數(shù)列的概念及其函數(shù)特征 高中數(shù)學(xué)北師大版選擇性必修第二冊

第一章

數(shù)列1.1數(shù)列的概念及其函數(shù)特征高中數(shù)學(xué)北師大版選擇性必修第二冊1.1.1數(shù)列的概念[教材要點]要點一數(shù)列的有關(guān)概念及表示方法1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念(1)數(shù)列：按________排列的一列數(shù)叫作數(shù)列．(2)數(shù)列的項：數(shù)列中的________叫作這個數(shù)列的項．2．?dāng)?shù)列的表示方法數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…或簡記為數(shù)列{an}，其中a1是數(shù)列的第1項，也叫數(shù)列的________；an是數(shù)列的第n項，也叫數(shù)列的________．一定次序每一個數(shù)首項通項

(1)數(shù)列的項是指這個數(shù)列中的某一個確定的數(shù)，是一個函數(shù)值，也就是相當(dāng)于f(n)，而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號，它是自變量的值，相當(dāng)于f(n)中的n.(2)數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列5，3，2，4，1為兩個不同的數(shù)列，因為二者的元素順序不同，而集合{1，2，3，4，5}與這兩個數(shù)列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有無序性．要點二數(shù)列的分類根據(jù)數(shù)列的項數(shù)可以將數(shù)列分為兩類：(1)有窮數(shù)列：項數(shù)________的數(shù)列；(2)無窮數(shù)列：項數(shù)________的數(shù)列．有窮數(shù)列與無窮數(shù)列的表示方法：(1)有窮數(shù)列一般表示為a1，a2，a3，…，am；無窮數(shù)列一般表示為a1，a2，a3，…，am，….(2)對于有窮數(shù)列，要把末項(即最后一項)寫出來，對于無窮數(shù)列，不存在最后一項，要用“…”結(jié)尾.有限無限要點三數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項________與________之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子表示成________，那么這個式子就叫作這個數(shù)列的通項公式，數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．a(chǎn)nnan＝f(n)

[基礎(chǔ)自測]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1){0，1，2，3，4}是有窮數(shù)列．(

)(2)數(shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，2，4，3是同一數(shù)列．(

)(3)所有自然數(shù)能構(gòu)成數(shù)列．(

)(4)數(shù)列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通項公式是an＝2n＋1.(

)××√×2．(多選題)數(shù)列－1，1，－1，1，…的通項公式可以為(

)A．a(chǎn)n＝(－1)n－1B．a(chǎn)n＝(－1)nC．a(chǎn)n＝cosnπ

D．a(chǎn)n＝sinnπ答案：BC3．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋1，則122是該數(shù)列的(

)A．第9項

B．第10項C．第11項D．第12項答案：C解析：由an＝n2＋1＝122，得n2＝121.∴n＝11.故選C.

題型一數(shù)列的概念與分類例1

(多選題)下列說法正確的是(

)A．?dāng)?shù)列4，7，3，4的首項是4B．?dāng)?shù)列{an}中，若a1＝3，則從第2項起，各項均不等于3C．?dāng)?shù)列1，2，3，…就是數(shù)列{n}D．?dāng)?shù)列中的項不能是三角形答案：ACD解析：根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念，數(shù)列4，7，3，4的第1項就是首項4，A正確；同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，B錯誤；根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念可知C正確；數(shù)列中的項必須是數(shù)，不能是其他形式，D正確．故選ACD.方法歸納正確理解數(shù)列及相關(guān)概念，注意以下幾點：(1)數(shù)列與數(shù)集不同，數(shù)集具有互異性和無序性，而數(shù)列中各項可以相同，但與順序有關(guān)；(2)數(shù)列a1，a2，…，an，…可以記為{an}，但不能記作{a1，a2，…，an，…}.

答案：BD解析：當(dāng)n＝5時，a5＝11，A錯誤；B正確；因為數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)，C錯誤；D正確．故選BD.

方法歸納(1)據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項符號特征等，并對此進行歸納、聯(lián)想．(2)觀察、分析數(shù)列中各項的特點是最重要的，觀察出項與序號之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問題得到解決，對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整．

題型三數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用例3已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n2－28n.(1)寫出此數(shù)列的第4項和第6項．(2)－49是否是該數(shù)列的一項？如果是，應(yīng)是哪一項？68是否是該數(shù)列的一項呢？如果是，應(yīng)是哪一項？

變式探究本例中，數(shù)列{an}中有多少個負數(shù)項？

方法歸納(1)利用數(shù)列的通項公式求某項的方法數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項．(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法先假定它是數(shù)列中的第n項，然后列出關(guān)于n的方程．若方程解為正整數(shù)則是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項．

易錯辨析忽略了相鄰正方形的公共邊而致誤例4圖中由火柴棒拼成的一列圖形中，第n個圖形由n個正方形組成.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第n個圖形中，火柴棒的根數(shù)為________．解析：因為每兩個相鄰的正方形均有1條公共邊，所以第二個圖形的火柴棒根數(shù)為2×3＋1.第三個圖形的火柴棒根數(shù)為3×3＋1.……第n個圖形的火柴棒根數(shù)為3n＋1.答案：3n＋1【易錯警示】出錯原因糾錯心得每相鄰的兩個正方形都有公共邊，第n個圖形有n個正方形，火柴棒的根數(shù)是3n＋1而不是4n.正確觀察圖形，看清圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，并找到相關(guān)規(guī)律，再進行歸納．

答案：C解析：當(dāng)n＝1時，排除A、D，當(dāng)n＝2時，排除B，故選C.

答案：C

3．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－n，則下列結(jié)論正確的是(

)A．第2項a2＝0B．0不是數(shù)列中的一項C．21是數(shù)列中的一項D．42是數(shù)列中的一項答案：D解析：令n2－n＝42，解得n＝7(n＝－6舍去)．故42是數(shù)列的第7項，其余選項均錯．故選D.

3－4n

第一章

數(shù)列1.1數(shù)列的概念及其函數(shù)特征高中數(shù)學(xué)北師大版選擇性必修第二冊1.1.2數(shù)列的概念[教材要點]要點一數(shù)列與函數(shù)可以把一個數(shù)列視作定義在________集(或其子集)上的函數(shù)，因此可以用圖象(平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一串點)來表示數(shù)列，圖象中每個點的坐標(biāo)為________，k＝1，2，3，….

正整數(shù)(k，ak)

(1)數(shù)列是以正整數(shù)作為自變量的特殊函數(shù)，因此在解決數(shù)列問題時，要善于利用函數(shù)的知識、函數(shù)的觀點、函數(shù)的思想方法，即用共性來解決特殊問題．(2)要注意數(shù)列的特殊性(離散型)．因為數(shù)列的定義域是N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})，所以數(shù)列的值域是一系列孤立的實數(shù)組成的集合．要點二數(shù)列的增減性1．遞增數(shù)列：一般地，一個數(shù)列{an}，如果從第2項起，每一項都________它的前一項，即________，那么這個數(shù)列叫作遞增數(shù)列．2．遞減數(shù)列：如果從第2項起，每一項都________它的前一項，即________，那么這個數(shù)列叫作遞減數(shù)列．3．常數(shù)列：如果數(shù)列{an}的各項都________，那么這個數(shù)列叫作常數(shù)列．大于an＋1>an小于an＋1<an相等數(shù)列增減性與函數(shù)增減性的區(qū)別數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是N＋(或N＋的有限子集)，自變量的取值是離散的，而函數(shù)的定義域通常是連續(xù)的，所以數(shù)列與函數(shù)的增減性有所不同．例如，函數(shù)f(x)＝x2－2x在其定義域上沒有增減性．只能說f(x)在(－∞，1)上減少，在(1，＋∞)上增加，但對于數(shù)列{an}，若an＝n2－2n，則其一定是遞增數(shù)列．[基礎(chǔ)自測]1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)數(shù)列若用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點.(

)(2)在數(shù)列{an}中，若存在m，n∈N＋，當(dāng)m<n時有am<an成立，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.(

)(3)如果函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則數(shù)列an＝f(n)為單調(diào)遞增數(shù)列．(

)(4)數(shù)列1，3，5，7，…，2n－1可以看作函數(shù)y＝2x－1，當(dāng)x取1，2，3，…，n時，對應(yīng)函數(shù)值的集合.(

)√×√×2．若數(shù)列{an}滿足an＝2n，則數(shù)列{an}是(

)A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列

D．?dāng)[動數(shù)列答案：A解析：an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是遞增數(shù)列．故選A.

答案：C解析：A、B是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，故C正確．故選C.4．有下列數(shù)列：①1，2，22，23，…；②1，0.5，0.52，0.53，…；③7，7，7，7，….其中遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是________．(填序號)①②③題型一根據(jù)圖象判斷數(shù)列的增減性例1已知數(shù)列{an}中，an＝n2－8n.(1)畫出{an}的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出數(shù)列{an}的增減性.

解析：(1)列表如下.描點：在平面直角坐標(biāo)系中描出下列各點即得數(shù)列{an}的圖象.(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…圖象如圖.(2)數(shù)列{an}的圖象既不是上升的，也不是下降的，所以{an}既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列.n123456789…an－7－12－15－16－15－12－709…方法歸納畫數(shù)列圖象通常用描點法，與畫函數(shù)圖象的描點法有類似之處，其步驟是：(1)列表；(2)描點．但要注意描點后不能連線，這是由于數(shù)列的定義域是N＋.

解析：圖象如圖所示，該數(shù)列在{1，2，3，4}上是遞減的，在{5，6，…}上也是遞減的．

方法歸納判斷數(shù)列增減性的方法(1)根據(jù)給出的通項公式畫出圖象，觀察圖象的變化趨勢；(2)作差法：用數(shù)列的后一項減去前一項，an－an－1(n≥2，n∈N＋)或an＋1－an，若結(jié)果為正，則是遞增數(shù)列，若結(jié)果為負，則是遞減數(shù)列；(3)作商法：在確定an為正或為負的情況下，作商，比較商值與1的關(guān)系，從而確定數(shù)列的單調(diào)性；(4)借助數(shù)列通項公式對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.

跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}的通項an＝－2n2＋9n＋3.求{an}中的最大項．

易錯辨析忽視數(shù)列中的n∈N*致錯例4已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4，則an的最小值為________．答案：－2

【易錯警示】出錯原因糾錯心得數(shù)列的定義域是正整數(shù)集，是特殊的函數(shù)，所以解題時一定不要忘記n∈N*這一條件．[課堂十分鐘]1．(多選題)下列說法中正確的是(

)A．?dāng)?shù)列a，a，a，…是無窮數(shù)列B．?dāng)?shù)列{f(n)}就是定義在正整數(shù)集N＋或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函數(shù)值C．?dāng)?shù)列0，－1，－2，－3，…不一定是遞減數(shù)列D．已知數(shù)列{an}，則{an＋1－an}也是一個數(shù)列答案：ACD解析：A，D顯然正確；因為數(shù)列{f(n)}是定義在正整數(shù)集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時，對應(yīng)的是一列函數(shù)值，所以B項不正確；對于C，數(shù)列只給出前四項，后面的項不確定，所以不一定是遞減數(shù)列．故選ACD.

答案：A

3．在遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實數(shù)k的取值范圍是(

)A．R

B．(0，＋∞)C