《建筑力學(xué)與結(jié)構(gòu)》 課件 第二章　平面力系的平衡

第一節(jié)力的投影第三節(jié)力矩和力偶第二節(jié)平面匯交力系第二章平面力系的平衡75第四節(jié)平面一般力系能熟練計算力在直角坐標(biāo)軸上的投影，能用平面匯交力系的平衡條件求約束反力，能熟練計算力矩，能理解力偶的性質(zhì)并運(yùn)用到實際計算中，能用平面一般力系平衡方程計算約束反力。學(xué)習(xí)目標(biāo)7677在工程實際中，平面力系極為常見，根據(jù)力系中各力作用線分布情況的不同，可將力系分為平面力系和空間力系兩大類。力系中各力作用線均位于同一平面內(nèi)時，該力系稱為平面力系。平面力系又可分為平面匯交力系、平面平行力系和平面一般力系。本章主要討論平面力系的平衡問題。力的投影第一節(jié)7879一、力在直角坐標(biāo)軸上的投影如圖所示，設(shè)力F作用在物體上的A點，其大小和方向均已知，F(xiàn)的大小用線段AB表示。在F作用平面內(nèi)取直角坐標(biāo)系xOy。分別從A點和B點向x軸作垂線，得到垂足a點和b點，并在x軸上取得線段ab。線段ab加上正號或負(fù)號稱為力F在x軸上的投影，用Fx來表示。同理，分別從A點和B點向y軸作垂線，得到垂足a′和b′，并在y軸上取得線段a′b′。線段a′b′加上正號或負(fù)號稱為力F在y軸上的投影，用Fy來表示。80力在坐標(biāo)軸上的投影81投影的正負(fù)號規(guī)定如下：從投影的起點a到終點b的指向與坐標(biāo)軸x軸的正向一致時，該力在x軸上的投影取正號；從投影的起點a到終點b的指向與坐標(biāo)軸x軸的正向相反時，該力在x軸上的投影取負(fù)號。在y軸上的投影正負(fù)規(guī)定與在x軸上的投影正負(fù)規(guī)定一致。上圖中，力F在x軸的投影為正，在y軸上的投影為負(fù)。一般情況下，若已知力F與x軸所夾的銳角為α，則該力在x、y軸上的投影可用式計算：82需要注意的是：（1）當(dāng)力與坐標(biāo)軸垂直時，力在該軸上的投影為零。（2）當(dāng)力與坐標(biāo)軸平行時，其投影大小的絕對值等于該力的大小，正負(fù)由力的指向來定。（3）當(dāng)力平行移動后，在坐標(biāo)軸上的投影不變。若將力F沿x、y軸分解，可得分力Fx、Fy，如上圖所示。應(yīng)當(dāng)注意，投影和分力是兩個不同的概念，投影是代數(shù)量，分力是矢量。只有在直角坐標(biāo)系中，分力

Fx與Fy的大小才分別與投影Fx、Fy的絕對值相等。83二、合力投影定理合力投影定理建立了合力投影與分力投影之間的關(guān)系。如圖a所示，設(shè)有一平面匯交力系，F(xiàn)1、F2、F3作用在物體的O點，其合力為R。將各力都投影在x軸上，并且令F1x、F2x、F3x和Rx分別表示各分力F1、F2、F3和合力R在x軸上的投影，由圖b可見：F1x=ab，F(xiàn)2x=bc，F(xiàn)3x=-cd，Rx=ad而

ad=ab+bc-cd因此可得：

Rx=F1x+F2x+F3x84這一關(guān)系可推廣到任意一個匯交力系的情形，即：由此可見，合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，這就是合力投影定理。合力投影與分力投影間的關(guān)系a）平面匯交力系b）合力與分力的關(guān)系平面匯交力系第二節(jié)8586當(dāng)平面力系中的各力作用線均匯交于一點時，該力系即為平面匯交力系。本節(jié)將討論平面匯交力系的合成及平衡分析。一、平面匯交力系合成的解析法如圖a所示平面匯交力系，選直角坐標(biāo)系，先求出力系中各力在x軸和y軸上的投影，再根據(jù)合力投影定理求得合力R在x、y軸上的投影Rx、Ry，合力R的大小和方向由下式確定：87式中，α為合力R與x軸所夾的銳角，R在哪個象限由∑Fx和∑Fy的正負(fù)號來確定，具體如圖b所示。合力的作用線通過力系的匯交點O。平面匯交力系合成a）平面匯交力系b）合力作用線確定88二、平面匯交力系平衡的解析條件對于平面匯交力系，若力系平衡，則該力系的合力為零；反之，若平面匯交力系的合力為零，則該力系就是平衡力系，即平面匯交力系平衡的充分必要條件是該力系的合力為零。根據(jù)平面匯交力系合成的解析法，合力的解析表達(dá)式為：89當(dāng)平面匯交力系平衡時，該合力R應(yīng)為零。此時，合力R在x軸和y軸上的投影Rx和Ry也全為零，可用下式表示：上式稱為平面匯交力系的平衡方程。平面匯交力系平衡的解析條件是力系中的各分力在兩個互相垂直的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和都等于零。應(yīng)用這兩個獨立的平衡方程，可以求解平面匯交力系的兩個未知量。力矩和力偶第三節(jié)9091一、力矩力對物體的作用除了能使物體產(chǎn)生移動之外，還能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。如圖所示，用扳手?jǐn)Q螺釘時，在A點作用力F，扳手便會繞著O點轉(zhuǎn)動，用力越大，轉(zhuǎn)動速度就越快；d1為O點到F的垂直距離，若將F移至距離O點d2的位置B點上，其力雖然未變小，但轉(zhuǎn)動速度減小了。此外，當(dāng)力的大小和作用線均不變而指向相反方向時，扳手也將會向相反方向轉(zhuǎn)動。所以，力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動的效果，除了與力的大小有關(guān)外，還與轉(zhuǎn)動中心至力的作用線的垂直距離有關(guān)。把這一垂直距離稱為力臂，轉(zhuǎn)動中心稱為力矩中心。92力臂力矩93求解力的力臂大小步驟如下：第一步，找出力矩中心。第二步，延長力的作用線。第三步，從力矩中心向力的作用線作垂線，垂線長度為力臂大小。在平面一般力系中，力矩的定義為：力矩是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的乘積，并且規(guī)定力使物體繞力矩中心逆時針方向轉(zhuǎn)動時為正，順時針方向轉(zhuǎn)動時為負(fù)。94力F對O點的力矩用MO（F）表示，計算公式為：

MO（F）=±Fd

式中，d為力臂。在國際單位制中，力矩的單位是N·m（?！っ祝┗騥N·m（千?！っ祝?。由力矩的定義可知，力矩具有如下性質(zhì)：1.當(dāng)力的大小等于零，或者力的作用線通過矩心（力臂等于零）時力矩等于零。2.當(dāng)力沿作用線移動時，不會改變力對某點的力矩。這是因為力的大小、方向及力臂的大小均未改變。95二、合力矩定理平面匯交力系的合力對于平面內(nèi)任意一點O的力矩等于各分力對于該點的力矩的代數(shù)和，這個定理稱為合力矩定理，即：MO（R）=∑MO（Fi）式中，R為合力，F(xiàn)i

為平面匯交力系合力R的分力。這個定理同樣適用于有合力的其他平面力系。96三、力偶在生產(chǎn)實踐和日常生活中，經(jīng)常見到司機(jī)操縱方向盤、木工鉆孔以及人們用兩個手指開關(guān)自來水龍頭或擰鋼筆套等動作，這些動作分別在方向盤、木頭、自來水龍頭、鋼筆套等物體上作用了大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個平行力。力偶的作用97這種兩個等值、反向的平行力不能合成為一個力，也不能平衡，這樣的兩個力只能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)而不能使物體產(chǎn)生移動效應(yīng)。所以在力學(xué)中，這種大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個平行力組成的力系稱為力偶，用符號（F，F(xiàn)′）表示。力偶的兩個力作用線間的垂直距離d稱為力偶臂，力偶的兩個力所構(gòu)成的平面稱為力偶作用面，如圖所示。力偶（F，F(xiàn)′）98根據(jù)實踐經(jīng)驗，人們發(fā)現(xiàn)力偶的轉(zhuǎn)動效應(yīng)不僅與力偶的大小有關(guān)，還與其作用方向以及力偶臂的大小有關(guān)。與力矩相同，在力偶和力偶臂的乘積前冠以正、負(fù)號作為力偶對物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量，稱為力偶矩，用M（F，F(xiàn)′）或M表示，即：

M（F，F(xiàn)′）=M=±Fd

式中的正、負(fù)號規(guī)定同力矩規(guī)定，即使物體逆時針方向轉(zhuǎn)動時，力偶矩為正；使物體順時針方向轉(zhuǎn)動時，力偶矩為負(fù)。力偶矩的單位也與力矩相同，為N·m（?！っ祝┗騥N·m（千?！っ祝?。99四、力偶的性質(zhì)1.?力偶在任一軸上的投影等于零設(shè)在一物體上作用一力偶（F，F(xiàn)′），并且該兩力與x軸的夾角為α，如圖所示。由圖可得∑Fx=Fcosα-F′cosα=0。這說明力偶在任一軸上的投影等于零。由于力偶在軸上的投影為零，所以力偶對物體只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，不會產(chǎn)生移動效應(yīng)。一個力在一般情況下，對物體可產(chǎn)生移動和轉(zhuǎn)動兩種效應(yīng)。力偶的投影1002.?力偶沒有合力，不能用一個力來代替力偶和力對物體的作用效應(yīng)不同，說明力偶不能用一個力來代替，即力偶不能簡化為一個力，因而力偶也不能與一個力平衡，力偶只能與力偶平衡。3.?力偶對其作用面內(nèi)任一點之矩都等于力偶矩，與矩心位置無關(guān)力偶的作用是使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，所以力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)可以用力偶的兩個力對其作用面某一點的力矩的代數(shù)和來度量。力偶對點的力矩計算1014.?力偶的等效性同一平面內(nèi)的兩個力偶，如果它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同，則這兩個力偶等效，稱為力偶的等效性（證明從略）。從以上性質(zhì)還可得出兩個推論：（1）力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不會改變它對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。例如，作用在方向盤上的兩個力偶只要它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同，即使作用位置不同，轉(zhuǎn)動效應(yīng)也是相同的。（2）在保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以任意改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變它對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。102由以上分析可知，力偶對于物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)完全取決于力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向及力偶作用面，即力偶的三要素。因此，在力學(xué)計算中，有時也用一個帶箭頭的弧線表示力偶，如圖所示，其中箭頭表示力偶的轉(zhuǎn)向，M表示力偶矩的大小。力偶的表示平面一般力系第四節(jié)103104平面一般力系是指各力的作用線位于同一平面內(nèi)但不全匯交于一點，也不全平行的力系。平面一般力系是工程上最常見的力系，很多實際問題都可簡化成平面一般力系問題來處理。三角形屋架a）三角形屋架b）三角形屋架的結(jié)構(gòu)計算簡圖105在工程中，有些結(jié)構(gòu)構(gòu)件所受的力本來不是平面力系，但這些結(jié)構(gòu)（包括支撐和荷載）都對稱于某一個平面。這時，作用在構(gòu)件上的力系就可以簡化為在這個對稱面內(nèi)的平面力系。如圖a所示的擋土墻，它的縱向較長，橫截面相同，且長度相等的各段受力情況也相同，對其進(jìn)行受力分析時，往往取1m的堤段來考慮，它所受到的重力、土壓力和地基反力也可簡化到1m長壩身的對稱面上，從而組成平面力系，如圖b所示。106擋土墻a）擋土墻b）擋土墻的結(jié)構(gòu)計算簡圖107一、力的平移定理如圖a所示，在剛體A點上作用一力F，現(xiàn)將該力平移到剛體平面上的任意一點O。先在O點添加一對平衡力F′和F″，且使這對平衡力的大小等于F，作用線平行于F作用線，如圖b所示。根據(jù)平衡力系的性質(zhì)，添加平衡力系不會影響原力系的作用效應(yīng)，因此圖b和圖a等效。因為F和F″大小相等、方向相反、作用線平行，所以F和F″便形成了一對力偶（F，F(xiàn)′），該力偶稱為附加力偶。108只要知道O點到F作用線的距離d，就能求出該力偶矩的大?。?M（F，F(xiàn)′）=Fd=MO（F）由上式可知，附加力偶矩的大小及方向與F對O點的力矩相同。這樣，原作用于A點的力F就與作用于O點的力F′加上F對O點產(chǎn)生的力矩等效，如圖c所示。由此可得力的平移定理：當(dāng)作用在剛體上某點的力平行移動到該剛體上的任意一點O而不改變其作用效果時，必須同時附加一個力偶，其力偶矩等于原力對新作用點O的力矩。109力的平移定理a）力F作用在A點b）在O點添加一對平衡力F′和F″c）力平移到O點110力的平移定理是一般力系向一點簡化的理論依據(jù)，也是分析力對物體作用效應(yīng)的一個重要方法。如圖a所示的廠房柱受到吊車梁傳來的荷載F的作用，為分析F的作用效應(yīng)，可將力F平移到柱軸線的O點上，根據(jù)力的平移定理得一個力F′，同時還必須附加一個力偶，如圖b所示。力F經(jīng)平移后，它對柱的變形效果就可以很明顯地看出，力F′使柱軸向受壓，力偶使柱彎曲。111柱的受力平移a）柱受力圖b）力平移到O點后的受力圖112二、平面一般力系的平衡條件平面一般力系向作用面內(nèi)任一點O簡化后，一般可以得到一個力和一個力偶，力稱為主矢量，大小為

。力偶稱為主矩，大小為MO=M1+M2+…+Mn=MO（F1）+MO（F2）+…+MO（Fn）=∑MO（Fi）。作用在剛體上的平面一般力系，當(dāng)其主矢量F′和主矩MO同為零時，剛體便處于平衡狀態(tài)；反之，當(dāng)剛體處于平衡狀態(tài)時，作用在其上的平面一般力系的主矢量F′和主矩MO必同時為零。因此，平面一般力系平衡的充分必要條件是：力系的主矢量F′和對任意一點的主矩MO同時為零，即F′=0，MO（F）=0。由此平衡條件可導(dǎo)出不同形式的平衡方程。1131.?平衡方程的基本形式上式稱為平面一般力系平衡方程的基本形式，又稱一矩式?！艶x和∑Fy

分別是力系中各力在兩個直角坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和；∑MO（F）為各力對任意一點O的力矩的代數(shù)和。上式中前兩式為投影平衡方程，第三式為力矩平衡方程，這三個方程彼此獨立，用來求解平面一般力系的平衡問題時，最多只能求解三個未知量。在運(yùn)用平衡方程解題的過程中，必須看清問題的具體條件，選擇坐標(biāo)系、矩心及平衡方程時都應(yīng)注意盡量使每個方程只包含一個未知量，力求簡化計算，達(dá)到事半功倍的效果。1142.?平衡方程的其他形式平面一般力系的平衡方程除了基本形式外，還有其他兩種形式。（1）二矩式（三個平衡方程中有兩個力矩平衡方程）式中，A、B兩矩心連線不能與x