全國(guó)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

橢圓知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義

平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)尸到兩個(gè)定點(diǎn)不入的距離之和等于常數(shù)（|尸月|+|尸居|=2a＞比可），

這個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.

注意：若|P￡\+\PF2|=|F,F2|,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段五石；

若|P￡\+\PF2|＜陽(yáng)閭，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡無(wú)圖形.

知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

2222

橢圓：與+2r=1（。＞0〉0）與之+j=1（。＞。＞0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

a'h-ab

2222

「+當(dāng)=1(。>。>0)*■+￡=1(a>b>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程a2b2

y1

e.

圖形k_*

尸X

焦點(diǎn)K(-c,O),F2(C,0)耳(0,-c),F2(0,C)

焦距|桃2|=2c"鳥|=2c

1x<h|

范圍y1%9y<a

對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱

性質(zhì)

頂點(diǎn)(±a,0),(0，土份(0,±a),(土仇0)

軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a,短軸長(zhǎng)=2。長(zhǎng)半軸長(zhǎng)=a,短半軸長(zhǎng)=8（注意看清題目）

離心率—(0<e<1)

a

=%巴|=a-c；A}F21=|A2Fj|=tz+c；a-c<\PFx|<6T+C;

（p是橢圓上一點(diǎn)）（不等式告訴我們橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍）

幾點(diǎn)說(shuō)明:

（1）長(zhǎng)軸：線段A4，長(zhǎng)為2"；短軸：線段4線，長(zhǎng)為2也焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上。

（2）對(duì)于離心率e,因?yàn)閍>c>0,所以離心率反映了橢圓的扁平程度。

由于（,=/業(yè)了1=，一「所以。越趨近于1,人越趨近于0,橢圓越扁平；。越趨近于0,

〃越趨近于“，橢圓越圓。

（3）觀察下圖，所以所以橢圓的離心率e=cosZOF^

注意：①與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的橢圓本身固有的性質(zhì)，如：長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、離心率等;

②與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如：頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)等

知識(shí)點(diǎn)三：橢圓相關(guān)計(jì)算

1.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a仇c的幾何意義a2=b2+c2

2.通徑:過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦，其長(zhǎng)2尤

a

2b2

最短的焦點(diǎn)弦為通徑長(zhǎng)——，最長(zhǎng)為20.

焦點(diǎn)弦：橢圓過(guò)焦點(diǎn)的弦?！?/p>

3.最大角:p是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)p是橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，/6PB為最大角。

4.橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形。

S=I）2taxi—

焦點(diǎn)三角形的面積—2,其中e=N片尸工（注意公式的推導(dǎo)）

5.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟（待定系數(shù)法）.

（1）作判斷：依據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上.

(2)設(shè)方程：

2222

①依據(jù)上述判斷設(shè)方程為—y+=1(a>b>0)或一-+二*=1(a>。>0)

abb'a-

②在不能確定焦點(diǎn)位置的情況下也可設(shè)+〃〃>0且

或設(shè)成工+3=1(〃產(chǎn)#M)的形式.

nrn

(3)找關(guān)系，根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a,b,c或〃z,"的方程組.

(4)解方程組，代入所設(shè)方程即為所求.

6.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：

222222

彳+4<1,點(diǎn)在橢圓內(nèi)；*+==l,點(diǎn)在橢圓上；*點(diǎn)在橢圓外。

a2h2a2b2a2b2

7.直線與橢圓的位置關(guān)系

設(shè)直線方程y="+〃z,若直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y得關(guān)于x的一元二次方程：加十

/?x+c=0(aW0).

(l)A>0；直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn);

(2)A=0,直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn);

(3)A<0,直線與橢圓無(wú)公共點(diǎn).

8.弦長(zhǎng)公式：(注意推導(dǎo)和理解)

若直線/:y=辰+。與圓錐曲線相交與A、8兩點(diǎn)，A(玉,y),3(工2，y2)則弦長(zhǎng)

I=yJ(X]-工2廠+(y1必)-=)-+*X[一3)-=J1+|xI—x2\

J+aI>2I-

-J]+女2J（X]+12）2—4元]彳2

9.點(diǎn)差法：

就是在求解圓錐曲線題目中，交代直線與圓錐曲線相交所截的線段中點(diǎn)坐標(biāo)的時(shí)候，利用

直線和圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，并把交點(diǎn)代入圓錐曲線的方程，并作差。求出直線的斜率，然后

利用中點(diǎn)求出直線方程。涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.

步驟:①設(shè)直線和圓錐曲線交點(diǎn)為(X2,V7),其中點(diǎn)坐標(biāo)為則得到關(guān)

系式：XI+*2=2檢，Vl+V2=2珈..

②把（xz,內(nèi)）分別代入圓錐曲線的解析式，并作差，利用平方差公式對(duì)結(jié)果進(jìn)

行因式分解.其結(jié)果為根（X]-%2）（%1+%2）+〃（%一%）（%+%）=0

③利用卜=蜉求出直線斜率，代入點(diǎn)斜式得直線方程為f=矩的』

中點(diǎn)弦的重要結(jié)論（不要死記會(huì)推導(dǎo)）

.V2y2

AB為橢圓7+廬=l（a>b>0）的弦，A（xuyD，B（x2,y2）,弦中點(diǎn)M（x（）,y0）,

①斜率：k=——$；②弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定

av?

b2

值一

后

公3._(x=acos0

10.參數(shù)方程彳.八（。為參數(shù)）。幾何意義：離心角

y=bsin0

11、橢圓切線的求法

Y22

1）切點(diǎn)（/兒）已知時(shí)，=~+=V=1（。>〃〉0）切線學(xué)+岑=1

礦bab~

22

夕+*"＞0)切線浮+年=1

ab-

元2v2

2）切線斜率k已知時(shí)，\+==1（。>方>0）切線y=kx±y1a2k2+h2

礦b2

22

當(dāng)+a=1(。＞。＞0)切線y=依士Jb%?+a2

12、焦半徑：橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離

22

二+\=1（。>〃〉0）廠=。土叫）（加減由長(zhǎng)短決定）

a~b

22

-^-+p-=l（?>&>0）r=a+eya（加減由長(zhǎng)短決定）

13.離心率的求法

橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍）有兩種方

法：①求出aC代入公式e=￡；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于"，b,c的齊次式，結(jié)

a

合〃2=〃2一/轉(zhuǎn)化為a,c?的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以a或42轉(zhuǎn)化為關(guān)于e

或e2的方程0等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

14.焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積的求法

利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積，解焦點(diǎn)三角形常利用橢圓的定義和正弦正理，常

用到結(jié)論有：（其中，0=—F\PFQ

①|(zhì)戶石|+|尸+|=2。；

②4c2=|?用2+上心『一2|尸產(chǎn)肅P心卜3仇

③當(dāng)。為短軸端點(diǎn)時(shí)，8最大.

④S”陋=5仍用P心回12

1221+cos0

=力2tan—=c.\y0\.

h

當(dāng)y0=±，即。為短軸端點(diǎn)時(shí)，S*5有最大值為be.

⑤焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為20+<〉.

15.橢圓的范圍或最值問(wèn)題

內(nèi)1的范圉或最值問(wèn)題常常涉及一些不等式，例如一〃-/；<v</^0<^<b

求桶圓的相關(guān)量的范圍時(shí)，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)四：橢圓了解知識(shí)

1、橢圓面積：=7i-a-b

2、橢圓的第二定義：

由此可知，當(dāng)點(diǎn).”與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)「=二(0＜。＜1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的