矩形截面桿、薄壁桿的扭轉

關于矩形截面桿、薄壁桿的扭轉矩形截面桿的扭轉柱形桿截面的扭轉應力函數(shù)F(x,y)要滿足的條件：1、泊松方程：

(在柱形桿橫截面所組成區(qū)域R內)。2、邊界條件：

（在橫截面的周界C上）。對于矩形截面桿件的扭轉問題，能否像橢圓截面桿件扭轉問題一樣假設扭轉應力函數(shù)為其橫截面的周界方程？顯然這個應力函數(shù)雖然滿足邊界條件，但不滿足泊松方程。由于根據(jù)邊界條件難以直接確定滿足基本方程的扭轉應力函數(shù)，因此首先簡化扭轉問題的基本方程。答：不能。假設扭轉應力函數(shù)為第2頁,共27頁，2024年2月25日，星期天一狹長矩形截面桿的扭轉

設矩形截面的邊長為a和b。若a/b的值很大

(圖1示)，則稱為狹長矩形。由薄膜比擬法可以推斷，應力函數(shù)F在橫截面的絕大部分上幾乎與坐標x無關，于是有yaxbo則

變?yōu)槌Ｎ⒎址匠虉D1

第3頁,共27頁，2024年2月25日，星期天而邊界條件為此時,方程的解為代入于是得(1-1)(1-2)(1-3)第4頁,共27頁，2024年2月25日，星期天由式(1-1)求得應力分量(1-4)

這個應力表達式除在狹長矩形截面的短邊附近外,對截面的大部分區(qū)域都是正確的。由薄膜比擬法可知，最大剪應力發(fā)生在矩形截面的長邊上，即，其大小為(1-5)第5頁,共27頁，2024年2月25日，星期天二任意邊長比的矩形截面桿的扭轉

在狹長矩形截面扭桿應力函數(shù)(1-1)的基礎上，加上修正項F1，即(1-6)函數(shù)F應滿足方程，將式(1-6)代入，得到F1滿足方程(1-7)另外，應力函數(shù)F在矩形截面的邊界處滿足如下邊界條件(1-8)第6頁,共27頁，2024年2月25日，星期天所以，修正函數(shù)F1的邊界條件為(1-9)設(1-10)將(1-10)代入(1-7)中，有由此得方程(1-11)(1-12)(1-13)其中，為任意常數(shù)。第7頁,共27頁，2024年2月25日，星期天解之得方程(1-12)和(1-13)的通解

根據(jù)薄膜比擬法，應力函數(shù)為坐標x和y的偶函數(shù)。所以(1-14)由邊界條件(1-9)的第二式得(1-15)由此第8頁,共27頁，2024年2月25日，星期天代入式(1-15),并作如下級數(shù)由邊界條件(1-9)的第一式,確定其中的系數(shù)An等式兩邊同時乘以，并在區(qū)間(-b/2,b/2)積分,得代入式(1-16),得(1-16)第9頁,共27頁，2024年2月25日，星期天得到應力函數(shù)(1-17)由式(1-2),可求得由此得(1-18)(1-19)第10頁,共27頁，2024年2月25日，星期天由薄膜比擬可以推斷，最大剪應力發(fā)生在矩形截面長邊的中點,其值為(2-20)將式(1-19)和式(1-20)分別寫成(2-21)(2-22)第11頁,共27頁，2024年2月25日，星期天其中

和都是僅與比值

有關的參數(shù)，這兩個因子通過計算可以表示如下：

由表可見，對于很狹長矩形截面的扭桿，很大，則和都趨近于1/3,這時式(2-21)和(2-22)分別簡化為式(1-3)和(1-5)。圖2第12頁,共27頁，2024年2月25日，星期天薄壁桿的扭轉

實際工程上經(jīng)常遇到開口薄壁桿件，例如角鋼、槽鋼、工字鋼等，這些薄壁件其橫截面大都是由等寬的狹長矩形組成。無論是直的還是曲的，根據(jù)薄膜比擬，只要狹長矩形具有相同的長度和寬度，則兩個扭桿的扭矩及其橫截面剪應力沒有多大差別。一開口薄壁桿件的扭轉圖3a1a2a1a1

a3a2a1

a3第13頁,共27頁，2024年2月25日，星期天

設及分別表示扭桿橫截面的第i個狹矩形的長度和寬度，Ti表示該矩形截面上承受的扭矩，T表示整個橫截面上的扭矩，

i代表該矩形長邊中點附近的剪應力，

為單位長度扭轉角。則由狹長矩形的結果，得(2-1)(2-2)由式(2-1)得(2-3)這個橫截面上的扭轉為(2-4)第14頁,共27頁，2024年2月25日，星期天由式(2-3)和式(2-4)消去,得代回式(2-3)和式(2-4),我們得到值得注意的是：由上述公式給出的狹矩形長邊中點的剪應力已相當精確，然而，由于應力集中的存在，兩個狹矩形的連接處，可能存在遠大于此的局部剪應力。(2-5)(2-6)第15頁,共27頁，2024年2月25日，星期天1TTT(2-6)圖4(2-6)4第16頁,共27頁，2024年2月25日，星期天(2-6)(2-6)TTT第17頁,共27頁，2024年2月25日，星期天二閉口薄壁桿件的扭轉對于閉口薄壁桿件的扭轉問題，可以通過薄膜比擬法求得近似解答。如圖5所示，假想在薄桿橫截面的外邊界上張一張膜，保證薄膜外邊界的垂度為零，內邊界處的垂度為常量。由于桿壁厚度很小，所以沿壁的厚度方向薄膜的斜率可視為常量。于是，在桿壁的厚度處，剪應力的大小應等于薄膜的斜率，即設外邊界所包圍面積的平均值（即薄壁桿件截面中線所包圍的面積）為A，于是有(2-7)(2-8)其中，h為桿壁厚度薄膜的垂度。圖5第18頁,共27頁，2024年2月25日，星期天由此得代入式（2-7）得可見，剪應力與桿壁的厚度成反比，最大的剪應力發(fā)生在桿壁最薄處。為了求出單位長度扭轉角，先求出桿橫截面中心線上的應力環(huán)量，以A表示中心線所包圍的面積，于是有(2-9)第19頁,共27頁，2024年2月25日，星期天(2-10)得如果桿壁為等厚度的，則其中，s為桿截面中心線的長度。若閉口的薄壁桿有凹角在凹角處有可能發(fā)生高度的應力集中現(xiàn)象。比值和之間的關系，如圖6所示。其中為圓角半徑。圖6

第20頁,共27頁，2024年2月25日，星期天對于薄壁桿的橫截面有兩個孔的多連通域情況，如圖7所示，由于桿壁厚都很小，于是有其中，h1和h2表示薄膜內邊界s1和s2的高度。(2-11)圖7第21頁,共27頁，2024年2月25日，星期天再分別對兩根中心閉合線ACBA和ABDA求應力環(huán)量，有(2-13)求得扭矩也可以表示為(2-12)第22頁,共27頁，2024年2月25日，星期天若、為常數(shù)，則式（2-13）可變?yōu)榍蟮?2-14)(2-15)(2-16)第23頁,共27頁，2024年2月25日，星期天例2

兩個截面完全相同的變厚度薄壁桿如圖8所示，其中（a）為閉口，（b）為開口，試分析兩桿件在抗扭轉剛度和最大剪應力方面的特點。解（1）開口薄壁桿由式(2-6),得單位長度扭轉角：截面扭轉剛度：剪應力：最大剪應力：最大剪切力發(fā)生在寬度最大處。(a)(b)圖8第24頁,共27頁，2024年2月25日，星期天由式(2-10),得單位長度扭轉角：截面扭轉剛度：（2）閉口薄壁桿剪切力：最大剪切力：最