若干數(shù)學(xué)觀點中的數(shù)學(xué)文化

關(guān)于若干數(shù)學(xué)觀點中的數(shù)學(xué)文化12

一、我們身邊的對稱

人體雪花鼠標第2頁,共45頁，2024年2月25日，星期天3數(shù)學(xué)公式中的對稱海倫公式其中

正弦定理對稱多項式第3頁,共45頁，2024年2月25日，星期天4對稱照鏡子夫妻

比賽循環(huán)賽足球

非對稱照哈哈鏡父子比賽淘汰制非對稱戰(zhàn)爭其它的一些例子第4頁,共45頁，2024年2月25日，星期天5阿拉伯建筑物的外墻

美國哈佛大學(xué)曾發(fā)表一份研究報告稱，伊斯蘭世界對數(shù)學(xué)有過重要貢獻。研究人員認為，中世紀伊斯蘭世界的外墻磚設(shè)計圖案說明它們的設(shè)計者掌握了西方世界500年后才掌握的數(shù)學(xué)概念。

第5頁,共45頁，2024年2月25日，星期天6文學(xué)中的對仗

上聯(lián)對下聯(lián)：明月-->清泉自然景物明--》清（形容詞）；月--》泉（名詞）明月松間照清泉石上流第6頁,共45頁，2024年2月25日，星期天7碳富勒烯第7頁,共45頁，2024年2月25日，星期天8作為多面體的足球

亞正多面體中的一種——足球多面體，它的側(cè)面由正五邊形和正六邊形組成。第8頁,共45頁，2024年2月25日，星期天9碳富勒烯介紹：

碳富勒烯，即籠狀的碳原子團簇，是一類新的有機化學(xué)物種。由于它具有特殊的分子構(gòu)型以及量子尺寸效應(yīng)，因而表現(xiàn)出了異常高的化學(xué)活性、催化活性，以及奇特的導(dǎo)電性，在化工、光電材料等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。第9頁,共45頁，2024年2月25日，星期天101985，一位來自英國的天文學(xué)家克魯托（H.W.Kroto），和兩位美國物理學(xué)家斯莫利（R.E.Smalley），柯爾（R.F.Curl）走進美國賴斯大學(xué)化學(xué)實驗室，希望能探討宇宙中長鏈碳分子的形成和光譜。在他們短短幾個星期的合作過程中意外地發(fā)現(xiàn)（9月4日）：在強烈的激光脈沖輻照下產(chǎn)生的碳團簇中，C60具有超常的穩(wěn)定性。他們并不知道化學(xué)的理論游戲C60，所以這樣的實驗結(jié)果讓他們一籌莫展。后來受著名建筑學(xué)家B·富勒最牢固的薄殼拱形結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，他們最終才為其設(shè)想了一種與上述理論結(jié)果不謀而合的球形結(jié)構(gòu)，并將C60命名為富勒烯。當他們滿懷喜悅向數(shù)學(xué)家們請教時，得到的回答卻是“……孩子們，你們所發(fā)現(xiàn)的，就是一個足球?。　?。一經(jīng)別人點破，他們也詫異地發(fā)現(xiàn)他們所醉心的最完美、最對稱的分子結(jié)構(gòu)竟然是一個簡單得讓人哭笑不得的常識。一個現(xiàn)代足球正是由20塊白色的六邊形球皮和12塊黑色的五邊形球皮縫成的。在足球上你恰好可以數(shù)出60個頂點。他們的努力是制造了一個全碳分子的、世界上最小的、最精致的“足球”！由此，這三位科學(xué)家因其天才式的開創(chuàng)性工作共享了1996年度諾貝爾化學(xué)獎。

富勒烯的發(fā)現(xiàn)第10頁,共45頁，2024年2月25日，星期天11克魯托(H.W.Kroto,1939-)1996年諾貝爾化學(xué)獎得主斯莫利(R.E.Smalley,1943-2005)第11頁,共45頁，2024年2月25日，星期天12

柯爾（RobertF.CurlJr.）的自傳

我1933年8月23日出生在美國德州的Alice.我的父親是一個衛(wèi)理公會的牧師,母親是家庭主婦.我有一個姐姐,她叫瑪麗.在過去,衛(wèi)理公會的牧師游動頻繁,因此我的孩提時代的大部分時間在德州南部的一個又一個的小鎮(zhèn)中度過:Alice,Brady,SanAntonio,Kingsville,DelRio,Brownsville,McAllen,Austin,然后又回到SanAntonio.在此期間教會管理層漸漸認識到我父親具有組織群眾活動及解決沖突方面的管理才能.所以從我九歲起我父親就不再當教會牧師,而成了一名地區(qū)教會活動的主管.這就將我解脫了,使我有時間擔當“兒童傳道士”并成為人們關(guān)注的中心……1996年諾貝爾化學(xué)獎得主第12頁,共45頁，2024年2月25日，星期天13RichardBuckminsterFuller(1895-1983)

建筑學(xué)家富勒富勒(R.B.Fuller)，美國建筑學(xué)家。1967年蒙特利爾世界博覽會的美國館由他設(shè)計。富勒的結(jié)構(gòu)設(shè)計思想被稱之為綜合主義。綜合主義是表示將結(jié)構(gòu)單位組合起來，以承受更大的結(jié)構(gòu)力量；結(jié)構(gòu)單位組合后承受的力量比結(jié)構(gòu)單位分立所能承受的力量大。這原理被富勒用于建筑設(shè)計，蒙特利爾世界博覽會的美國館即是這一綜合主義的代表作品。

第13頁,共45頁，2024年2月25日，星期天14

那么，什么是“對稱”的共性？

什么是“對稱”的本質(zhì)？如何用數(shù)學(xué)語言描述“對稱”？

“對稱即群”第14頁,共45頁，2024年2月25日，星期天15

二、平面圖形的對稱

問：正三角形與正方形誰“更”對稱一些？第15頁,共45頁，2024年2月25日，星期天161.在運動中看“對稱”

可以把“平面圖形的對稱”——軸對稱、n次中心對稱、平移對稱中用到的運動分為三類：

反射

旋轉(zhuǎn)

平移第16頁,共45頁，2024年2月25日，星期天17

2從不變性看“對稱”

這些運動都是變換；這些變換共同的特點是，都保持平面上任意兩點間的距離不變。所以，把反射、旋轉(zhuǎn)、平移，以及它們的相繼實施，統(tǒng)稱為“保距變換”。

（有意避開“滑動反射”，含于“相繼實施”中）第17頁,共45頁，2024年2月25日，星期天18

變中有不變

注意，在上述“保距變換”的定義下,“不動”也是一種“保距變換”,它可以看成旋轉(zhuǎn)0o的“保距變換”,也可以看成平移a=0的“保距變換”.這樣，任何平面圖形都會在某種“保距變換”下不變,因為它至少在“不動”下不變.如果一種平面圖形（例如一般三角形）只在“不動”這種“保距變換”下才不變,那么我們就認為該平面圖形的對稱性最差,或者干脆說它“不對稱”.

第18頁,共45頁，2024年2月25日，星期天19由這一觀點自然的延伸,就可以想到描述平面圖形對稱性強弱的一種量化的方法.這就是把所有使某平面圖形K不變的“保距變換”放在一起,構(gòu)成一個集合,記為S(K)

并稱其為K的對稱集.第19頁,共45頁，2024年2月25日，星期天203.

抽象觀點與具體例子的對照第20頁,共45頁，2024年2月25日，星期天21正三角形與正方形誰更對稱一些？答：正方形比正三角形更對稱一些。

第21頁,共45頁，2024年2月25日，星期天22

4.

小結(jié)

從“對稱”的現(xiàn)象，到發(fā)現(xiàn)“變中有不變”的本質(zhì)，再提出“保距變換”；把保持圖形K不變的“保距變換”放到一起，構(gòu)成一個集合，稱之為“K

的對稱集”，用它來描述K的對稱性；最后，我們把其中元素的個數(shù)，作為衡量平面圖形的對稱性強弱的一個量化指標。然后，再對照例子，驗證我們的理論。

“從實踐中來，又到實踐中去”反觀前面關(guān)于“對稱”的例子。第22頁,共45頁，2024年2月25日，星期天23

我們身邊的對稱

人體雪花鼠標第23頁,共45頁，2024年2月25日，星期天24數(shù)學(xué)公式中的對稱海倫公式其中

正弦定理對稱多項式第24頁,共45頁，2024年2月25日，星期天25對稱照鏡子夫妻

比賽循環(huán)賽足球

非對稱照哈哈鏡父子比賽淘汰制非對稱戰(zhàn)爭其它的一些例子第25頁,共45頁，2024年2月25日，星期天26文學(xué)中的對仗

上聯(lián)對下聯(lián)：明月-->清泉自然景物明--》清（形容詞）；月--》泉（名詞）明月松間照清泉石上流第26頁,共45頁，2024年2月25日，星期天27作為多面體的足球亞正多面體中的一種——足球多面體，它的側(cè)面由正五邊形和正六邊形組成。第27頁,共45頁，2024年2月25日，星期天28[思

]：請你用運動的觀點，“變中有不變”的語言，敘述氯化鈉和金剛石分子結(jié)構(gòu)的對稱性。第28頁,共45頁，2024年2月25日，星期天29

三、子集的對稱把討論“平面圖形的對稱”

中形成的數(shù)學(xué)思想提煉出來，用“子集的對稱”的語言來統(tǒng)一地描述任一客觀事物的“對稱”。第29頁,共45頁，2024年2月25日，星期天30任一客觀事物都可以看作某一個集合M的子集

MN第30頁,共45頁，2024年2月25日，星期天311.集合上的可逆變換

設(shè)M是一個集合，則M到自身的一個映射稱為“M上的一個變換”；M到自身的一個可逆映射稱為“M上的一個可逆變換”。

第31頁,共45頁，2024年2月25日，星期天322.子集的對稱MN考慮M上的有特點的可逆變換第32頁,共45頁，2024年2月25日，星期天33

變中有不變，“變”,是指集合M上有特點的一些可逆變換,每個可逆變換都“改變”了集合M中的元素和子集.這里的“不變”,是指對于M的一個具體的子集N,有些在整體上保持N不變,即稱這樣的為“N的對稱變換”.把所有這樣的“對稱變換”放到一起,構(gòu)成一個集合,記為稱為“N的對稱集”，用來描述N的對稱性。與對照，基本精神是一致的。第33頁,共45頁，2024年2月25日，星期天34

3.小結(jié)

這里用大量篇幅，從特殊到一般，把“對稱”的本質(zhì)抽象出來，定義了數(shù)學(xué)意義上的對稱；又從一般到特殊，用抽象觀點來返觀客觀實際中“對稱”的例子，看到抽象觀點與感性認識是吻合的。所以說，抽象來源于直觀，高于直觀，而且能反映直觀，指導(dǎo)直觀，并通過直觀來檢驗。這是一種數(shù)學(xué)方式的理性思維。這一點在哲學(xué)上的敘述為：理論來源于實踐，高于實踐，而且能反映實踐，指導(dǎo)實踐，并通過實踐來檢驗。第34頁,共45頁，2024年2月25日，星期天35

四、對稱變換群

上面把“對稱”這一概念，用集合及變換的語言嚴格敘述出來了，并由此給出了“子集N的對稱變換”和“子集N的對稱集”的概念，并用它們來描述N的對稱性。第35頁,共45頁，2024年2月25日，星期天36

子集的對稱集，不是一個普通的集合，而是一個具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合。它的結(jié)構(gòu)表現(xiàn)在：中有運算，即S(N)中任意兩個元素的相繼作用，記為；運算還有規(guī)律，這些規(guī)律如下：

第36頁,共45頁，2024年2月25日，星期天37①S(N)中任意兩個元素,相繼作用的結(jié)果仍保持N整體不變，故仍在S(N)中,稱之為S(N)中的運算滿足封閉律(一般說“運算”,就隱含封閉,為強調(diào),單列一條)；②S(N)中任意三個元素，，的運算，是先做的運算還是先做的運算，效果是一樣的，即（）=(),稱之為S(N)中的運算滿足結(jié)合律；第37頁,共45頁，2024年2月25日，星期天38③S(N)中總有一個特殊的元素即恒等變換，它如同數(shù)的乘法中的1，與任何元素作運算都保持該元素不變，稱之為S(N)中的運算滿足幺元律；④對S(N)中任一元素，S(N)中一定有一個元素，使與相繼作用的效果，恰相當于③中的恒等變換，即不動，稱為的逆元，這稱為S(N)中的運算滿足逆元律。N的對稱集S(N)

叫作“N的對稱變換群”?！皩ΨQ即群”第38頁,共45頁，2024年2月25日，星期天39五、群的定義定義設(shè)G是一個帶有運算“”的非空集合，且其中的運算滿足以下四個條件，則稱{G；}是一個群②結(jié)合律

有①封閉律有③幺元律存在使，有，稱為幺元；④逆元律

，存在，使稱b為a的逆元。

群{G；}