2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破第7講 隱零點(diǎn)

第7講隱零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合性問題最終都會(huì)歸于函數(shù)單調(diào)性的判斷,而函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系,導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的判斷、數(shù)值上的精確求解或估計(jì),是導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中最核心的問題.導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),根據(jù)其數(shù)值計(jì)算的差異可分為以下兩類:(1)數(shù)值上能夠精確求解的,稱為顯零點(diǎn).(2)能夠判斷其存在但是無法直接表示的,稱為隱零點(diǎn).對(duì)于隱零點(diǎn)問題,由于涉及靈活的代數(shù)變形技巧、抽象縝密的邏輯判斷和巧妙的不等式應(yīng)用,對(duì)學(xué)生的綜合能力要求比較高,往往是考查的難點(diǎn).我們一般可對(duì)隱零點(diǎn)“設(shè)而不求”,通過一種整體的代換來過渡,再結(jié)合其他條件,從而最終解決問題,一般操作步驟如下:第一步:用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性,列出一階導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)方程,并結(jié)合的單調(diào)性,通過取特殊值逼近的方式得到零點(diǎn)的范圍.第二步:以一階導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)為分界點(diǎn),說明導(dǎo)函數(shù)在左、右兩邊的正、負(fù)號(hào),進(jìn)而得到的極值表達(dá)式.第三步:將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形,整體代人極值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)證明.有時(shí)候第一步中的零點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮小.導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)雖然隱形,但只要抓住特征(零點(diǎn)方程),判斷其范圍(用零點(diǎn)存在性定理),最后整體代人即可.請(qǐng)注意,進(jìn)行代數(shù)式的替換過程中,盡可能將指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式用冪函數(shù)替換,這是簡(jiǎn)化函數(shù)的關(guān)鍵.無參隱零點(diǎn)問題隱零點(diǎn)證明無參不等式恒成立問題:已知無參函數(shù),導(dǎo)函數(shù)方程的根存在,卻無法精確求出,其一般解題步驟為:第一步:求導(dǎo),判定一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,并設(shè)方程的根為.第二步:寫出零點(diǎn)等式成立.第三步:取點(diǎn)找出注意確定的合適范圍。第四步:把零點(diǎn)等式變形反帶回,進(jìn)行簡(jiǎn)化,從而求解.【例1】已知函數(shù).證明:.【解析】證明：設(shè)為增函數(shù),可設(shè)..當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),..又..,.【例2】已知函數(shù),求證:.【解析】證明：在區(qū)間,上單調(diào)遞增,又,在上有唯一實(shí)根,且.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.從而當(dāng)時(shí),取得最小值.由,得,.【例3】已知函數(shù).證明:存在唯一的極大值點(diǎn),且.【解析】證明：.設(shè),則.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.又在零點(diǎn)只有，在零點(diǎn)只有1,且當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.,是在上的唯一極大值點(diǎn).由得..由得.是在的最大值點(diǎn),由得..含參隱零點(diǎn)問題含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問題:已知含參函數(shù),其中為參數(shù),導(dǎo)函數(shù)方程0的根存在,卻無法求出,其解題步驟為:第一步:設(shè)方程的根為.第二步:寫出零點(diǎn)等式成立時(shí),含的關(guān)系式.第三步:取點(diǎn)找出的合適范圍,該范圍往往和有關(guān).第四步:反帶回進(jìn)行求解,通?？梢韵麉?【例1】設(shè)函數(shù).(1)討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)證明:當(dāng)時(shí).【解析】(1)的定義域?yàn)棰佼?dāng)時(shí),沒有零點(diǎn).②當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,單調(diào)遞增.在單調(diào)遞增.又,當(dāng)滿足且時(shí),,故當(dāng)時(shí),存在唯一零點(diǎn).(2)(證明)由(1)題,可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為,當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為.由于,.故當(dāng)時(shí),.【例2】已知函數(shù).當(dāng)時(shí),證明:.【解析】證明：函數(shù)的定義域?yàn)?則.設(shè).,在上單調(diào)遞增.又在上有唯一實(shí)根.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,從而當(dāng)時(shí),取得最小值為.由方程的根為,得故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).又時(shí),.取等號(hào)的條件是,及同時(shí)成立,這是不可能的,,故.【例3】已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)證明:當(dāng)時(shí),方程在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn).(3)設(shè),其中,若恒成立,求的取值范圍.【解析】(1),,令得.令得.故的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.(2)證(明)設(shè),,則.由(1)題可知在上單調(diào)遞增,又,在上只有一個(gè)零點(diǎn).故當(dāng),方程在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn).(3)由題意得,.令,則.由(2)題得,在區(qū)間上單調(diào)遞增且只有一個(gè)零點(diǎn).不妨設(shè)的零點(diǎn)為,則當(dāng)時(shí),,即0,此時(shí)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,即0,此時(shí)單調(diào)遞增,函數(shù)的最小值為,且.由得,故.根據(jù)題意,即,解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.隱零點(diǎn)求最值利用隱零點(diǎn)求最值的步驟:第一步:求出一階導(dǎo)函數(shù),并判定其單調(diào)性(也可利用二階導(dǎo)函數(shù)來判定).第二步:利用零點(diǎn)存在定理判定存在零點(diǎn),寫出零點(diǎn)方程,并確定零點(diǎn)取值范圍.第三步:通常極值就是最值,寫出最值表達(dá)式.第四步:零點(diǎn)等式變形代人最值表達(dá)式,這里常用到一個(gè)指對(duì)互化的變形方式:【例1】求函數(shù)的最大值.【解析】由已知得令,則函數(shù)在上單調(diào)遞增.,存在,使得,其中(指對(duì)互化).當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【例2】求0時(shí)的最小值.【解析】.令.上單調(diào)遞增.，存在唯一的使得當(dāng).故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.,由于得,再對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得..【例3】求的最大值.【解析】令，單調(diào)遞減又由零點(diǎn)存在性定理知,存在唯一零點(diǎn)兩邊取對(duì)數(shù)可得,即.由函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)可得當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減..隱零點(diǎn)求參數(shù)取值范——參變分離參變分離法求解含參不等式恒成立,求參數(shù)取值范圍問題,就是按參變分離的基本步驟.不同的只是分離參數(shù)之后求最值時(shí),無法精確地求出極值,只能用隱零點(diǎn)的方式求出一個(gè)范圍,所以所求最值也只是一個(gè)范圍.這一類題目,會(huì)有一個(gè)明顯的特征,就是所求參數(shù)通常為正整數(shù),只有這樣,參數(shù)才能取到一個(gè)確定的值?！纠?】已知函數(shù),若對(duì)任意的恒成立,求正整數(shù)的最大值.【解析】..單調(diào)遞增，。....為3.【例2】已知函數(shù),,若,且不等式在上恒成立,求的最小值.【解析】不等式為在上恒成立,不等式在上恒成立.成立.設(shè),則.當(dāng)時(shí),.設(shè),在上是增函數(shù),,存在,使得.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.,則 的最小值為2.【例3】知函數(shù)，若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】由可得分離可得.令..,設(shè).則.在上單調(diào)遞增.存在唯一的,使得當(dāng)時(shí),,即.當(dāng)時(shí),,即.故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.,由于,得.再對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得...即實(shí)數(shù)的取值范圍.隱零點(diǎn)縮小參數(shù)取值范圍——分類討論分類討論法求解含參不等式恒成立,求參數(shù)取值范圍問題,也是按前面的分類討論的基本步驟.不同的是,在驗(yàn)證某一類參數(shù)范圍是否滿足條件時(shí),要利用隱零點(diǎn)來輔助驗(yàn)證,從而排除并縮小范圍.【例1】若不等式在上恒成立,求的取值范圍.【解析】由題意,在上恒成立.(1)若,當(dāng)時(shí),顯然有恒成立,不符題意.(2)若,記,則，顯然在單調(diào)遞增.(1)當(dāng)時(shí),.時(shí),.(2)當(dāng)時(shí),,.存在,使.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),,不符合題意.綜上所述,所求的取值范圍是.注意:本題可用后面章節(jié)的端點(diǎn)效應(yīng)快速【解析】決.【例2】設(shè)函數(shù)),對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】令,則成立等價(jià)于,①若,當(dāng),則,而,即恒成立.②若,則,當(dāng),由得是減函數(shù),.又在上是減函數(shù),此時(shí)當(dāng).③若,在有零點(diǎn).在區(qū)間,設(shè),在上是減函數(shù),即在有唯一零點(diǎn),且在上,.在為增函數(shù),即在上.,不合題意.綜上可得,符合題意的的取值范圍是.注意:本題可用后面章節(jié)的端點(diǎn)效應(yīng)快速解決.【例3】已知1),,若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】令問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立.,注意到.①當(dāng)時(shí),,,,.存在,使.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,,不滿足題意.②當(dāng)時(shí),.,在上單調(diào)遞增.,滿足題意.綜上所述,.【例4】已知函數(shù),若對(duì)任意恒有不等式成立,求實(shí)數(shù)的值.【解析】由