專題02 函數(shù)及其應(yīng)用、指對(duì)冪函數(shù)（5大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專用）（原卷版）

③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)2.周期性技巧結(jié)論1：若對(duì)于非零常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式恒成立，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.證明：也可理解為：平移個(gè)單位到谷底，再平移一個(gè)單位到巔峰，再平移一個(gè)單位又到谷底，則谷底與谷底的距離為，結(jié)論2：定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，若有(其中為常數(shù)，)，則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)周期.證明：口訣：同號(hào)差（周期）異號(hào)加（對(duì)稱軸）只研究前的正負(fù).結(jié)論3：定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，若有(其中為常數(shù)，)，則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)周期.證明：先向左平移個(gè)單位得令如同結(jié)論1結(jié)論4：定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，若有，(或)(其中為常數(shù)，)，則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)周期.證明：，結(jié)論5:定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，有且，(其中是常數(shù)，)則函數(shù)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)周期.另一種題干出現(xiàn)的信息：①若的圖象關(guān)于直線都對(duì)稱，則等價(jià)于且，則為周期函數(shù)且.②若為偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則為周期函數(shù)且證明：向左平移個(gè)單位，得，同理，利用口訣：同號(hào)差（周期）異號(hào)加（對(duì)稱軸）只研究前的正負(fù).秒出周期結(jié)論6:若定義在上的函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有成立()，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.證明：由函數(shù)，向右平移個(gè)單位得口訣：內(nèi)同號(hào)，外異號(hào)，內(nèi)部只差需2倍，出現(xiàn)周期很.結(jié)論7:若對(duì)于非零常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式成立，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.證明：如同結(jié)論4，結(jié)論8:若對(duì)于非零常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式成立，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.證明：結(jié)論9:若對(duì)于非零常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式成立，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.證明：得結(jié)論10:①若定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)都對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.②若奇函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.證明：函數(shù)滿足且，則利用口訣：同號(hào)差（周期）異號(hào)加（對(duì)稱軸）只研究前的正負(fù).秒出周期結(jié)論11:①若定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和直線都對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.②若奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.證明：函數(shù)滿足且，則3.對(duì)稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．結(jié)論：1.(1)如果一個(gè)奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，即有意義，那么一定有.(2)如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)定義域內(nèi)任一自變量的值:(1)若，則.(2)若，則.(3)若，則.3.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(2)若對(duì)于上的任意都有或，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(3)若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.易錯(cuò)提醒：奇偶性的前提及兩個(gè)函數(shù)與一個(gè)函數(shù)的區(qū)別1．函數(shù)的奇偶性由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)．2．函數(shù)的對(duì)稱性(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．(3)若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．(4)若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．例．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．變式1．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．是以4為周期的函數(shù) D．的圖象關(guān)于對(duì)稱變式2．已知函數(shù)，下列結(jié)論中：①當(dāng)時(shí)，的最小值為3；②函數(shù)是奇函數(shù)；③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④是圖象的一條切線，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式3．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A． B． C．1 D．21．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則的值為（

）A． B． C．1 D．22．定義在R上的奇函數(shù)滿足是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．0 D．23．已知函數(shù)與的定義域均為，，，且，為偶函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的周期為4 B．C． D．4．已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（

）A．B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．D．5．已知非常數(shù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，并且?duì)，都有，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱B．函數(shù)為偶函數(shù)C．D．若時(shí)，，則時(shí)，7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C．函數(shù)是最小正周期為2的周期函數(shù)D．若函數(shù)滿足，則8．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．B．直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C．函數(shù)在區(qū)間上存在3個(gè)零點(diǎn)D．若在區(qū)間上的根為，則易錯(cuò)點(diǎn)四：遺漏冪函數(shù)的特征及二次函數(shù)弦長(zhǎng)公式（冪函數(shù)與二次函數(shù)）1、根據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小的方法冪函數(shù)的冪指數(shù)的大小，大都可通過(guò)冪函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小反映.一般地，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近軸(簡(jiǎn)記為“指大、圖低”)，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，圖象越遠(yuǎn)離軸(不包括冪函數(shù)，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低")，在區(qū)間上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離軸.2、對(duì)于函數(shù)，若是二次函數(shù)，就隱含，當(dāng)題目未說(shuō)明是二次函數(shù)時(shí)，就要分和兩種情況討論.在二次函數(shù)中，的正負(fù)決定拋物線開(kāi)口的方向的大小決定開(kāi)口大小)確定拋物線在軸上的截距，與確定頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸的位置).3、根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系，若二次函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，則該區(qū)間在對(duì)稱軸的一側(cè)，若二次函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)，則對(duì)稱軸在該區(qū)間內(nèi)（非端點(diǎn)），4、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)處取得，可分別求值再比較大小，最后確定最值.結(jié)論：1.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出．2．實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個(gè)不等正根（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為3.一元二次方程的根的分布問(wèn)題一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：（1）開(kāi)口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如下所示.①，限定條件②限定條件③限定條件在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有實(shí)根限定條件限定條件限定條件限定條件限定條件在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根限定條件限定條件在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根限定條件4.有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，關(guān)鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問(wèn)題——?jiǎng)虞S定區(qū)間和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸.即注意對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側(cè)；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側(cè)；=3\*GB3③軸穿過(guò)區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問(wèn)題，要抓住四點(diǎn)，即開(kāi)口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).易錯(cuò)提醒：冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).掌握二次函數(shù)解析式的三種形式（不能忘記最后一種）（1）一般式：；（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對(duì)稱軸方程.（3）兩點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).與軸相交的弦長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，.例1若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式1．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式2．已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3．已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（

）A．2 B． C． D．-23．已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，則不等式的解集滿足（

）A． B． C． D．4．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．C． D．5．已知的解集是，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，則m的取值范圍是或D．當(dāng)時(shí)，，的值域是，則的取值范圍是6．已知函數(shù)，函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是B．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是C．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則D．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是7．已知函數(shù)(即，)則（

）A．當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．設(shè)最小值為，則 D．方程可能有2個(gè)解8．已知函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．設(shè)，函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．10．關(guān)于的方程，下列命題正確的有（

）A．存在實(shí)數(shù)，使得方程無(wú)實(shí)根B．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根C．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根D．存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根易錯(cuò)點(diǎn)五：根式奇偶討論（指對(duì)數(shù)函數(shù)考點(diǎn)）指數(shù)1.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).4.有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問(wèn)題的解題思路(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除．(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．(4)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問(wèn)題，可以通過(guò)直線x＝1與圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷．5.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較冪值的大小，先看能否化成同底數(shù)，能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大?。?.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式，先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；7.解答指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解。對(duì)數(shù)：1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.|3.，且是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.4.識(shí)別對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，要注意底數(shù)以1為分界：當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù).注意對(duì)數(shù)函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)，且以軸為漸近線.5.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.6.比較對(duì)數(shù)值的大小(1)若對(duì)數(shù)值同底數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較(2)若對(duì)數(shù)值同真數(shù)，利用圖象法或轉(zhuǎn)化為同底數(shù)進(jìn)行比較(3)若底數(shù)、真數(shù)均不同，引入中間量進(jìn)行比較解決對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用有以下三個(gè)步驟:第一步：求出函數(shù)的定義域；第二步：判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個(gè)字母)時(shí)，若涉及其單調(diào)性，就必須對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論；第三步：判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論：1.畫指數(shù)函數(shù)，且的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)且的圖象越高，底數(shù)越大.3.有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域與值域形如的函數(shù)的定義域就是的定義域.求形如的函數(shù)的值域，應(yīng)先求出的值域，再由單調(diào)性求出的值域.若的范圍不確定，則需對(duì)進(jìn)行討論.求形如的函數(shù)的值域，要先求出的值域，再結(jié)合的性質(zhì)確定出的值域.(2)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性令，如果復(fù)合的兩個(gè)函數(shù)與的單調(diào)性相同，那么復(fù)合后的函數(shù)在上是增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性相異(即一增一減)，那么復(fù)合函數(shù)在上是減函數(shù).換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)(2).其中，且，且.對(duì)數(shù)函數(shù)，且的圖象過(guò)定點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，函數(shù)圖象只在第一、四象限.易錯(cuò)提醒：根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).例．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且.當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減變式1、設(shè)偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．變式2、已知函數(shù)，則（