二重積分的計算極坐標(biāo)

*三、二重積分的換元法第二節(jié)二、利用極坐標(biāo)計算二重積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分的計算第一頁，共三十八頁。為什么引用極坐標(biāo)計算二重積分21D0y

xD1D2D3D4D:.怎么計算？需使用極坐標(biāo)系！此題用直角系算麻煩必須把D分塊兒!二、利用極坐標(biāo)計算二重積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二頁，共三十八頁。又如計算其中的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角坐標(biāo)計算.由于機動目錄上頁下頁返回結(jié)束本題解法見后面例題8還可舉例第三頁，共三十八頁。極坐標(biāo)系下的面積元素將變換到極坐標(biāo)系0D

iriri+1...

...利用極坐標(biāo)計算二重積分

i

i

i+

iI=

rir..機動目錄上頁下頁返回結(jié)束用坐標(biāo)線:

=常數(shù)；r=常數(shù)

分割區(qū)域D第四頁，共三十八頁。怎樣利用極坐標(biāo)計算二重積分(1)1.極點不在區(qū)域D的內(nèi)部0ABFE

DD:

rr第五頁，共三十八頁。0ABFE

DD:.1.極點不在區(qū)域D的內(nèi)部r第六頁，共三十八頁。0ABFE

DD:.步驟：1從D的圖形找出r,

上、下限；2

化被積函數(shù)為極坐標(biāo)形式；3面積元素dxdy化為rdrd

.1.極點不在區(qū)域D的內(nèi)部r第七頁，共三十八頁。2.極點位于區(qū)域D的內(nèi)部0

DrD:怎樣利用極坐標(biāo)計算二重積分(2)r機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共三十八頁。

D:D0.2.極點位于區(qū)域D的內(nèi)部r機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共三十八頁。

D:.D0步驟：1從D的圖形找出r,

上、下限；2

化被積函數(shù)為極坐標(biāo)形式；3面積元素dxdy化為rdrd

.2.極點位于區(qū)域D的內(nèi)部r機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共三十八頁。0y

x2a

..解例1..機動目錄上頁下頁返回結(jié)束（第一象限部分）(極點不在區(qū)域D的內(nèi)部)第十一頁，共三十八頁。此題用直角系算麻煩，需使用極坐標(biāo)系！21D0y

xD:變換到極坐標(biāo)系..

例2.計算D:

=1和

=2

圍成機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁，共三十八頁。2R區(qū)域邊界：x=0.0y

x

即

r=2Rsin

r=2Rsin

例3..機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共三十八頁。0y

x12

y=xD..

例4.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共三十八頁。PPT內(nèi)容概述*三、二重積分的換元法。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束。1。i+i。用坐標(biāo)線:=常數(shù)。r=常數(shù)分割區(qū)域D。1.極點不在區(qū)域D的內(nèi)部。1從D的圖形找出r,上、下限。3面積元素dxdy化為rdrd。2.極點位于區(qū)域D的內(nèi)部。(極點不在區(qū)域D的內(nèi)部)。D:=1和=2。r=4cos。r=8cos。x=y。y=Rx。若f≡1則可求得D的面積。思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試。問的變化范圍是什么。(極點位于區(qū)域D的內(nèi)部)。事實上,當(dāng)D為R2時,。所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.。常用D到D’的轉(zhuǎn)換。P138-1392。4(2),(4)。5(2),(4)。第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十五頁，共三十八頁。0y

x4r=4cos

r=8cos

8D

1

2例5.計算y=2xx=y機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁，共三十八頁。0y

xr=8cos

D48.r=4cos

2

1例5..計算I=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十七頁，共三十八頁。例6計算其中D

為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十八頁，共三十八頁。例7.

將積分化為極坐標(biāo)形式y(tǒng)=RxD1D2..R0y

xD...arctanR.I=I=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束r=R第十九頁，共三十八頁。若f≡1

則可求得D的面積思考:下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點,試答:

問

的變化范圍是什么?(1)(2)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(極點位于區(qū)域D的內(nèi)部)

第二十頁，共三十八頁。例8.計算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角坐標(biāo)計算.由于故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共三十八頁。注:利用例8可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,當(dāng)D為R2時,利用例8的結(jié)果,得①故①式成立.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁，共三十八頁。例9.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設(shè)由對稱性可知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共三十八頁。常用D到D’的轉(zhuǎn)換機動目錄上頁下頁返回結(jié)束極坐標(biāo)下的二次積分注釋第二十四頁，共三十八頁。作業(yè)P138-1392;3;4(2),(4);

5(2),(4);6第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十五頁，共三十八頁。定積分換元法三*、二重積分換元法

滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對應(yīng)的,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十六頁，共三十八頁。證:根據(jù)定理條件可知變換T可逆.用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個小矩形,其頂點為通過變換T,在xoy

面上得到一個四邊形,其對應(yīng)頂點為則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十七頁，共三十八頁。同理得當(dāng)h,k

充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十八頁，共三十八頁。因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十九頁，共三十八頁。例21.計算其中D是x

軸y

軸和直線所圍成的閉域.解:令則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十頁，共三十八頁。例22.計算由所圍成的閉區(qū)域D

的面積S.解:令則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十一頁，共三十八頁。例23.試計算橢球體解:由對稱性令則D的原象為的體積V.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十二頁，共三十八頁。內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十三頁，共三十八頁。則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域為在變換下機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十四頁，共三十八頁。(3)計算步驟及注意事項?畫出積分域?

選擇坐標(biāo)系?

確定積分序?

寫出積分限?計算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性應(yīng)用換元公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束