求BC邊長(zhǎng);(2)若點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),求中線C。的長(zhǎng)度。
二、能力提升
5.已知.〔ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(,ic-26)cosA+J^acosC=0.
⑴求角A;
(2)若a=b,且8C邊上的中線4M的長(zhǎng)為2將,求邊a的值.
6.已知在..ABC中,ZB=45\AC=Vi0(cosC=-^-.
(1)求邊BC的長(zhǎng);
(2)記邊A8的中點(diǎn)為。,求中線CO的長(zhǎng).
7.在ABC中,sinA=sinB=—cosC.
(1)求角A,B,C的大小;
(2)若8c邊上的中線AM的長(zhǎng)為近,求..ABC的面積.
c2
8.在ABC中,角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,—=='V3csinA+^zcosC=b.
a7
(I)求sinC的值;
(H)己知A。為BC邊上的中線,且=求ABC的面積.
9.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且Asin3=asinA-(6+c)sinC.
⑴求角A的大小.
(2)若BC邊上的中線A。=2g,且SABC=2百,求.ABC的周長(zhǎng).
10.已知凡仇。分別為AA6C的三個(gè)內(nèi)角A5,C的對(duì)邊,—=.:八
b-csin4+sinC
⑴求A;
(2)若“=百,AA8C在BC邊上的中線A。的長(zhǎng)為1,求AABC的周長(zhǎng)
答案和解析
1.【答案】解:⑴.a+2b=2ccosAf
sinA+2sinB=2sinCeosA,即sinA+2sinAcosC4-2cosAsinC=2sinCeosA,
/.sinA+2sinAcosC=0,
由于sinAwO,
/.cosC=--,又0vC<4,
2
.-.c=—;
3
CA+C8
⑵CE=
2~
2122
..CE=-(C4+C8+2CACB),
4
EPl=102+4+4/?COSy),
.\b=2f
則ABC的面積S=,a6sinC=Lx2x2sin@=G.
223
2.【答案】解:⑴acosC=b---c,由正弦定理可得sin4cosc=sin8——-sinC?
22
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
..cosAsinC=^-sinC,?.?sinCwO,
,6、式
:.cosA=——,A=-
26f
(H)由4=8=^,則。=至,:.BC=AC^4,AB=4拒,:.BM=2,
63
由余弦定理可MAM2=BM2+AB2-2BM-ABcosB=4+48-166?g=28,AM=2幣.
3.【答案】解:⑴因?yàn)閏osC=R5,則sinC=JI二嬴石=正,
55
所以:sinA=sin[萬(wàn)一(8+Q]=sin(B+Q=sin8cosC+cosBsinB
7227572753710
=-------X-------------1---------X--------=-------------,
252510
師3—
由正弦定理可得:〃=竺粵=——年-=30;
sinByJ2
~T
(2)由余弦定理得C?=(3夜y+(而丫-2x3/xMx乎=4,則c=2,
所以3£>=1,
在,BCD中由余弦定理得CD2=BD2+BC--2BD-BCcosB
=1+(3>/2)2-2x1x3瓜1=13,
所以:CD=延
4.【答案】解:⑴由cosC=^^得sinC=日,sinA=sin(180°-45°-C)=¥(cosC+sinC)=4^,
AC.A回3回轉(zhuǎn)
由正弦定理知sin57210
T
.AC.?VioVs.I,.
/c、門(mén)/.ABR=-------sinC=—f=------=2,BRDn=—ABo=1
(2)由題意得,sin3近52
T
由余弦定理知CD=\lBD2+BC1-2BD-BCcosB
=J1+18-2x1x372x^=713.
5.【答案】解:⑴由題意得(2/?-J^c)cosA=J^acosC,
/.(2sinB-v3sinC)cosA=v3sinAcosC,
2sinBcosA=esinAcosC+y/3sinCcosA=\/3sin(A+C),
則2sinBcosA=esin5,
sin5w0,
/.cosA=
2
又AG(0,乃),
IT
⑵由⑴知A=J
6
又一;a=b,C-,
3
設(shè)AC=x,則MC=1x,
2
在CC中,AM=2S,
由余弦定理得:AC2+MC1-2AC?"C?cosC=A"2,
g|Jx2+(1)2-2X?cos笄=(25Y,
解得x=4,
即a=4.
R
6.【答案】解:⑴因?yàn)閏osC=19,
5
所以。為銳角,
75
則sinC=Jl-cos2c
5
又A+B+C=18()c,
所以sinA=sin(l35-C)=sin135cosC—cos135°sinC=~~~
在,ABC中,由正弦定理,得空=工
sinAsinB
AC;sinA=3&,
可得:BC=
sin3
4?\r
⑵由正弦定理:碇=硒
可得鉆=生‘吐=2,
sinB
在‘BCD中,由余弦定理,
WCD2=BD2+BC2-2BZ)BCcosB=l+(3>/2)2-2xlx3^x=13,
CD=V13.
7.【答案】解:(1)sinA=sinB,且A,B為A5C的內(nèi)角,
.\A=B>
A+B+C=7r
cosC=cos(萬(wàn)-2A)=-cos2A,
sinA=-cosC=cos2A=1-2sin2A,即(2sinA-l)(sinA+l)=°,
/.sinA=—,或sinA=-1(舍去),
2
.?.A=B=工,c=—;
63
(2)設(shè)C4=CB=x,則
2
在“ACM中,利用余弦定理得:AM2=AC2+MC2-2ACCMcosC,即7=x?+'/+,/,
42
解得:x=2,
貝IJSABC=gc4,C3-sinC=Ji
8.【答案】解:(I).ABC中,yficsinA+acosC=b>
5/3sinCsinA+sinAcosC=sinB
=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC,
化簡(jiǎn)得GsinCsinA=cosAsinC;
又sinCw0,
/.GsinA=cosA,
一z
..tanA.——,
3
A=30;
sinC2
/.------=—,
sinA7
22o1
/.sinC=—sinA=—sin30=—;
777
(II)如圖所示,
D
B
sinCvsinA,
..CvA,
cosB=-cos(A4-C)=-cosAcosC+sinAsinC
AB_c4
2
AD2=(Vib9)2=c2+(-)2-2c-cosB=(—)2+—--a2x(--);
2274714
)一2
a~=196,a=14,:.c=-a=4
7t
,,..ABC的面積S=-QcsinB=-x4x14x—(---)-=10\/3.
22V14
9.【答案】解:(1)由已知Z?sin3=asinA-S+c)sinC,
由正弦定理得:b2=a2-be-c2,由余弦定理得:cosA=—c2-fl2
2bc2
在AA5C中,因?yàn)锳e(O,%),
所以4=生.
3
(2)由S.BC=gbcsinA=^^bc=2>/^,得bc=8①
由(1)知)2=一be—C2,即+/=儲(chǔ)一8②
在中,由余弦定理得:c2=(^)2+(2>/3)2-2-2^-ycosZADB,
在AWC中,由余弦定理得:b2=(-)2+(2^)2-2-2x/3---cosZADC,
2
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