數(shù)列的概念及其函數(shù)特征 高中數(shù)學(xué)北師大版選擇性必修第二冊(cè)

第一章

數(shù)列1.1數(shù)列的概念及其函數(shù)特征高中數(shù)學(xué)北師大版選擇性必修第二冊(cè)1.1.1數(shù)列的概念[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一數(shù)列的有關(guān)概念及表示方法1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念(1)數(shù)列：按________排列的一列數(shù)叫作數(shù)列．(2)數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的________叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的表示方法數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1，a2，a3，…，an，…或簡(jiǎn)記為數(shù)列{an}，其中a1是數(shù)列的第1項(xiàng)，也叫數(shù)列的________；an是數(shù)列的第n項(xiàng)，也叫數(shù)列的________．一定次序每一個(gè)數(shù)首項(xiàng)通項(xiàng)

(1)數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，是一個(gè)函數(shù)值，也就是相當(dāng)于f(n)，而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)，它是自變量的值，相當(dāng)于f(n)中的n.(2)數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列5，3，2，4，1為兩個(gè)不同的數(shù)列，因?yàn)槎叩脑仨樞虿煌?，而集合{1，2，3，4，5}與這兩個(gè)數(shù)列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有無(wú)序性．要點(diǎn)二數(shù)列的分類(lèi)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以將數(shù)列分為兩類(lèi)：(1)有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)________的數(shù)列；(2)無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)________的數(shù)列．有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列的表示方法：(1)有窮數(shù)列一般表示為a1，a2，a3，…，am；無(wú)窮數(shù)列一般表示為a1，a2，a3，…，am，….(2)對(duì)于有窮數(shù)列，要把末項(xiàng)(即最后一項(xiàng))寫(xiě)出來(lái)，對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，不存在最后一項(xiàng)，要用“…”結(jié)尾.有限無(wú)限要點(diǎn)三數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)________與________之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成________，那么這個(gè)式子就叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．a(chǎn)nnan＝f(n)

[基礎(chǔ)自測(cè)]1．判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1){0，1，2，3，4}是有窮數(shù)列．(

)(2)數(shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，2，4，3是同一數(shù)列．(

)(3)所有自然數(shù)能構(gòu)成數(shù)列．(

)(4)數(shù)列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通項(xiàng)公式是an＝2n＋1.(

)××√×2．(多選題)數(shù)列－1，1，－1，1，…的通項(xiàng)公式可以為(

)A．a(chǎn)n＝(－1)n－1B．a(chǎn)n＝(－1)nC．a(chǎn)n＝cosnπ

D．a(chǎn)n＝sinnπ答案：BC3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋1，則122是該數(shù)列的(

)A．第9項(xiàng)

B．第10項(xiàng)C．第11項(xiàng)D．第12項(xiàng)答案：C解析：由an＝n2＋1＝122，得n2＝121.∴n＝11.故選C.

題型一數(shù)列的概念與分類(lèi)例1

(多選題)下列說(shuō)法正確的是(

)A．?dāng)?shù)列4，7，3，4的首項(xiàng)是4B．?dāng)?shù)列{an}中，若a1＝3，則從第2項(xiàng)起，各項(xiàng)均不等于3C．?dāng)?shù)列1，2，3，…就是數(shù)列{n}D．?dāng)?shù)列中的項(xiàng)不能是三角形答案：ACD解析：根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念，數(shù)列4，7，3，4的第1項(xiàng)就是首項(xiàng)4，A正確；同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，B錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念可知C正確；數(shù)列中的項(xiàng)必須是數(shù)，不能是其他形式，D正確．故選ACD.方法歸納正確理解數(shù)列及相關(guān)概念，注意以下幾點(diǎn)：(1)數(shù)列與數(shù)集不同，數(shù)集具有互異性和無(wú)序性，而數(shù)列中各項(xiàng)可以相同，但與順序有關(guān)；(2)數(shù)列a1，a2，…，an，…可以記為{an}，但不能記作{a1，a2，…，an，…}.

答案：BD解析：當(dāng)n＝5時(shí)，a5＝11，A錯(cuò)誤；B正確；因?yàn)閿?shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)，C錯(cuò)誤；D正確．故選BD.

方法歸納(1)據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想．(2)觀察、分析數(shù)列中各項(xiàng)的特點(diǎn)是最重要的，觀察出項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問(wèn)題得到解決，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)調(diào)整．

題型三數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2－28n.(1)寫(xiě)出此數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)．(2)－49是否是該數(shù)列的一項(xiàng)？如果是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？68是否是該數(shù)列的一項(xiàng)呢？如果是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？

變式探究本例中，數(shù)列{an}中有多少個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)？

方法歸納(1)利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)．(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程．若方程解為正整數(shù)則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無(wú)解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng)．

易錯(cuò)辨析忽略了相鄰正方形的公共邊而致誤例4圖中由火柴棒拼成的一列圖形中，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成.通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)圖形中，火柴棒的根數(shù)為_(kāi)_______．解析：因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)相鄰的正方形均有1條公共邊，所以第二個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為2×3＋1.第三個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為3×3＋1.……第n個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為3n＋1.答案：3n＋1【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得每相鄰的兩個(gè)正方形都有公共邊，第n個(gè)圖形有n個(gè)正方形，火柴棒的根數(shù)是3n＋1而不是4n.正確觀察圖形，看清圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，并找到相關(guān)規(guī)律，再進(jìn)行歸納．

答案：C解析：當(dāng)n＝1時(shí)，排除A、D，當(dāng)n＝2時(shí)，排除B，故選C.

答案：C

3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－n，則下列結(jié)論正確的是(

)A．第2項(xiàng)a2＝0B．0不是數(shù)列中的一項(xiàng)C．21是數(shù)列中的一項(xiàng)D．42是數(shù)列中的一項(xiàng)答案：D解析：令n2－n＝42，解得n＝7(n＝－6舍去)．故42是數(shù)列的第7項(xiàng)，其余選項(xiàng)均錯(cuò)．故選D.

3－4n

第一章

數(shù)列1.1數(shù)列的概念及其函數(shù)特征高中數(shù)學(xué)北師大版選擇性必修第二冊(cè)1.1.2數(shù)列的概念[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一數(shù)列與函數(shù)可以把一個(gè)數(shù)列視作定義在________集(或其子集)上的函數(shù)，因此可以用圖象(平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一串點(diǎn))來(lái)表示數(shù)列，圖象中每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______，k＝1，2，3，….

正整數(shù)(k，ak)

(1)數(shù)列是以正整數(shù)作為自變量的特殊函數(shù)，因此在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要善于利用函數(shù)的知識(shí)、函數(shù)的觀點(diǎn)、函數(shù)的思想方法，即用共性來(lái)解決特殊問(wèn)題．(2)要注意數(shù)列的特殊性(離散型)．因?yàn)閿?shù)列的定義域是N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})，所以數(shù)列的值域是一系列孤立的實(shí)數(shù)組成的集合．要點(diǎn)二數(shù)列的增減性1．遞增數(shù)列：一般地，一個(gè)數(shù)列{an}，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)，即________，那么這個(gè)數(shù)列叫作遞增數(shù)列．2．遞減數(shù)列：如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)，即________，那么這個(gè)數(shù)列叫作遞減數(shù)列．3．常數(shù)列：如果數(shù)列{an}的各項(xiàng)都________，那么這個(gè)數(shù)列叫作常數(shù)列．大于an＋1>an小于an＋1<an相等數(shù)列增減性與函數(shù)增減性的區(qū)別數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是N＋(或N＋的有限子集)，自變量的取值是離散的，而函數(shù)的定義域通常是連續(xù)的，所以數(shù)列與函數(shù)的增減性有所不同．例如，函數(shù)f(x)＝x2－2x在其定義域上沒(méi)有增減性．只能說(shuō)f(x)在(－∞，1)上減少，在(1，＋∞)上增加，但對(duì)于數(shù)列{an}，若an＝n2－2n，則其一定是遞增數(shù)列．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)數(shù)列若用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點(diǎn).(

)(2)在數(shù)列{an}中，若存在m，n∈N＋，當(dāng)m<n時(shí)有am<an成立，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.(

)(3)如果函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則數(shù)列an＝f(n)為單調(diào)遞增數(shù)列．(

)(4)數(shù)列1，3，5，7，…，2n－1可以看作函數(shù)y＝2x－1，當(dāng)x取1，2，3，…，n時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值的集合.(

)√×√×2．若數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＝2n，則數(shù)列{an}是(

)A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列

D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列答案：A解析：an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是遞增數(shù)列．故選A.

答案：C解析：A、B是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，故C正確．故選C.4．有下列數(shù)列：①1，2，22，23，…；②1，0.5，0.52，0.53，…；③7，7，7，7，….其中遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是________．(填序號(hào))①②③題型一根據(jù)圖象判斷數(shù)列的增減性例1已知數(shù)列{an}中，an＝n2－8n.(1)畫(huà)出{an}的圖象；(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出數(shù)列{an}的增減性.

解析：(1)列表如下.描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出下列各點(diǎn)即得數(shù)列{an}的圖象.(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…圖象如圖.(2)數(shù)列{an}的圖象既不是上升的，也不是下降的，所以{an}既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列.n123456789…an－7－12－15－16－15－12－709…方法歸納畫(huà)數(shù)列圖象通常用描點(diǎn)法，與畫(huà)函數(shù)圖象的描點(diǎn)法有類(lèi)似之處，其步驟是：(1)列表；(2)描點(diǎn)．但要注意描點(diǎn)后不能連線(xiàn)，這是由于數(shù)列的定義域是N＋.

解析：圖象如圖所示，該數(shù)列在{1，2，3，4}上是遞減的，在{5，6，…}上也是遞減的．

方法歸納判斷數(shù)列增減性的方法(1)根據(jù)給出的通項(xiàng)公式畫(huà)出圖象，觀察圖象的變化趨勢(shì)；(2)作差法：用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)，an－an－1(n≥2，n∈N＋)或an＋1－an，若結(jié)果為正，則是遞增數(shù)列，若結(jié)果為負(fù)，則是遞減數(shù)列；(3)作商法：在確定an為正或?yàn)樨?fù)的情況下，作商，比較商值與1的關(guān)系，從而確定數(shù)列的單調(diào)性；(4)借助數(shù)列通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.

跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝－2n2＋9n＋3.求{an}中的最大項(xiàng)．

易錯(cuò)辨析忽視數(shù)列中的n∈N*致錯(cuò)例4已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4，則an的最小值為_(kāi)_______．答案：－2

【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得數(shù)列的定義域是正整數(shù)集，是特殊的函數(shù)，所以解題時(shí)一定不要忘記n∈N*這一條件．[課堂十分鐘]1．(多選題)下列說(shuō)法中正確的是(

)A．?dāng)?shù)列a，a，a，…是無(wú)窮數(shù)列B．?dāng)?shù)列{f(n)}就是定義在正整數(shù)集N＋或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函數(shù)值C．?dāng)?shù)列0，－1，－2，－3，…不一定是遞減數(shù)列D．已知數(shù)列{an}，則{an＋1－an}也是一個(gè)數(shù)列答案：ACD解析：A，D顯然正確；因?yàn)閿?shù)列{f(n)}是定義在正整數(shù)集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的是一列函數(shù)值，所以B項(xiàng)不正確；對(duì)于C，數(shù)列只給出前四項(xiàng)，后面的項(xiàng)不確定，所以不一定是遞減數(shù)列．故選ACD.

答案：A

3．在遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A．R

B．(0，＋∞)C