2024年高考數(shù)學(xué)重難點突破第7講 隱零點（原卷版）

第7講隱零點利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合性問題最終都會歸于函數(shù)單調(diào)性的判斷,而函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的零點有著緊密的聯(lián)系,導(dǎo)函數(shù)零點的判斷、數(shù)值上的精確求解或估計,是導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中最核心的問題.導(dǎo)函數(shù)的零點,根據(jù)其數(shù)值計算的差異可分為以下兩類:(1)數(shù)值上能夠精確求解的,稱為顯零點.(2)能夠判斷其存在但是無法直接表示的,稱為隱零點.對于隱零點問題,由于涉及靈活的代數(shù)變形技巧、抽象縝密的邏輯判斷和巧妙的不等式應(yīng)用,對學(xué)生的綜合能力要求比較高,往往是考查的難點.我們一般可對隱零點“設(shè)而不求”,通過一種整體的代換來過渡,再結(jié)合其他條件,從而最終解決問題,一般操作步驟如下:第一步:用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性,列出一階導(dǎo)函數(shù)零點方程,并結(jié)合的單調(diào)性,通過取特殊值逼近的方式得到零點的范圍.第二步:以一階導(dǎo)函數(shù)零點為分界點,說明導(dǎo)函數(shù)在左、右兩邊的正、負(fù)號,進(jìn)而得到的極值表達(dá)式.第三步:將零點方程適當(dāng)變形,整體代人極值式子進(jìn)行化簡證明.有時候第一步中的零點范圍還可以適當(dāng)縮小.導(dǎo)函數(shù)零點雖然隱形,但只要抓住特征(零點方程),判斷其范圍(用零點存在性定理),最后整體代人即可.請注意,進(jìn)行代數(shù)式的替換過程中,盡可能將指數(shù)、對數(shù)函數(shù)式用冪函數(shù)替換,這是簡化函數(shù)的關(guān)鍵.無參隱零點問題隱零點證明無參不等式恒成立問題:已知無參函數(shù),導(dǎo)函數(shù)方程的根存在,卻無法精確求出,其一般解題步驟為:第一步:求導(dǎo),判定一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,并設(shè)方程的根為.第二步:寫出零點等式成立.第三步:取點找出注意確定的合適范圍。第四步:把零點等式變形反帶回,進(jìn)行簡化,從而求解.【例1】已知函數(shù).證明:.【例2】已知函數(shù),求證:.【例3】已知函數(shù).證明:存在唯一的極大值點,且.含參隱零點問題含參函數(shù)的隱零點問題:已知含參函數(shù),其中為參數(shù),導(dǎo)函數(shù)方程0的根存在,卻無法求出,其解題步驟為:第一步:設(shè)方程的根為.第二步:寫出零點等式成立時,含的關(guān)系式.第三步:取點找出的合適范圍,該范圍往往和有關(guān).第四步:反帶回進(jìn)行求解,通常可以消參.【例1】設(shè)函數(shù).(1)討論的導(dǎo)函數(shù)零點的個數(shù).(2)證明:當(dāng)時.【例2】已知函數(shù).當(dāng)時,證明:.【例3】已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)證明:當(dāng)時,方程在區(qū)間上只有一個零點.(3)設(shè),其中,若恒成立,求的取值范圍.隱零點求最值利用隱零點求最值的步驟:第一步:求出一階導(dǎo)函數(shù),并判定其單調(diào)性(也可利用二階導(dǎo)函數(shù)來判定).第二步:利用零點存在定理判定存在零點,寫出零點方程,并確定零點取值范圍.第三步:通常極值就是最值,寫出最值表達(dá)式.第四步:零點等式變形代人最值表達(dá)式,這里常用到一個指對互化的變形方式:【例1】求函數(shù)的最大值.【例2】求0時的最小值.【例3】求的最大值.隱零點求參數(shù)取值范——參變分離參變分離法求解含參不等式恒成立,求參數(shù)取值范圍問題,就是按參變分離的基本步驟.不同的只是分離參數(shù)之后求最值時,無法精確地求出極值,只能用隱零點的方式求出一個范圍,所以所求最值也只是一個范圍.這一類題目,會有一個明顯的特征,就是所求參數(shù)通常為正整數(shù),只有這樣,參數(shù)才能取到一個確定的值。【例1】已知函數(shù),若對任意的恒成立,求正整數(shù)的最大值.【例2】已知函數(shù),,若,且不等式在上恒成立,求的最小值.【例3】知函數(shù)，若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.隱零點縮小參數(shù)取值范圍——分類討論分類討論法求解含參不等式恒成立,求參數(shù)取值范圍問題,也是按前面的分類討論的基本步驟.不同的是,在驗證某一類參數(shù)范圍是否滿足條件時,要利用隱零點來輔助驗證,從而排除并縮小范圍.【例1】若不等式在上恒成立,求的取值范