矩形折疊問(wèn)題

關(guān)于矩形折疊問(wèn)題一、什么是折疊二、與折疊有關(guān)的問(wèn)題第2頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天一.

折疊的意義1．折疊就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180o，使它與另一部分在這條直線的同旁，與其重疊或不重疊.顯然，“折”是過(guò)程，“疊”是結(jié)果;

第3頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABOB?l圖1如圖（1）是線段AB沿直線l折疊后的圖形，其中OBˊ是OB在折疊前的位置；

OBˊ=OB；

第4頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

圖（2）是平行四邊形ABCD沿著對(duì)角線AC折疊后的圖形，△ABC是△ABˊC在折疊前的位置，它們的重疊部分是三角形EAC；

△ABˊC≌△ABCAB′DB圖2CE第5頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.

圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的形狀、大小不變，是全等形;3.圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的位置關(guān)于折痕成軸對(duì)稱(chēng).第6頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、和折疊有關(guān)的問(wèn)題第7頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天問(wèn)題1.如圖，將寬度為a的長(zhǎng)方形紙片折疊成如圖所示的形狀，觀察折疊后重疊部分三角形A

EFFEAˊ

a這是一個(gè)什么三角形?第8頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天FEAˊ

a

三角形A

EF是等腰三角形123證明（方法一）∵圖形在折疊前和折疊后是全等的,

∴∠1=∠2,又∵矩形的對(duì)邊是平行的,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴

A

E=A

F

∴三角形A

EF是等腰三角形第9頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天FEAˊ

a∴

三角形A

EF是等腰三角形證明：（方法二）∵圖形在折疊前和折疊后的形狀、大小不變，只是位置不同。∴表示矩形寬度的線段EP和FQ相等,即?A

EF的邊

A

E和A

F上的高相等，∴A

E=A

FPQ第10頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題：改變折疊的角度α的大小，三角形A

EF的面積是否會(huì)改變？為什么?

αAˊEFα的改變影響了A

E的長(zhǎng)度，但卻不能改變邊A

E上的高，三角形A

EF的面積會(huì)隨著α的確定而確定.第11頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.如圖，標(biāo)出點(diǎn)A

在折疊前對(duì)應(yīng)的位置A,問(wèn):四邊形AEA

F是什么四邊形?

證明你的發(fā)現(xiàn).答:四邊形AEA

F是菱形.

FEAˊA第12頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、矩形折疊給我們帶來(lái)哪些信息？2、證明四邊形是菱形通常有哪些方法？第13頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天FEAˊA∵

A是A

在折疊前對(duì)應(yīng)的位置,∴A和A

關(guān)于直線EF軸對(duì)稱(chēng)

,∴AA

⊥EF,且AO=A

O,又∵AE∥A

F,∴EO∶OF=AO∶OA

,

∴EO=OF，∴AA

與EF互相垂直平分O證明:（方法一）∴四邊形AEA

F是菱形.第14頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

A是A

在折疊前對(duì)應(yīng)的位置,∴?AEF≌?A

EF,AE=A

E,AF=A

F，又∵?AEF是等腰三角形,A

E=A

F（已證）,∴AE=AF=A

E=A

F,

∴四邊形AEA

F是菱形.

(方法二)證明:FEAˊA第15頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2在前面的思考題中,若翻折的角度α=30o,a=2.求四邊形AEA

F的面積.A

FEA30o30o30o30oQ2S四邊形AEA

F=a分析：圖中被覆蓋的部分△AˊEF是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形的寬度2,所以，本題的解題關(guān)鍵就是要求出腰AˊF(AˊE)的長(zhǎng)。

第16頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3：如圖,將矩形ABCD折疊,使B點(diǎn)落在MN上,落點(diǎn)為P.已知M、N分別為CD、AB的中點(diǎn),且AB=,求折痕AE的長(zhǎng).分析:AE是直角三角形ABE的斜邊，解決本題的關(guān)鍵是求PE(或BE)的長(zhǎng)P第17頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天解法一∵

M、N分別是矩形的邊AB和CD的中點(diǎn)，P∴MN∥AD∥BC∴MN⊥AN且AN是AB的一半

又AP=AB.

∴AN是AP的一半∴∠PAN=60°,∠PAE=∠BAE=30°∴AEcos30°=,∴AE=2.

第18頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天解法二：延長(zhǎng)EP交AD與F則FE=FA(已證)F231P∵M(jìn)、N分別是矩形的邊AB和CD的中點(diǎn)，∴MN∥AD∥BC∴EP∶PF=BN∶NA=1∶1，又∠APE=∠B=90?,∴AE=AF∴AE=AF=EF,∴∠1=∠2=30?,∴AE=2.∵AP=第19頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天解法二：連結(jié)PB,F231P∵M(jìn)、N分別是矩形的邊AB和CD的中點(diǎn)，∴MN∥AD∥BC∴PN垂直平分AB，∴PB=PA,又PA=BA，∴PA=BA=AB.∴∠2+∠3=60?,∴∠2=∠3=30?,∴AE=2.∵AP=第20頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天解法三：F231PO又FE=FA(問(wèn)題1的結(jié)論)∴AE=AF=EF∴∠EAF=60°,∠1=∠2=30°,∠3=30°∴AE=2.

由BC//MN//DA且M、N分別為CD和AB的中點(diǎn)可得EP=PF，EO=AO∴PO=AF，又∠EPF=90°

∴PO=AE，∴AE=AF，第21頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天xF例4

在例3中,若M、N分別為CD、AB的三等份點(diǎn),AB=,求PE和AE的長(zhǎng).

P

A

C

B

D

EMN分析：本題與上一題略有不同，MN由原來(lái)的二等分線變?yōu)槿确志€，其他條件不變。所以本題的解題關(guān)鍵還是求出EB(或EP)的長(zhǎng)

第22頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天x2x3xF

P

A

C

B

D

EMN解：延長(zhǎng)EP交AD于F,則FE=FA(已證)∵M(jìn)、N分別是矩形的邊AB和CD的三等分點(diǎn)，∴MN∥AD∥BC,∴EP∶PF=BN∶NA=1∶2,設(shè)EP=x,則PF=2x,AF=EF=3x,在Rt?APF中有AP2+PF2=AF2,∴5+(2x)2=(3x)2,∴x=1,PE=1∴AE2=1+5=6∴AE=,第23頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題：如上題中M、N為四等分或五等分點(diǎn)，其它條件不變你還能求出折痕的長(zhǎng)嗎？第24頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例5如圖：將正方形ABCD對(duì)折，折痕為MN，再沿AE折疊，把B點(diǎn)疊在MN上（圖中的P）,若AB=3,(1)求PM的長(zhǎng)；(2)以PE為邊長(zhǎng)的正方形的面積.分析：將本題與例題3比較，不難看出它們的共同之處，顯然，解決本題的關(guān)鍵是求PE和PN的長(zhǎng)。

EDCNMBAP33第25頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天EDCNMBAP解:(1)M、N分別是正方形的邊AB和CD的中點(diǎn)，∴MN∥AD∥BC,∴MN⊥AN且AN=AB又AP=AB.∴AN=AP∴∠APN=30°,PN=AN=∴PM=3-(2)∵∠APN=30°,∴∠PAN=60°

∠EAB=∠EAP=30°,∴EP=BE=,∴以EP為邊長(zhǎng)的正方形的面積為3.第26頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例6

如圖，將矩形ABCD折疊，使C點(diǎn)落在邊AB上，（如圖所示），若AB=10,BC=6,求四邊形CNMD的面積。分析：本題與上一題區(qū)別在于點(diǎn)C折疊后落在矩形的邊AB上，ΔACN和ΔAMN是全等的，所以，求四邊形CNMD的面積可以轉(zhuǎn)化為求ΔDCN或ΔDMN的面積，所以本題的解題關(guān)鍵還是求出NC(或BN)的長(zhǎng).

第27頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天解:在直角三角形ADM中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2.設(shè)NC=x,則MN=x,BN=6-x,在Rt△BMN中，MN2=BN2+BM2∴x2=（6-x）2+4∴x=S四邊形CNMD=2S△DCN==第28頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天解法二：由折疊的意義可知∠

DMN=∠C=90°∠DMA+∠NMB=90°∠A=∠C=90°,∴?DMA∽ΔMNB，∴

6∶8=2∶(6-x),∴x=S四邊形CNMD=2S△DCN==第29頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7:

將長(zhǎng)為8，寬為6的矩形ABCD折疊,使B、D重合，1.求折痕EF的長(zhǎng)。2.求?DEF的面積。EF分析：由矩形折疊的意義可知，EF垂直平分BD（O為BD的中點(diǎn)),由AB//DC可得EO:FO=BO:DO=1:1,∴O為EF的中點(diǎn)，所以可設(shè)法先求出EO的長(zhǎng)，或直接求EF的長(zhǎng),進(jìn)而求?DEF面積。

O第30頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天解（法一）：∵D、B關(guān)于EF成軸對(duì)稱(chēng)∴EF垂直平分DB，又DC⊥CB,∴△DOE∽△DCB在Rt△DCB中，由勾股定理可得BD=10

∴DO=5,又AB//DC,∴EO:OF=DO:OB=1:1,(1)由△DOE∽△DCB得DO:DC=DE:BC∴EO:6=5:8∴EO=,∴EF=(2)S△DEF=EF·DO=××5=

ABCDQPEFO第31頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天EFOP解法二：(1)過(guò)C作CP//EF，交AB于P,∵EF⊥DB∴CP⊥DB易得△CBP∽△DCB∴CP:BD=CB:DC∴,∴EF=(2)S△DEF=EF·DO=××5=

第32頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天EFOP設(shè)BF=x則FD=DE=x，AF=8-x,在Rt△ADF中，

AF2=AD2+DF2

∴(8-x)2+62=x2

∴x=(2)S△DEF=××6