傅里葉變換的基本概念及基本定理函數(shù)

快速搶答?。?！sinc(x)d(x-1)=tri(x)d(x+0.5)=sinc(x)*d(x-1)=tri(x)*

d(x+0.5)=0sinc(x-1)1x2010.5d(x+0.5)1x0-110.5-0.5tri(x+0.5)0-0.510.5-1.5x1精品PPT·值得借鑒第一頁，共三十八頁。恩格斯(Engels)

把傅里葉的數(shù)學成就與他所推崇的哲學家黑格爾(Hegel)的辯證法相提并論.第三講二維傅里葉變換的基本概念及基本定理他寫道：傅里葉是一首數(shù)學的詩，黑格爾是一首辯證法的詩.2精品PPT·值得借鑒第二頁，共三十八頁。滿足狄氏條件的函數(shù)g(x)具有有限周期t,可以在(-,+)展為三角傅里葉級數(shù):展開系數(shù)零頻分量,基頻,諧頻,頻譜等概念，奇、偶函數(shù)的三角級數(shù)展開1、三角傅里葉級數(shù)展開3精品PPT·值得借鑒第三頁，共三十八頁。三角傅里葉展開的例子前3項的和周期為t=1的方波函數(shù)anfn頻譜圖

…

0131/22/p-2/3p4精品PPT·值得借鑒第四頁，共三十八頁。三角傅里葉展開的例子練習1-15：求函數(shù)

f(x)=rect(2x)*comb(x)

的傅里葉級數(shù)展開系數(shù)5精品PPT·值得借鑒第五頁，共三十八頁。三角傅里葉展開的例子練習0-15：求函數(shù) g(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里葉級數(shù)展開系數(shù)周期t=1寬度=1/2頻率f0=1采用指數(shù)傅里葉級數(shù)展開，可以使展開系數(shù)的表達式統(tǒng)一而簡潔。6精品PPT·值得借鑒第六頁，共三十八頁。二維傅里葉變換

——指數(shù)傅里葉級數(shù)滿足狄氏條件的函數(shù)g(x)具有有限周期t,可以在(-,+)展為指數(shù)傅里葉級數(shù):展開系數(shù)零頻分量,基頻,諧頻,頻譜等概念指數(shù)傅里葉級數(shù)和三角傅里葉級數(shù)是同一種級數(shù)的兩種表示方式，一種系數(shù)可由另一種系數(shù)導出。7精品PPT·值得借鑒第七頁，共三十八頁。二維傅里葉變換

——指數(shù)傅里葉級數(shù)思考題利用歐拉公式，證明指數(shù)傅里葉系數(shù)與三角傅里葉系數(shù)之間的關系：8精品PPT·值得借鑒第八頁，共三十八頁。二維傅里葉變換2-DFourierTransform

從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換函數(shù)(滿足狄氏條件)具有有限周期t,可以展為傅里葉級數(shù):展開系數(shù)Cn頻率為n/t的分量n級諧波頻率:n/t相鄰頻率間隔:1/t9精品PPT·值得借鑒第九頁，共三十八頁。PPT內(nèi)容概述快速搶答。精品PPT·值得借鑒。他寫道：傅里葉是一首數(shù)學的詩，黑格爾是一首辯證法的詩.。采用指數(shù)傅里葉級數(shù)展開，可以使展開系數(shù)的表達式統(tǒng)一而簡潔。指數(shù)傅里葉級數(shù)和三角傅里葉級數(shù)是同一種級數(shù)的兩種表示方式，一種系數(shù)可由另一種系數(shù)導出。利用歐拉公式，證明指數(shù)傅里葉系數(shù)與三角傅里葉系數(shù)之間的關系：。函數(shù)(滿足狄氏條件)具有有限周期t,可以展為傅里葉級數(shù):。n級諧波頻率:n/t。這就是傅里葉變換和傅里葉逆變換。為函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換,記作:。對某個可變換函數(shù)組成的系列取極限不符合狄氏條件的函數(shù),。根據(jù)廣義傅立葉變換的定義和d函數(shù)的定義:。(1-5-8)。依F.T.定義:。則極坐標下的的二維傅里葉變換定義為：。F.T.是線性變換。頻率位移:原函數(shù)在空間域的相移,導致頻譜的位移.?？臻g位移:原函數(shù)在空域中的平移,相應的頻譜函數(shù)振幅分布不變,但位相隨頻率線性改變.。交換積分順序,先對x求積分:。利用復指函數(shù)的F.T.第十頁，共三十八頁。

二維傅里葉變換2-DFourierTransform

從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換非周期函數(shù)可以看作周期為無限大的周期函數(shù):由于t→∞分立的n級諧波頻率n/t→

f,f:連續(xù)的頻率變量相鄰頻率間隔:1/t→0,寫作df,求和→積分展開系數(shù),或頻率f分量的權重,G(f),相當于分立情形的Cn11精品PPT·值得借鑒第十一頁，共三十八頁。二維傅里葉變換2-DFourierTransform

從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換寫成兩部分對稱的形式:這就是傅里葉變換和傅里葉逆變換12精品PPT·值得借鑒第十二頁，共三十八頁。二維傅里葉變換2-DFourierTransform

一、定義及存在條件函數(shù)f(x,y)在整個x-y平面上絕對可積且滿足狄氏條件(有有限個間斷點和極值點,沒有無窮大間斷點),定義函數(shù)為函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換,記作: F(fx,fy)=

{f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],

或

f(x,y)

F(fx,fy)F.T.f(x,y):原函數(shù),

F(fx,fy):像函數(shù)或頻譜函數(shù)變換核積分變換:傅里葉變換的核:exp(-j2pfx)13精品PPT·值得借鑒第十三頁，共三十八頁。二維傅里葉變換2-DFourierTransform

一、定義(續(xù))由頻譜函數(shù)求原函數(shù)的過程稱為傅里葉逆變換:f(x,y)和F(fx,fy)稱為傅里葉變換對記作: f(x,y)=

-1{F(fx,fy)}.顯然-1{f(x,y)}=f(x,y)

綜合可寫:

f(x,y)

F(fx,fy)F.T.F.T.-1x(y)

和fx

(fy

)稱為一對共軛變量,它們在不同的范疇(時空域或頻域)描述同一個物理對象.14精品PPT·值得借鑒第十四頁，共三十八頁。二維傅里葉變換2-DFourierTransform

一、定義(續(xù))描述了各頻率分量的相對幅值和相移.x,y,

fx,fy

均為實變量，F(xiàn)(fx,fy)一般是復函數(shù),F(fx,fy)=A(fx,fy)ejf(fx,fy)振幅譜位相譜F(fx,fy)是f(x,y)的頻譜函數(shù)15精品PPT·值得借鑒第十五頁，共三十八頁。傅里葉變換作為分解式

由逆變換式，可以把函數(shù)f(x,y)分解成形式為

的基元

這種基元函數(shù)具有下述性質：

(1)代表傳播方向為的單位振幅的平面波.(2)當時,

表示零位相線,其與x軸的夾角函數(shù)的線性組合，其頻譜

只不過是一個權重因子。16精品PPT·值得借鑒第十六頁，共三十八頁。(3)引入了空間頻率的概念.

沿等位相線法線方向:

綜合上述分析，逆傅里葉變換的物理意義是：物函數(shù)f(x,y)可以看成是無數(shù)振幅不同(|F(fx,fy)|dfxdfy)，方向不同(cos

=fx，cos

=fy)的平面波線性疊加的結果。此即傅里葉分解。17精品PPT·值得借鑒第十七頁，共三十八頁。圖1-5-1函數(shù)ei2

(fxx+fyy)的零位相直線族

18精品PPT·值得借鑒第十八頁，共三十八頁。二維傅里葉變換2-DFourierTransform

廣義F.T.對于某些不符合狄氏條件的函數(shù),求F.T.的方法.例:g(x,y)=1,在(-,+)不可積對某個可變換函數(shù)組成的系列取極限

不符合狄氏條件的函數(shù),函數(shù)系列變換式的極限

原來函數(shù)的廣義F.T.可定義:g(x,y)=limrect(x/t)rect(y/t)

t

則{g(x,y)}=lim{rect(x/t)rect(y/t)}

t

19精品PPT·值得借鑒第十九頁，共三十八頁。根據(jù)廣義傅立葉變換的定義和d函數(shù)的定義:

{g(x,y)}=limt2sinc(tfx)sinc(tfy)=d(fx,fy)

t

則

{rect(x/t)rect(y/t)}=t2sinc(tfx)sinc(tfy)

{1}=d(fx,fy)按照廣義變換的概念可以得出一系列特殊函數(shù)的F.T.{rect()}思考題:利用{rect(x)}=sinc(f)計算重要推論:{rect(x)}=sinc(fx) 20精品PPT·值得借鑒第二十頁，共三十八頁。例1：求解:計算過程分為三個步驟：顯然有：

(1)選擇適當?shù)暮瘮?shù)序列例如(1-5--6)21精品PPT·值得借鑒第二十一頁，共三十八頁。(3)求極限:

上式就是符號函數(shù)的廣義傅里葉變換.(1-5-7)(2)求變換:22精品PPT·值得借鑒第二十二頁，共三十八頁。例2：求解:(1)選擇適當?shù)暮瘮?shù)序列例如選取顯然有：(2)求變換(1-5-8)23精品PPT·值得借鑒第二十三頁，共三十八頁。令并利用積分公式;容易求得:(3)求極限:

由上式取極限最后得到24精品PPT·值得借鑒第二十四頁，共三十八頁。二、極坐標下的二維傅里葉變換和傅里葉-貝塞爾變換

特別適合于圓對稱函數(shù)的F.T.

依F.T.定義:

極坐標變換25精品PPT·值得借鑒第二十五頁，共三十八頁。令:

則在極坐標中:則極坐標下的的二維傅里葉變換定義為：§1-7二維傅里葉變換2-DFourierTransform

極坐標下的二維傅里葉變換26精品PPT·值得借鑒第二十六頁，共三十八頁。二維傅里葉變換2-DFourierTransform

傅里葉-貝塞爾變換圓對稱函數(shù)的F.T.仍是圓對稱函數(shù),稱為F-B(傅-貝)變換,記為G(r)={g(r)},g(r)=-1{G(r)}

當f具有園對稱性，即僅是半徑r的函數(shù):f(x,y)=g(r,q)=g

(r).依F.T.定義:利用貝塞爾函數(shù)關系27精品PPT·值得借鑒第二十七頁，共三十八頁。二維傅里葉變換

2-DFourierTransform

傅里葉-貝塞爾變換

例:利用F-B變換求圓域函數(shù)的F.T.定義: 是圓對稱函數(shù)作變量替換,令r’=2prr,并利用:28精品PPT·值得借鑒第二十八頁，共三十八頁。

將頻譜函數(shù)G(f)分別寫成實部(余弦變換)和虛部(正弦變換),然后根據(jù)g(x)的虛、實、奇、偶性質討論頻譜的相應性質.注意:并非實函數(shù)的頻譜一定是實函數(shù).只有厄米函數(shù)(實部為偶函數(shù),虛部為奇函數(shù))的頻譜才一定是實函數(shù).例:rect(x)(實、偶)sinc(fx)(實、偶)F.T.但是,rect(x-1)(實、非偶)復函數(shù)F.T.二維傅里葉變換

2-DFourierTransform三.虛、實、奇、偶函數(shù)的F.T.29精品PPT·值得借鑒第二十九頁，共三十八頁。二、F.T.定理--F.T.的基本性質1.線性定理Linearity

設g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.2.空間縮放Scaling(相似性定理）{ag(x,y)+b

h(x,y)}=aG(fx,fy)+b

H(fx,fy)F.T.是線性變換30精品PPT·值得借鑒第三十頁，共三十八頁。二、F.T.定理空間縮放注意空域坐標(x,y)的擴展(a,b<1),導致頻域中坐標(fx,fy)的壓縮及頻譜幅度的變化.反之亦然.g(x)x01/2-1/21g(ax)a=2x01/4-1/41fG(f)01-11f02-21/2空域壓縮F.T.F.T.頻域擴展31精品PPT·值得借鑒第三十一頁，共三十八頁。二、F.T.定理3.位移定理Shifting

{g(x-a,y-b)}=

G(fx,fy)exp[-j2p(fxa+fyb)]

設g(x,y)

G(fx,fy),

F.T.頻率位移:原函數(shù)在空間域的相移,導致頻譜的位移.{g(x,y)exp[j2p(fax+fby)]}=G(fx-

fa,fy-fb)空間位移:原函數(shù)在空域中的平移,相應的頻譜函數(shù)振幅分布不變,但位相隨頻率線性改變.推論:由{1}=d(fx,fy){exp[j2p(fax+fby)]}=d(fx-

fa,fy-fb)復指函數(shù)的F.T.是移位的d函數(shù)32精品PPT·值得借鑒第三十二頁，共三十八頁。二、F.T.定理4.帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓,則∫|g(x)|2dx

代表信號的總能量(或總功率)|G(f)|2代表能量(功率)的譜密度(單位頻率間隔的能量或功率)

設g(x,y)

G(fx,fy),

F.T.Parseval定理說明,信號的能量由|G(f)|2曲線下面積給出.或者說等于各頻率分量的能量之和—能量守恒33精品PPT·值得借鑒第三十三頁，共三十八頁。二、F.T.