上海市閔行區(qū)2024屆高三年級上冊學業(yè)質(zhì)量調(diào)研試題（一模）數(shù)學試卷及答案

2023學年第一學期高三年級學業(yè)質(zhì)量調(diào)研

數(shù)學試卷

考生注意：

1.本場考試時間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁.

2.作答前，考生在答題紙正面填寫學校、姓名、考生號，粘貼考生本人條形碼.

3.所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應的區(qū)域，不得錯位.在草稿紙、試

卷上作答一律不得分.

4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色筆跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.

一'填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

考生應在答題紙相應位置直接填寫結(jié)果.

1.已知集合M={0,l,a+l},若-IwM,則實數(shù)。=.

2.若sina=；,則sin（乃-a）=.

3.若xy=l（x>jeR）,則x2+4j2的最小值為.

4234

4.已知（x-1）=a0+a1x+a2x+<23x+a4x,則a2=.

5.已知圓錐的底面周長為4〃,母線長為3,則該圓錐的側(cè)面積為.

22

6.若雙曲線與-白=1（?！?,6〉0）的離心率為J5,則該雙曲線的漸近線方程為___.

ab

7.若將函數(shù)y=sin（2x+0）（0<°〈"）的圖像向右平移y個單位，得到的圖像所對應的函

數(shù)為奇函數(shù)，則0=.

8.已知/（無）=/一8工+10,無€1<數(shù)列{0“}是公差為1的等差數(shù)列，若

/（?1）+f（a2）+/（%）的值最小，則％=.

9.今年中秋和國慶共有連續(xù)8天小長假，某單位安排甲、乙、丙三名員工值班，每天都需要

有人值班.任選兩名員工各值3天班，剩下的一名員工值2天班，且每名員工值班的日期都

是連續(xù)的，則不同的安排方法數(shù)為.

io.若平面上的三個單位向量之、b,"滿足|屋4=芋，則加"的所有可能的值

組成的集合為

+00+00

11.已知數(shù)列｛為｝為無窮等比數(shù)列，若則的取值范圍為

Z=1Z=1

12.已知點尸在正方體ZBCD-45clA的表面上，尸到三個平

面/BCD、ADD&、28及4中的兩個平面的距離相等，且尸

到剩下一個平面的距離與P到此正方體的中心的距離相等，則

滿足條件的點P的個數(shù)為.

二'選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分)

每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.已知a、beR,a>b,則下列不等式中不一定成立的是()

(A)a+2>b+2(B)2a>2b(C)a2>b2(D)2a>2b

14.某校讀書節(jié)期間，共120名同學獲獎(分金、銀、銅三個等級)，從中隨機抽取24名同學

參加交流會，若按高一、高二、高三分層隨機抽樣，則高一年級需抽取6人；若按獲獎等級

分層隨機抽樣，則金獎獲得者需抽取4人.下列說法正確的是()

(A)高二和高三年級獲獎同學共80人(B)獲獎同學中金獎所占比例一定最低

(C)獲獎同學中金獎所占比例可能最高(D)獲金獎的同學可能都在高一年級

15.已知復數(shù)為、z?在復平面內(nèi)對應的點分別為尸、Q,|OP|=5為坐標原點)，且

-Zlz2-sm0+z^0,則對任意。eR,下列選項中為定值的是()

(A)\OQ\(B)\PQ\(C)△OPQ的周長(D)△。尸°的面積

16.已知函數(shù)了=/(x)的導函數(shù)為y=/，(x),xeR,且了=/'(x)在R上為嚴格增函數(shù)，關(guān)

于下列兩個命題的判斷，說法正確的是()

①“國>尤2"是“/(%+1)+/(X2)>/(%；)+/(9+1)”的充要條件；

②“對任意x<0,者隋/(x)</(0)”是“了="X)在R上為嚴格增函數(shù)”的充要條件.

(A)①真命題；②假命題(B)①假命題；②真命題

(C)①真命題；②真命題(D)①假命題；②假命題

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題，必須在答題紙的相應位置寫出

必要的步驟.

17.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

如圖，在四棱錐P-48CD中，底面45CD是邊長為。的正方形，側(cè)面尸/。,底面

ABCD,且P4=PD=旺a，設E、尸分別為PC、5。的中點.

2

(1)證明:直線環(huán)〃平面PAD；

(2)求直線PB與平面ABCD所成的角的正切值.

18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

在△ZBC中，角4B、C所對邊的邊長分別為a、b、c,且a—2ccosB=c.

(1)若cosB=；,c=3,求6的值；

(2)若△4BC為銳角三角形，求sin。的取值范圍.

19.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運會在杭州成功舉辦，杭州亞運會的志愿者

被稱為“小青荷”.某運動場館內(nèi)共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，這些小青

荷中會說日語和會說韓語的人數(shù)統(tǒng)計如下:

男生小青荷女生小青荷

會說日語812

會說韓語mn

其中也、〃均為正整數(shù),6〈加〈8.

(1)從這36名小青荷中隨機抽取兩名作為某活動主持人，求抽取的兩名小青荷中至少

有一名會說日語的概率；

(2)從這些小青荷中隨機抽取一名去接待外賓，用N表示事件“抽到的小青荷是男生”,

用8表示事件“抽到的小青荷會說韓語”.試給出一組打、”的值，使得事件/與8相互獨立,

并說明理由.

20.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，

第3小題滿分8分)/

已知0<0<4,曲線I；、匕的方程分別為6/—

2O\2468x

y2=2px(0Vx<8/20)和—=2py(0<y<8,x>0),卻與匕在第一象限內(nèi)相交于點

K(%K/K),

(1)若|OK|=4&,求夕的值；

(2)若P=2,定點T的坐標為(4,0),動點M在直線歹=無上，動點

Ng,%)(04對三旬在曲線「2上，求|上加|+\MT\的最小值；

(3)已知點%)(0?蒞?%長)、8(%2,%)(/</(8)在曲線—上，點4、B關(guān)于

直線y二％的對稱點分別為。、D,設|/。|的最大值為羽，的最大值為人若

m1

ye[1,2],求實數(shù)夕的取值范圍.

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

已知aeR,/(x)=(<2-2)x3-x2+5x+(l-a)lnx.

(1)若1為函數(shù)y=/(x)的駐點，求實數(shù)a的值；

(2)若a=0,試問曲線y=/(x)是否存在切線與直線》-〉-1=0互相垂直？說明理由;

(3)若a=2,是否存在等差數(shù)列%,》2，工3(0<占<》2<七)，使得曲線歹=/(x)在點

(尤2，/(9))處的切線與過兩點(國,/(七))、(工3，/13))的直線互相平行？若存在，求出所有

滿足條件的等差數(shù)列；若不存在，說明理由.

參考答案與評分標準

填空題1.-2；2.1；

3.4；4.6；5.6乃；6.y=+x;

2〃c

7.----；8.3；9.18；10.11.［2,+oo)12.6.

3

二.選擇題13.C；14.D；15.A；16.C.

三.解答題

17.(1)[證明]連接AC,???/BCD為正方形且R為8。的中點,

???尸為/C的中點,又???￡為PC中點，

：.EFHPA.................................................2分

又：EF不在平面PAD上，上4u平面PAD,

￡9〃平面口。................................6分

也

△尸為等腰直角三角形，

取/。中點由等腰三角形性質(zhì)可知尸ML4。，........................8分

又?.?平面上4。,平面48CO,平面「ADC平面48CD=40,

PM1^-^ABCD,................................................................10分

連接BM，則ZPBM為直線PB與平面ABCD所成的角......................12分

由刊/=1見血/=坦。，9，〃8可得1211/尸瓦1/=坦，

225

直線PB與平面ABCD所成的角的正切值為鼻.................................................14分

18.［解］(1)將cosB=；,c=3帶入條件中可得a=5............................................2分

由余弦定理〃=a2+c2-2accos5可得6=276;.....................................6分

(2)a-2ccosB=c,由正弦定理可得sin/-2shiceos5=sinC,..........8分

sinA=sin(S+C)=sinBcosC+cos5sinC,

sinBcosC-sinCcos5=sinC,sin(B-C)=sinC,.............................10分

TTTTTT

?.?8—Ce(—5，萬),。6(0,5),所以5—。=。,即8=2。，..............12分

JTJT1

又因為△/5C為銳角三角形，：.CesinCe........................14分

19.[M](1)從這36名小青荷中隨機抽取兩名的方法數(shù)為C；6................................2分

抽取的兩名都不會說日語的方法數(shù)為G3.............................................4分

C217

因此，抽取的兩名中至少有一名會說日語的概率為1-著=q；......................6分

。3621

(抽取的兩名小青荷中至少有一名會說日語的方法數(shù)為C；o+C；°C；6給2分)

(2)當加=6、”=12時，事件/與8相互獨立..........................8分

理由如下：

121

從這些小青荷中隨機抽取一名，事件A發(fā)生的概率P(A)=—=~,

363

事件8發(fā)生的概率尸(8)="U=±................................................10分

362

事件/與8同時發(fā)生的概率尸(4口5)=三=3...................................................12分

366

p⑷.尸⑻義富力同為，

因此，事件“與5相互獨立...........................14分

17+1477

(其它答案：當加=7、〃=14時，P(，)=7，P(B)=——=—,P(^n5)=—;

3361236

當加=8、〃=16時，尸(4)=，,P(B)=8+16=2=—=—.)

3363369

(2)［另解］從這些小青荷中隨機抽取一名，事件/發(fā)生的概率P(Z)=!!=:,

363

事件B發(fā)生的概率尸(5)=--,.....................................8分

36

事件/與5同時發(fā)生的概率尸(4口5)=*,.....................................10分

36

1勿2+/YY}

若事件/與5相互獨立，則尸(Z)?P(B)1x――=—=P(^AB),

33636

整理得〃=2加，....................12分

所以可取加=6、〃=12或加=7、〃=14或加=8、n=16........................14分

(學生只需寫出三種情況中的一種即可)

V=2DX

20.［解］(1)聯(lián)立/P，由點K%JK)在第一象限，得

x=2py

yK=2P

由|OK|=4/，得2⑸=4/，所以0=2；……4分

(2)曲線「1和口關(guān)于直線〉對稱，

取N關(guān)于y=x的對稱點N',則N'在曲線

y2=4x(0<x<4,y>0)_t,......................6分

又因為3力

所以只需求7到r=4x(0<x<4,j>0)上動點N'的距離|7W［的最小值，

令N'(x,26)(0Kx<4),則叩［=J(4-x)2+4x=&-4x+16,...........8分

當x=2時，|7N［的最小值為26,.?.(|〃M+MT|)mm=26

所以(當M(8—48,8—4行)，N(20,2)時)性叫+|〃刀的最小值為2JL...10分

(3)由(1)可得

2凡fI

|/C|==0|X]72PxiI，(OW尤]<2p),

V2

2I%-為I

\BD\==y[2\x,一，2PxiI，(2/)<X<8)?12分

~1T~2

0

因此當再=或■時,m=——p,

2

當乙=8時，t=4后(2-,14分

由依€七,2],得一

16分

t2216-87F

解得16—8640?160—64遍.18分

1一ZY

21.[解](1)由題意八X)=3("2)X2—2X+5+——,..............2分

X

由1為函數(shù)y=/(X)的駐點,得廣⑴=3(〃—2)+3+(1—“)=0,

因此。=1；...................................4分

(2)當Q=0時，/(x)=-2x3-x2+5x+lnx,

1

/'(x)=-6x92-2x+5+—,.................................6分

x

原問題等價于是否存在x0>0,使得/'(X。)+1=0,

令g(x)=f'(x)+1=-6x2-2x+6+-(x>0)

X

因為函數(shù)〉=g（x）在區(qū)間g,l］上是一段連續(xù)曲線

且gg)=T>°，g(l)