反常積分斂散性的判別

第一頁，共四十四頁?！?無窮積分的性質及收斂判別一、無窮積分的性質

本節(jié)討論無窮積分的性質,并用這些性質得到無窮積分的收斂判別法.二、非負函數(shù)無窮積分的收斂判別法三、一般函數(shù)無窮積分的收斂判別法2精品PPT|借鑒參考第二頁，共四十四頁。收斂的充要條件是:一、無窮積分的性質證極限的柯西準則,此等價于(無窮積分收斂的柯西準則)無窮積分定理11.13精品PPT|借鑒參考第三頁，共四十四頁。性質1為任意常數(shù),則即根據(jù)反常積分定義,容易導出以下性質1和性質2.4精品PPT|借鑒參考第四頁，共四十四頁。性質25精品PPT|借鑒參考第五頁，共四十四頁。PPT內(nèi)容概述§2無窮積分的性質及收斂判別?！?無窮積分的性質及收斂判別。精品PPT|借鑒參考。精品PPT|借鑒參考。(無窮積分收斂的柯西準則)無窮積分。根據(jù)反常積分定義,容易導出以下性質1和性質2.。h(x)在任意[a,u]上可積,且。收斂,由柯西準則的必要性,。上的非負函數(shù)f在任何。非負函數(shù)f,g在任何有限區(qū)間[a,u]上可積,且。定理11.3(比較判別法)設定義在上的兩個。從而F(u)是單調(diào)遞增的。存在滿足。第二個結論是第一個結論的逆否命題,因此也成立.。設f(x),g(x)是上的非負連續(xù)函數(shù).證。推論1設非負函數(shù)f和g在任何[a,u]上可積,且。推論2設f是定義在上的非負函數(shù),在任何。限區(qū)間[a,u]上可積.。的收斂性(k>0).。a1第六頁，共四十四頁。h(x)在任意[a,u]上可積,且證因為收斂,由柯西準則的必要性,例1,f(x),g(x),若7精品PPT|借鑒參考第七頁，共四十四頁。再由柯西準則的充分性,8精品PPT|借鑒參考第八頁，共四十四頁。二、非負函數(shù)無窮積分的收斂判別法定理11.2(非負函數(shù)無窮積分的判別法)設定義在上的非負函數(shù)f

在任何收斂的充要條件是:證設9精品PPT|借鑒參考第九頁，共四十四頁。非負函數(shù)

f,g在任何有限區(qū)間[a,u]上可積,且定理11.3(比較判別法)

設定義在上的兩個增函數(shù)的收斂判別準則,

從而F(u)是單調(diào)遞增的由單調(diào)遞存在滿足10精品PPT|借鑒參考第十頁，共四十四頁。證

由非負函數(shù)無窮積分的判別法,第二個結論是第一個結論的逆否命題,因此也成立.11精品PPT|借鑒參考第十一頁，共四十四頁。例2判別的收斂性.解顯然設f(x),g(x)是上的非負連續(xù)函數(shù).證例312精品PPT|借鑒參考第十二頁，共四十四頁。推論1設非負函數(shù)f和g在任何[a,u]上可積,且證由于13精品PPT|借鑒參考第十三頁，共四十四頁。證

即14精品PPT|借鑒參考第十四頁，共四十四頁。15精品PPT|借鑒參考第十五頁，共四十四頁。推論2設f是定義在上的非負函數(shù),在任何16精品PPT|借鑒參考第十六頁，共四十四頁。限區(qū)間[a,u]上可積.推論3設f是定義在上的非負函數(shù),在任何有說明:推論3是推論2的極限形式，讀者應不難寫出它的證明.17精品PPT|借鑒參考第十七頁，共四十四頁。例4討論的收斂性(k>0).解(i)18精品PPT|借鑒參考第十八頁，共四十四頁。若無窮積分以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性.三、一般函數(shù)無窮積分的判別法何有限區(qū)間[a,u]上可積,定理11.4

(絕對收斂的無窮積分必收斂)若

f在任19精品PPT|借鑒參考第十九頁，共四十四頁。因此再由柯西準則的充分性,又對任意證由柯西準則的必要性,對因20精品PPT|借鑒參考第二十頁，共四十四頁。收斂的無窮積分不一定是絕對收斂的.例5的收斂性.判別解由于21精品PPT|借鑒參考第二十一頁，共四十四頁。瑕積分的性質與收斂判別,與無窮積§3瑕積分的性質與收斂判別內(nèi)容大都是羅列出一些基本結論,并舉分的性質與收斂判別相類似.因此本節(jié)

例加以應用,而不再進行重復論證.22精品PPT|借鑒參考第二十二頁，共四十四頁。定理11.7

（瑕積分收斂的柯西準則）證柯西準則，此等價于23精品PPT|借鑒參考第二十三頁，共四十四頁。性質1性質2

24精品PPT|借鑒參考第二十四頁，共四十四頁。性質3定理11.8

(非負函數(shù)瑕積分的判別法)25精品PPT|借鑒參考第二十五頁，共四十四頁。定理11.9

(比較法則)26精品PPT|借鑒參考第二十六頁，共四十四頁。推論127精品PPT|借鑒參考第二十七頁，共四十四頁。推論228精品PPT|借鑒參考第二十八頁，共四十四頁。推論3可以判別一些非負函數(shù)瑕積分的收斂性.29精品PPT|借鑒參考第二十九頁，共四十四頁。例1由于30精品PPT|借鑒參考第三十頁，共四十四頁。例2解31精品PPT|借鑒參考第三十一頁，共四十四頁。例3解32精品PPT|借鑒參考第三十二頁，共四十四頁。33精品PPT|借鑒參考第三十三頁，共四十四頁。aa

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1I(a)發(fā)散收斂定積分J(a)收斂收斂發(fā)散

(a)發(fā)散收斂發(fā)散34精品PPT|借鑒參考第三十四頁，共四十四頁。*一般函數(shù)的無窮積分的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判別法）證故別法和阿貝爾判別法判別其收斂性.35精品PPT|借鑒參考第三十五頁，共四十四頁。使得36精品PPT|借鑒參考第三十六頁，共四十四頁。因此,由柯西準則，證[證法1]定理11.6(阿貝爾判別法)由

g的單調(diào)性,用積分第二中值定理，對于任意的使得37精品PPT|借鑒參考第三十七頁，共四十四頁。由柯西準則,[證法2]38精品PPT|借鑒參考第三十八頁，共四十四頁。由狄利克雷判別法例6的收斂性.收斂.收斂,所以解39精品PPT|借鑒參考第三十九頁，共四十四頁。由狄利克雷判別法推知另一方面，狄利克雷判別法條件,是收斂的；40精品PPT|借鑒參考第四十頁，共四十四頁。類