平面向量基礎(chǔ)知識(shí)講座

平面向量基礎(chǔ)知識(shí)講座CATALOGUE目錄平面向量概念與表示平面向量運(yùn)算規(guī)則平面向量基本定理及應(yīng)用平面向量數(shù)量積與性質(zhì)平面向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算平面向量共線、垂直條件及應(yīng)用平面向量概念與表示01平面向量是在二維平面內(nèi)既有方向又有大小的量，常用小箭頭表示的字母a,b,c等來表示。定義平面向量滿足交換律、結(jié)合律和分配律等基本運(yùn)算性質(zhì)。性質(zhì)平面向量定義及性質(zhì)用有向線段表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭方向表示向量的方向。在平面直角坐標(biāo)系中，向量可以用坐標(biāo)來表示，即向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)可以確定一個(gè)向量。向量表示方法坐標(biāo)表示幾何表示向量模向量的模是指向量的長(zhǎng)度，是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，用“||”表示，如|a|表示向量a的模。方向角向量的方向角是指向量與正x軸之間的夾角，通常用希臘字母θ表示，θ的取值范圍是[0,2π)。方向角可以表示向量的方向。向量模與方向角平面向量運(yùn)算規(guī)則02

向量加法運(yùn)算平行四邊形法則將兩個(gè)向量平移至同一起點(diǎn)，以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，從該起點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線向量即為這兩個(gè)向量的和。三角形法則將兩個(gè)向量平移至首尾相接，從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向第二個(gè)向量終點(diǎn)的向量即為這兩個(gè)向量的和。坐標(biāo)運(yùn)算若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a+向量b=(x1+x2,y1+y2)。三角形法則將兩個(gè)向量平移至同一起點(diǎn)，從被減數(shù)向量終點(diǎn)指向減數(shù)向量終點(diǎn)的向量即為這兩個(gè)向量的差。坐標(biāo)運(yùn)算若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a-向量b=(x1-x2,y1-y2)。向量減法運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，其長(zhǎng)度與方向規(guī)定為：|λa|=|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0。定義若向量a=(x,y)，則λa=(λx,λy)。特別地，當(dāng)λ=-1時(shí)，(-1)a=-a表示向量a的相反向量。坐標(biāo)運(yùn)算數(shù)乘向量運(yùn)算平面向量基本定理及應(yīng)用03線性組合如果存在數(shù)$k_1,k_2,dots,k_n$，使得向量$k_1vec{a_1}+k_2vec{a_2}+dots+k_nvec{a_n}=vec$，則稱向量$vec$是向量組$vec{a_1},vec{a_2},dots,vec{a_n}$的線性組合。線性表示如果向量$vec$可以表示為向量組$vec{a_1},vec{a_2},dots,vec{a_n}$的線性組合，則稱向量$vec$能由向量組$vec{a_1},vec{a_2},dots,vec{a_n}$線性表示。線性組合與線性表示內(nèi)容如果$vec{e_1}$和$vec{e_2}$是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量$vec{a}$，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)$x$和$y$，使得$vec{a}=xvec{e_1}+yvec{e_2}$。意義平面向量基本定理是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它說明同一平面內(nèi)的任一向量都可以表示為其他兩個(gè)不共線向量的線性組合。推論如果$vec{a},vec,vec{c}$是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，且$vec{a}$與$vec$不共線，則向量$vec{c}$能由向量$vec{a},vec$線性表示的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)$(x,y)$，使得$vec{c}=xvec{a}+yvec$。平面向量基本定理利用平面向量基本定理，可以證明平行四邊形的對(duì)角線性質(zhì)，如對(duì)角線互相平分等。解決平行四邊形問題在三角形中，可以利用平面向量基本定理表示三角形的邊或高，從而解決與三角形相關(guān)的問題。解決三角形問題對(duì)于多邊形，可以利用平面向量基本定理將其分解為多個(gè)三角形進(jìn)行處理，從而簡(jiǎn)化問題。解決多邊形問題在解析幾何中，可以利用平面向量基本定理將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行處理，如求解直線的方程、圓的方程等。解決解析幾何問題定理在幾何問題中應(yīng)用平面向量數(shù)量積與性質(zhì)04數(shù)量積定義及計(jì)算方法數(shù)量積定義兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)標(biāo)量，等于兩個(gè)向量的模長(zhǎng)與它們之間夾角的余弦值的乘積。計(jì)算方法對(duì)于兩個(gè)向量a和b，它們的數(shù)量積可以表示為a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分別表示向量a和b的模長(zhǎng)，θ表示向量a和b之間的夾角。數(shù)量積滿足交換律、分配律和結(jié)合律，同時(shí)與向量的模長(zhǎng)和夾角有關(guān)。當(dāng)兩個(gè)向量垂直時(shí)，它們的數(shù)量積為0；當(dāng)兩個(gè)向量同向時(shí)，它們的數(shù)量積達(dá)到最大。性質(zhì)數(shù)量積可以表示兩個(gè)向量在方向上的投影長(zhǎng)度，也可以用來計(jì)算向量的模長(zhǎng)和夾角。此外，在解析幾何中，數(shù)量積還可以用來判斷點(diǎn)、直線和平面之間的位置關(guān)系。幾何意義數(shù)量積性質(zhì)與幾何意義電磁學(xué)在電磁學(xué)中，電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度等物理量都是向量。這些向量之間的數(shù)量積可以表示電荷在電場(chǎng)中的勢(shì)能差、電流在磁場(chǎng)中受到的力等物理量。力與位移在物理學(xué)中，力是一個(gè)向量，位移也是一個(gè)向量。力對(duì)物體所做的功等于力與物體在力的方向上發(fā)生的位移的數(shù)量積。振動(dòng)分析在振動(dòng)分析中，向量的數(shù)量積可以用來計(jì)算振動(dòng)的幅度、頻率和相位等參數(shù)，從而幫助人們更好地理解和分析振動(dòng)現(xiàn)象。數(shù)量積在物理問題中應(yīng)用平面向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算05坐標(biāo)系中向量表示方法在平面直角坐標(biāo)系中，向量可以用有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)來表示，如向量AB可以表示為B點(diǎn)坐標(biāo)減去A點(diǎn)坐標(biāo)。起點(diǎn)與終點(diǎn)坐標(biāo)表示法向量在坐標(biāo)軸上的投影稱為向量的分量，一個(gè)平面向量可以唯一地由其兩個(gè)分量所確定。在平面直角坐標(biāo)系中，向量a可以表示為(x,y)，其中x和y分別為向量a在x軸和y軸上的分量。向量分量表示法向量加法運(yùn)算01兩個(gè)向量相加，其結(jié)果是一個(gè)新的向量，其坐標(biāo)等于對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相加。例如，向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a+b的坐標(biāo)為(x1+x2,y1+y2)。向量減法運(yùn)算02兩個(gè)向量相減，其結(jié)果是一個(gè)新的向量，其坐標(biāo)等于對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相減。例如，向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a-b的坐標(biāo)為(x1-x2,y1-y2)。向量數(shù)乘運(yùn)算03一個(gè)向量與一個(gè)實(shí)數(shù)相乘，其結(jié)果是一個(gè)新的向量，其坐標(biāo)等于原向量坐標(biāo)與實(shí)數(shù)相乘。例如，向量a=(x,y)，實(shí)數(shù)k，則向量ka的坐標(biāo)為(kx,ky)。向量坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則向量的模等于其坐標(biāo)的平方和的平方根。例如，向量a=(x,y)，則向量a的模為sqrt(x^2+y^2)。求向量的模兩向量垂直當(dāng)且僅當(dāng)其點(diǎn)積為零。在平面直角坐標(biāo)系中，向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a與b垂直當(dāng)且僅當(dāng)x1*x2+y1*y2=0。判斷兩向量是否垂直兩向量的夾角可以通過其點(diǎn)積和模來計(jì)算。具體地，向量a與b的夾角cos值等于a與b的點(diǎn)積除以a與b的模的乘積。例如，向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則cos<a,b>=(x1*x2+y1*y2)/(sqrt(x1^2+y1^2)*sqrt(x2^2+y2^2))。求兩向量的夾角坐標(biāo)運(yùn)算在幾何問題中應(yīng)用平面向量共線、垂直條件及應(yīng)用06方向相同或相反的兩個(gè)非零向量叫做共線向量或平行向量。共線向量定義共線向量定理應(yīng)用若向量a與向量b共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb。利用共線向量定理可以解決向量的共線問題，如判斷三點(diǎn)共線、證明線段平行等。030201共線向量條件及應(yīng)用兩個(gè)非零向量的夾角為90度時(shí)，稱這兩個(gè)向量互相垂直。垂直向量定義若向量a與向量b垂直，則它們的數(shù)量積為零，即a·b=0。垂直向量性質(zhì)利用垂直向量的性質(zhì)可以解決向量的垂直問題，如判斷兩向