空間問題的基本理論

關(guān)于空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論在空間問題中，應力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個，且均為x,y,z的函數(shù)?？臻g問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。第2頁,共69頁，2024年2月25日，星期天取出微小的平行六面體，考慮其平衡條件:(a)(b)平衡條件§7-1平微分方程第3頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第4頁,共69頁，2024年2月25日，星期天由x軸向投影的平衡微分方程

,

平衡微分方程得因x,y,z軸互相垂直，均為定向，量綱均為L，所以x,y,z坐標具有對等性，其方程也必然具有對等性。所以式(a)的其余兩式可通過式(c)的坐標輪換得到。第5頁,共69頁，2024年2月25日，星期天由三個力矩方程得到三個切應力互等定理，，。(x,y,z)(d)空間問題的平衡微分方程精確到三階微量平衡微分方程第6頁,共69頁，2024年2月25日，星期天思考題在圖中，若點o的x向正應力分量為，試表示點A,B的正應力分量。第7頁,共69頁，2024年2月25日，星期天在空間問題中，同樣需要解決：由直角坐標的應力分量……，來求出斜面(法線

）上的應力。斜面應力§7-2物體內(nèi)任一點的應力第8頁,共69頁，2024年2月25日，星期天斜面全應力p可表示為兩種分量形式：p沿坐標向分量:p沿法向和切向分量:斜面應力第9頁,共69頁，2024年2月25日，星期天取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds,則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。由四面體的平衡條件，得出坐標向的應力分量,1.求第10頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共69頁，2024年2月25日，星期天2.求將向法向投影，即得第12頁,共69頁，2024年2月25日，星期天從式(b)、(c)可見,當六個坐標面上的應力分量確定之后，任一斜面上的應力也就完全確定了。第13頁,共69頁，2024年2月25日，星期天設(shè)在邊界上，給定了面力分量則可將微分四面體移動到邊界點上，并使斜面與邊界重合。這時，斜面應力分量應代之為面力分量，從而得出空間問題的應力邊界條件:3.在上的應力邊界條件應力邊界條件第14頁,共69頁，2024年2月25日，星期天式(b),(c)用于V內(nèi)任一點，表示斜面應力與坐標面應力之間的關(guān)系；注意:

式(d)只用于邊界點上，表示邊界面上的面力與坐標面的應力之間的關(guān)系，所以必須將邊界面方程代入式(d)。第15頁,共69頁，2024年2月25日，星期天1.假設(shè)面(l,m,n)為主面，則此斜面上斜面上沿坐標向的應力分量為

代入,得到斜面應力§7-3主應力最大與最小的應力第16頁,共69頁，2024年2月25日，星期天考慮方向余弦關(guān)系式,有式(a),(b)是求主應力及其方向余弦的方程。(b)第17頁,共69頁，2024年2月25日，星期天2.求主應力將式(a)改寫為求主應力第18頁,共69頁，2024年2月25日，星期天上式是求解l,m,n的齊次代數(shù)方程。由于l,m,n不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得展開，即得求主應力的方程,求主應力第19頁,共69頁，2024年2月25日，星期天(c)求主應力第20頁,共69頁，2024年2月25日，星期天3.應力主向設(shè)主應力的主向為。代入式(a)中的前兩式，整理后得應力主向第21頁,共69頁，2024年2月25日，星期天由上兩式解出。然后由式(b)得出應力主向再求出及。第22頁,共69頁，2024年2月25日，星期天4.一點至少存在著三個互相垂直的主應力（證明見書上）。第23頁,共69頁，2024年2月25日，星期天5.應力不變量若從式(c)求出三個主應力，則式(c)也可以用根式方程表示為，因式(c)和(f)是等價的方程，故的各冪次系數(shù)應相等，從而得出應力不變量第24頁,共69頁，2024年2月25日，星期天(g)應力不變量第25頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

∴分別稱為第一、二、三應力不變量。這些不變量常用于塑性力學之中。式(g)中的各式，左邊是不隨坐標選擇而變的；而右邊各項雖與坐標的選擇有關(guān)，但其和也應與坐標選擇無關(guān)。第26頁,共69頁，2024年2月25日，星期天6.關(guān)于一點應力狀態(tài)的結(jié)論：六個坐標面上的應力分量完全確定一點的應力狀態(tài)。只要六個坐標面上的應力分量確定了，則通過此點的任何面上的應力也完全確定并可求出。(2)一點存在著三個互相垂直的應力主面及主應力。一點應力狀態(tài)第27頁,共69頁，2024年2月25日，星期天(3)三個主應力包含了此點的最大和最小正應力。（4）一點存在三個應力不變量（5）最大和最小切應力為，作用于通過中間主應力、并且“平分最大和最小正應力的夾角”的平面上。設(shè)第28頁,共69頁，2024年2月25日，星期天思考題1.試考慮：對于平面問題若則此點所有的正應力均為,切應力均為0，即存在無數(shù)多的主應力。2.試考慮：對于空間問題若則此點所有的正應力均為,切應力均為0，即存在無數(shù)多的主應力。第29頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：(a)幾何方程§7-4幾何方程及物理方程第30頁,共69頁，2024年2月25日，星期天從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系：⑴若位移確定，則形變完全確定。幾何方程從數(shù)學上看，由位移函數(shù)求導數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。第31頁,共69頁，2024年2月25日，星期天—沿x,y,z向的剛體平移；⑵若形變確定，則位移不完全確定。

∵由形變求位移，要通過積分，會出現(xiàn)待定的函數(shù)。若，還存在對應的位移分量為

(b)幾何方程—繞x,y,z軸的剛體轉(zhuǎn)動角度。第32頁,共69頁，2024年2月25日，星期天若在邊界上給定了約束位移分量，則空間問題的位移邊界條件為(c)位移邊界條件第33頁,共69頁，2024年2月25日，星期天(d)其中由于小變形假定，略去形變的二、三次冪。體積應變體積應變定義為第34頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

空間問題的物理方程

可表示為兩種形式：⑴應變用應力表示，用于按位移求解方法：(x,y,z)(e)物理方程第35頁,共69頁，2024年2月25日，星期天⑵應力用應變表示，用于按應力求解方法：(x,y,z)(f)由物理方程可以導出（g）是第一應力不變量，又稱為體積應力。—稱為體積模量。第36頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

結(jié)論：空間問題的應力，形變，位移等十五個未知函數(shù)，它們都是(x,y,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個平衡微分方程，6個幾何方程及6個物理方程，并在邊界上滿足3個應力或位移的邊界條件。結(jié)論第37頁,共69頁，2024年2月25日，星期天思考題若形變分量為零，試導出對應的位移分量（7-17）。第38頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

空間軸對稱問題

采用柱坐標表示軸對稱問題如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對稱，則應力，形變和位移也是軸對稱的?！?-5軸對稱問題的基本方程第39頁,共69頁，2024年2月25日，星期天對于空間軸對稱問題：所有物理量僅為(ρ,z)的函數(shù)。應力中只有(a)形變中只有位移中只有軸對稱問題第40頁,共69頁，2024年2月25日，星期天而由得出為。平衡微分方程：第41頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

幾何方程：其中幾何方程為第42頁,共69頁，2024年2月25日，星期天物理方程：應變用應力表示：(d)第43頁,共69頁，2024年2月25日，星期天應力用應變表示：其中第44頁,共69頁，2024年2月25日，星期天邊界條件：

一般用柱坐標表示時，邊界面均為坐標面。所以邊界條件也十分簡單。在柱坐標中，坐標分量的量綱，方向性，坐標線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應的方程不具有對等性。第45頁,共69頁，2024年2月25日，星期天思考題試由空間軸對稱問題的基本方程，簡化導出平面軸對稱問題的基本方程。第46頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第七章例題例題1例題2例題3例題第47頁,共69頁，2024年2月25日，星期天例題1設(shè)物體的邊界面方程為F（x,y,z)=0,試求出邊界面的應力邊界條件；若面力為法向的分布拉力q(x,y,z),應力邊界條件是什么形式？第48頁,共69頁，2024年2月25日，星期天（x,y,z)其中解：當物體的邊界面方程為F（x,y,z)=0時，它的表面法線的方向余弦為第49頁,共69頁，2024年2月25日，星期天當面力為法向分布拉力q時，(x,y,z)因此，應力邊界條件為代入應力邊界條件，得(x,y,z)第50頁,共69頁，2024年2月25日，星期天例題2

試求圖示彈性體中的應力分量，(a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布壓力q作用，設(shè)剛性體與彈性體之間無摩擦力。(b)半無限大空間體，其表面受均布壓力q的作用。第51頁,共69頁，2024年2月25日，星期天qqooxxzz圖7-4第52頁,共69頁，2024年2月25日，星期天解：圖示的(a),(b)兩問題是相同的應力狀態(tài)：x向與y向的應力、應變和位移都是相同的，即等。對于(a)，有約束條件，；對于(b)，有對稱條件。而兩者的，因此，由物理方程，第53頁,共69頁，2024年2月25日，星期天即可解出第54頁,共69頁，2024年2月25日，星期天例題３

圖示的彈性體為一長柱形體，在頂面z=0上有一集中力F作用于角點，試寫出z=0表面上的邊界條件。xyobbaaz圖7-5P第55頁,共69頁，2024年2月25日，星期天解：本題是空間問題，z=0的表面是小邊界，可以應用圣維南原理列出應力的邊界條件。即在z=0的表面邊界上，使應力的主矢量和主矩，分別等于面力的主矢量和主矩，兩者數(shù)值相等，方向一致。由于面力的主矢量和主矩是給定的，因此，應力的主矢量和主矩的數(shù)值，應等于面力的主矢量和主矩的數(shù)值；第56頁,共69頁，2024年2月25日，星期天而面力主矢量和主矩的方向，就是應力主矢量和主矩的方向。應力主矢量和主矩的正負號和正負方向，則根據(jù)應力的正負號和正負方向來確定。對于一般的空間問題，列積分的應力邊界條件時，應包括六個條件。對于圖示問題這六個積分的邊界條件是：第57頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第58頁,共69頁，2024年2月25日，星期天7-1答案7-2提示：原(x,y,z)的點移動到(x+u,y+v,z+w)位置，將新位置位置代入有關(guān)平面、直線、平行六面體和橢球面方程。7-3見本書的敘述。第七章習題的提示和答案

第59頁,共69頁，2024年2月25日，星期天7-4空間軸對稱問題比平面軸對稱問題增加了一些應力、形變和位移，應考慮它們在導出方程時的貢獻。7-5對于一般的空間問題，柱坐標中的全部應力、形變和位移分量都存在，且它們均為的函數(shù)。在列方程時應考慮它們的貢獻。第60頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

(一)本章學習的重點及要求

1.研究彈性力學問題,可以從一般問題到特殊問題,如從空間問題到平面問題。也可以由特殊問題到一般問題。本書就是先研究平面問題，然后再研究空間問題的。這樣可以由淺入深，循序漸進，便于理解。第七章教學參考資料第61頁,共69頁，2024年2月25日，星期天彈性力學中的各種問題，都具有相似性，其未知函數(shù)，基本方程和邊界條件，以及求解的方法都是類似的。我們可以把空間問題看成是平面問題的推廣。2.直角坐標系(x,y,z)中一般的空間問題，包含有15個未知函數(shù)（6個應力分量，6個應變分量及3個位移分量），且它們均為三個坐標變量(x,y,z)的函數(shù)。區(qū)域內(nèi)的基本方程也是15個，即3個平衡微分方程，6個幾何方程及6個物理方程。在邊界上的應力邊界條件或位移邊界條件均為3個。這些第62頁,共69頁，2024年2月25日，星期天方程和邊界條件當然可以根據(jù)有關(guān)條件導出，但也可以從平面問題