2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型-幾何圖形的翻折變換（講+練）（解析版）

專(zhuān)題10幾何圖形的翻折變換

折疊型問(wèn)題是歷年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，題型問(wèn)題立意新穎，變幻巧妙，對(duì)培養(yǎng)識(shí)圖能

力及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力非常有效。同樣的翻折類(lèi)題目，條件不一樣，用

到的知識(shí)和方法也不盡相同。本專(zhuān)題整理這類(lèi)題目，如何用我們已經(jīng)掌握的知識(shí)和方法

來(lái)解答，從而找到這類(lèi)問(wèn)題特有的解題方法。

題型一、直角三角形中的折疊問(wèn)題

例1.如圖1,在中，ZACB=90°,ZB=30°,BC=3,點(diǎn)。是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與

點(diǎn)8、C重合），過(guò)點(diǎn)。作QELBC交AB邊于點(diǎn)E,將NB沿直線(xiàn)￡>￡翻折，點(diǎn)B落在射線(xiàn)

8c上的點(diǎn)尸處，當(dāng)AAEF為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為

【答案】2或1

【解析】①當(dāng)NEAF=90。時(shí)，如圖2所示.

：NB=30°,BC=3

AC=tan30°xBC=—x3=73，AB=2AO26

3

VZEAF=90°,，NAFC=60。，NCAF=30°

h

在RtAACF中，有：AF=71C4-cosZC4F=V34--=2-BF=2AF=4

2

由折疊性質(zhì)可得：ZB=ZDFE=30°,BD-DF——BF—2

2

②當(dāng)NAFE=90。時(shí)，如圖3所示.

由折疊性質(zhì)得：ZB=ZDFE=30°,BD=DF--BF-2

2

ZAFC=60°,ZFAC=30°

???CF=tanZMCXAC=—XV3=1

3

所以，BF=2,BD=DF=LBF=1,綜上所述，BD的長(zhǎng)為2或1.

2

【變式訓(xùn)練1】如圖在AABC中，/C=90。，將AACE沿著AE折疊以后C點(diǎn)正好落在AB

邊上的點(diǎn)D處.

(1)當(dāng)/B=28。時(shí)，求NCAE的度數(shù)；

(2)當(dāng)AC=6,AB=10H寸，求線(xiàn)段DE的長(zhǎng).

【答案】(1)ZCAE=31°；(2)DE=3

【解析】(1)在RSABC中，ZABC=90°,/B=28°,二NBAC=90°-28°=62°,

「△ACE沿著AE折疊以后C點(diǎn)正好落在點(diǎn)D處，...ZCAE=。ZCAB=x62°=31°；

(2)在RSABC中，AC=6,AB=10,/.BC—y/AB2—AC2—\/102—62—8,

「△ACE沿著AE折疊以后C點(diǎn)正好落在點(diǎn)D處，，AD=AC=6,CE=DE,

.*.BD=AB-AD=4,設(shè)DE=z,則EB=BC-CE=8-i,

?.?Rt^BDE中，DE2+BD2=BE2,

.'.x2+42—(8—a:)2,解得rr=3,即DE的長(zhǎng)為3.

【變式訓(xùn)練2】如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，

點(diǎn)E是邊A8上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合)，沿DE翻折AOBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,

連接AF,當(dāng)線(xiàn)段時(shí)，BE的長(zhǎng)為.

【答案】20

【解析】連接A。，作EG_LBZ）于G,如圖所示：則EG〃4C,??.△8EGs/\BAC,??.殷=理

ACAB

-_-B-G-,

BC

設(shè)8E=x,VZACB=90°,AC=3,BC=4,.'.AB=^C2^2=5,：.,解得：EG=

354

—.r,BG-—x,

55

?.?點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，，CO=8O=2,...OG=2-￡:,由折疊的性質(zhì)得：DF=B"CD,Z

5

EDF=NEDB,

，AC=AF

在AACQ和AAFO中，＜CD=CF，???△ACQ^ZXAFQ(SSS),Z.ZADC=ZADF,

AD=AD

，ZADF+Z￡DF=AX1880°=90°,即ZAD￡=90°,AI^+DE^AE2,

2

222222222

'：ArP^AC+CD^+2=13,DE=DG+EG=(2-AA)+(當(dāng)),

55

A13+(2-X)2+(2.02=(5-x)2,解得：4理即8￡=致；

551717

故答案為：型.

17

【變式訓(xùn)練3】如圖，在RfAABC中，NA=90°,AB=AC,BC=6+\,點(diǎn)M,N

分別是邊3C,A8上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在的直線(xiàn)折疊NB,使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8始終落在

邊AC上.若\MB'C為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為.

【解析】通過(guò)觀察及分析可知，C點(diǎn)不可能為直角頂點(diǎn)，分兩種情況討論.

①當(dāng)/CM夕=90。時(shí)，如圖2所示.

由折疊知：ZBMN=ZB'MB=45°,又因?yàn)?8=45。，所以/8NM=90。，NMNB'=90°

即/BNM+NMNB，=180。，所以8、N、三點(diǎn)共線(xiàn)，此時(shí)夕與點(diǎn)A重合.所以，

BM.=—1BDCC------+--1-

22

①當(dāng)/CB，例=90。時(shí)，如圖3所示.

由折疊知/8=/夕=45。，因?yàn)?C=45。，可得/B，MC=45。，所以△9MC是等腰直角三角形

設(shè)BM=8'M=x,B/C=x,則MC=叵x(chóng)

因?yàn)锽C=0+1,所以x+a戶(hù)血+1,解得：戶(hù)1,即8M=1.

綜上所述，8M的值為史上1■或1.

2

【變式訓(xùn)練4】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，己知矩形0A8C,。為原點(diǎn)，點(diǎn)4、C分別在

x軸、y軸上，點(diǎn)3的坐標(biāo)為（1,2）,連接OB,將AOAB沿直線(xiàn)08翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)

。的位置，則cosNCOD的值是（）

A.3/5B.1/2C.3/4D.4/5

【解答】作OF_Ly軸于凡DE_Lx軸于E,8。交0c于G.

?.?在ABCG與△OOG中，ZBCG=ZODF,0D=BC,ZD0F=ZGBC,A△BCG^AODG,

：.GO=GB,.*.設(shè)GO=G8=x,則CG=GO=2-x,

于是在RsCGB中，（2-x）+l=x；解得x=5/4.GD=2-x=2-5/4=3/4；

VBClytt.CF_Ly軸，；.NBCG=NDFG,

*：NBGC=NDGF,.,.△CfiG^AraG,：.DF/BC=DG/BG,：.DF=3/5；

又,.?D0=l,.?.0F=Jj哈2=\..-.coszDOC=.故造："

題型二、等腰或等邊三角形中的折疊問(wèn)題

例1.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP,把AABP沿

BP折疊，使A落在A，處，當(dāng)AA，DC為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為（）

2百cc湍2百

333

【答案】C

【詳解】①如圖，當(dāng)A，D=A，C時(shí)，過(guò)A，作EFLAD,交DC于E,交AB于F,則EF垂直

平分CD,EF垂直平分AB,；.八人=人口

A............P___________D

……e

由折疊得，AB=A'B,ZABP=ZA'BP,.'.△ABA，是等邊三角形，ZABP=30°

…A322r-

>>AP=—=-=—=■=—、/3；

J3J33

②如圖，當(dāng)AD=DC時(shí)，A'D=2,由折疊得，A'B=AB=2,???A'B+A'D=2+2=4

4........P_____________D

連接BD,則RMABD中，BD=AB2+AD2+42;=275'JAB+ADVBD（不合

題意）

故這種情況不存在；

③如圖，當(dāng)CD=CA'時(shí)，CA，=2

A............P____________D

q

由折疊得，AB=AB=2,.?.AB+AC=2+2=4,?.點(diǎn)A，落在BC上的中點(diǎn)處

?…1

此時(shí)，ZABP=-ZABA'=45°,/.AP=AB=2.綜上所述，當(dāng)AADC為等腰三角形時(shí)，AP

2

的長(zhǎng)為2百或2.

3

故選C.

例2.如圖，等邊AABC中，。是8c邊上的一點(diǎn)，把a(bǔ)ABC折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的

點(diǎn)。處，折痕與邊AB、4c分別交于點(diǎn)M、N,若AM=2,AN=3,那么邊8c長(zhǎng)為.

.V

BDC

【解答】解：設(shè)BD=x,DC=y,

；△ABC是等邊三角形，.?.AB=BC=4C=x+y,NABC=N5AC=60。，

由折疊的性質(zhì)可知：MN是線(xiàn)段A力的垂直平分線(xiàn)，

：.AM=DM^2,AN=DN=3,：.BM+MD+BD=2x+y,DN+NC+DC=x+2y,

'：NMDN=NBAC=NA8C=60。，

ZNDC+ZMDB=NBMD+NMBD=120°,Z.ZNDC=NBMD,

?.?/A8C=N4C8=60。，：.4BMDs2CDN,

：.(.BM+MD+BD):(DN+NC+CD)=DM：DN=2：3,，(2x+y)：(x+2y)=2：3,

；.)，=4x,：.AB=BC^AC^5x,MB=5x-2,CN=5x-3,

,:BM/CD=DMIDN=2B,：.(5x-2)/4x=2/3,；.x=6/7,；.BC=5x=30/7,故答案為30/7.

【變式訓(xùn)練1】已知,ABC中，AC=BC,NC=RtN.如圖，將ABC進(jìn)行折疊，使

點(diǎn)A落在線(xiàn)段8c上(包括點(diǎn)8和點(diǎn)C),設(shè)點(diǎn)A的落點(diǎn)為。，折痕為EE,當(dāng)&DEF是

等腰三角形時(shí)，點(diǎn)?？赡艿奈恢霉灿?).

A.2種B.3種C.4種D.5種

【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)D與C重合時(shí)，

VAC-BC,AE=DE（即CE）,AF=DF（即CF）,

...此時(shí)AAFC（ERAAFD）是等腰直角三角形，點(diǎn)E是斜邊AC的中點(diǎn)，，EF=DE,

.?.△EDF為等腰三角形.

（2）當(dāng)點(diǎn)D與B點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)C與E重合，

VAC=BC,AF=DF（即BF）,

，此時(shí)EF='AB=DF（即BF）,

2

/.△DEF是等腰三角形；

(3)當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到使DE=DF的位置時(shí)，ADEF是等腰三角形.

綜上所述，當(dāng)ADEF為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)D的位置存在3中可能.故選B.

【變式訓(xùn)練2】如圖所示，在矩形ABCD中，AB=5,BC=8,點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與

端點(diǎn)重合)連接AP,將AABP沿著AP折疊，點(diǎn)B落到M處，連接BM、CM,若ABMC

為等腰三角形，則BP的長(zhǎng)度為.

【解析】當(dāng)ABMC為等腰三角形時(shí)，分三種情況:

①BM=CM時(shí)，如圖1所示：作MG_LBC于G,則BG=CG=：BC=4,ZBGM=90°,

設(shè)BP=r,由折疊的性質(zhì)得：MP=BP=z,AP垂直平分BM,

VZABC=90°,；.NMBG=NBAP,AABGM^AABP,

PGBGMG44

■■BP=AB'n即rl丁可解得

在RSPMG中，GP=4—2，由勾股定理得(4-/)2+

56

解得或/=10(不合題意舍去)，??.BE=5；

圖1

②BM=BC=8時(shí)，如圖2所示：由折疊的性質(zhì)得：BO=MO=〈BM=4,AP1BP,

/AOB=/ABP=90°,；NBAO=/BAP,/.AABP^AAOB,

耳90

?明ABBP解得：BP=*；

即丁=

一~OBOA'oo

③CM=BC時(shí)，連接OC,如圖3所示：由折疊的性質(zhì)得：AP垂直平分BM,

：CM=BC,AOCIBM,.?.點(diǎn)P與C重合，；.BP=BC=8；

耳2()

綜上所述，當(dāng)4BMC為等腰三角形時(shí)BP的長(zhǎng)為￡或干■或8.

/O

【變式訓(xùn)練3】如圖正方形48a＞的邊長(zhǎng)是16,點(diǎn)E在邊AB上，AE=3,點(diǎn)尸是邊8C上

不與點(diǎn)B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把AE8尸沿￡尸折疊，點(diǎn)B落在所處，若△COB"恰為等腰三

角形，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____________.

【解析】根據(jù)△88'為等腰三角形，以CO為腰或底分三種情況討論，①OB，=Z)C：②C￡=CD；

③C8，=。夕.對(duì)于①作圖方法以E為圓心BE長(zhǎng)為半徑作弧，以。為圓心CO長(zhǎng)為

半徑作弧，兩弧交點(diǎn)即為".對(duì)于②CB，=CO,作圖方法以￡為圓心長(zhǎng)為半徑作弧，以C

為圓心CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)即為次對(duì)于③C￡=￡)B，，作圖方法以E為圓心8E長(zhǎng)

為半徑作弧，弧與CO垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)為用.

詳解：?DB'=DC,如圖例7-2所示.易知：DB'=DC=16.

②CB'=CD,如圖例7-3所示.

由折疊性質(zhì)可知：BF=B，F(xiàn)=CD=16,此時(shí)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合，不符題意.

③，如圖例7-4所示.

由題意得，DN=CN=8,因?yàn)锳E=3,所以EM=5.B，E=BE=13.

在放中，由勾股定理得，夕M=12.

所以B'N=4.

在.RtADB'N中,由勾股定理得，B'D=4V5.

綜上所述，87）的長(zhǎng)為16或4后.

題型三、菱形中的折疊問(wèn)題

例.如圖，在菱形ABCD中，AB=5,tanD=3,點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B,C重合），將四

4

邊形AEC。沿直線(xiàn)AE翻折后，點(diǎn)C落在C處，點(diǎn)。落在。處，與A8交于點(diǎn)凡

當(dāng)CQ'_LAB時(shí)，CE長(zhǎng)為也.

一工一

【答案】獨(dú)

7

【解析】如圖，作4”_LC。于H,交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,連接AC.

由題意：AD=AD',ZD=ZD',ZAFD'=ZAHD=90°,

/^AFD'^/\AHD（AAS）,：.ZFAD'=ZHAD,

VZEAD'=ZEAD,...NE48=NE4G,...鯉一些（角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，可以用面枳法證

AGEG

明）

,JAB//CD,AHLCD,J.AHLAB,：.ZBAG=90°,

?；NB=ND,.?.tanB=tanD=^=旦，.-.-^2,；.AG=^,

AB4544

BG=yjAB2+AG2=J52+（竽）2號(hào)'BE：EG=AB：AG=4：3,EG=—BG^—,

728

在RSAD”中，：tan￡）=理

=^,AD=5,：.AH=3,CH=4,：.CH=],

DH4

"：CG//AD,CG-CH,/.CG--.；.EC=EG-CG=^一旦也.故答案為改.

ADDH428477

【變式訓(xùn)練1】如圖，在菱形紙片ABC。中，A8=15,tan/ABC=3,將菱形紙片沿折痕FG

4

翻折，使點(diǎn)8落在AD邊上的點(diǎn)E處，CELAD,則cos/EFG的值為之應(yīng)

―170—

VAB=15,tan/A8C=2,：.AH=9,8H=12,：.CH=3,

4

:四邊形ABC。是菱形，.?.A8=8C=15,AD//BC,

,JAHLBC,：.AH1AD,且AH_LBC,CE1,AD,...四邊形AHCE是矩形

：.EC=9,AE=CH=3,：.2+BC2=7225+81=3V34>

???將菱形紙片沿折痕FG翻折，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)E處,

：.BF=EF,BELFG,BO=EO=^1H

2

"：AD//BC,：.ZABC^ZPAE,：.tanZABC=tanZB4E=—,且4E=3,：.AP=—,PE=上

455

"：EF2=PEr+PF2,：.EF2=—+(15-EF+烏2,

25529

/65025豆二97^

F<922

"VEF-EO"V841T58

=祟需，故答案沏需

【變式訓(xùn)練2】如圖在菱形A8CD中,ZA=60°,AD=V3,點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作EFLAC交C。于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)尸，將AAEF沿EF折疊點(diǎn)A落在G處,

當(dāng)ACGB為等腰三角形時(shí)，則AP的長(zhǎng)為,

【解析】分析：首先證明四邊形AEGF是菱形，分兩種情形：①CG=CB,②GC=GB分別計(jì)

算即可.

詳解：???四邊形ABCD是菱形，

，AB=BC=CD=AD=K,NDAC=NBAC=T〃=30。，AC=3,如圖,

D.

VEFXAG,/.ZEPA=ZFPA=90°,ZEAP+ZAEP=90°,ZFAP+ZAFP=90°,

/AEP=NAFP,/.AE=AF,

?.,△A，EF是由AAEF翻折，；.AE=EG,AF=FG,AE=EG=GF=FA,

四邊形AEGF是菱形，,AP=PG

①當(dāng)CB=CG時(shí)，VAG=AC-CG=3-V3,.*.AP=1AG=^.

②當(dāng)GC=GB時(shí)，VZGCB=ZGBC=ZBAC,/.AGCB^ABAC,

ABAC

.*.GC=1,；.AG=3-1=2,.*.AP=-AG=1.故答案為1或空應(yīng).

22

題型四、矩形中的折疊問(wèn)題

例1.如圖，矩形紙片ABC。，4B=4,BC=3,點(diǎn)P在BC邊上，將ACOP沿。P折疊，點(diǎn)C

An

落在點(diǎn)E處，PE、OE分別交AB于點(diǎn)0、F,且OP=OF,則——的值為

DF

【答案】C

【詳解】

根據(jù)折疊，可知：4DCPQ/\DEP,:.DC=DE=4,CP=EP.

ZEOF=/BOP

在AOEF和△08P中，NB=NE=90。，:./XOEF冬△OBP(AAS),：.OE=OB,EF=BP.

OP=OF

設(shè)EF=x,則BP=x,DF=DE-EF=4-x.

X?/BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,：.AF=AB-BF=\+x.

在RtZiOAF中，AP+AD^DF2,即(1+x)2+32=(4-x)2,

AO15

解得：x=0.6,'.DF=4-x=3A,-----=—

DF17

故選c.

【變式訓(xùn)練1】矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE,把NB

沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B，處，當(dāng)ACEB，為直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為()

33

A.3B.-C.2或3D.3或一

22

【解析】D

【詳解】當(dāng)4CEB，為直角三角形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)落在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖1所示.連結(jié)AC,

圖1

在RSABC中，AB=3,BC=4,AAC=742+32=5-

沿AE折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B，處，.?.NAB，E=NB=90。，

當(dāng)ACEB，為直角三角形時(shí)，只能得到NEBC=90。，

.?.點(diǎn)A、B\C共線(xiàn)，即/B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)B，處,

.,.EB=EB,,AB=AB,=3,，CB，=5-3=2,設(shè)BE=x,則EB，=x,CE=4-x,

33

在RtZiCEB'中，..法8'2+€8'2女￡2,.,.x2+22=(4-x)2,解得x=—，，BE=一；

22

②當(dāng)點(diǎn)日落在AD邊上時(shí)，如圖2所示.

B'D

圖2

3

此時(shí)ABEB，為正方形，；.BE=AB=3.綜上所述，BE的長(zhǎng)為一或3.故選D.

2

【變式訓(xùn)練2】如圖，在一張矩形紙片ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC=14,點(diǎn)E、F分別是CD和

AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將這張紙片折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)G處，折痕為AH,若HG的延長(zhǎng)

線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,則點(diǎn)G到對(duì)角線(xiàn)AC的距離為（）

【答案】B

【解析】設(shè)AC交DH于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)G作GK_LAO于點(diǎn)K,如圖所示：

?.?點(diǎn)E、F分別是CD和AB的中點(diǎn)，,EF1AB,

，EF〃BC,，EG是ADCH的中位線(xiàn)，，DG=HG,

由折疊的性質(zhì)可得：/AGH=/ABH=90。，二/AGH=/AGD=90。，

/.△ADG^AAHG（SAS）,AAD=AH,ZDAG=ZHAG,

由折疊的性質(zhì)可得：ZBAH=ZHAG,NBAH=NHAG=NDAG=JNBAD=30。,

AB=AH,設(shè)AH=AD=BC=a,則=—

在Rl^ABC中，則有11?=a;2+，解得/=或-4，？（舍棄），

：.BC=AH=4y/7,AB=2^,：.BH=AB-Un300=2y/7

：.CH=BC-BH=2y/7,

..w”f.OHCH1./、〃4V7

,0”“AD-.~OD~~2'"°H=3

：.OG=GH-OH=2V7-

oo

28

?：AG^AB^2^21,：.0A

T

1.?GKVOA,-GA-GO=^-OA-GK

.GK=GA-GO=2^21X^_

T

【變式訓(xùn)練3】如圖，在矩形ABC。中，AB=6,AD=20E是AB邊上一點(diǎn),AE=2,F

是直線(xiàn)C。上一動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿直線(xiàn)EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)4,當(dāng)點(diǎn)E,A，，C三

點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，。尸的長(zhǎng)為.

【解析】6-2幣或6+2幣

【詳解】解：如圖，由翻折可知，ZFEA=ZFEA',

,JCD//AB,

：.ZCFE=ZAEF,

：.4CFE=NCEF,

：.CE=CF,

在Rt/JSCE中，EC=JBC?+EB。=8廚=2將，

:.CF=CE=2幣,

'：AB=-CD=6,

:.DF=CD-CF=6-2近，

當(dāng)點(diǎn)尸在。C的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，易知EFJ_E尸，CF=CF=2不，

，DF=CD+CF'=6+2不

故答案為6-2e或6+2近.

【變式訓(xùn)練4】如圖，以矩形ABOD的兩邊OD、0B為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，若E是AD

的中點(diǎn)，將AABE沿BE折疊后得到AGBE,延長(zhǎng)BG交0D于F點(diǎn).若OF=1,FD=2,

B.(|.喳

55

24逐）D.(|,吸

C.(?

5

【答案】B

【詳解】連結(jié)￡尸,作GHLx軸于H,如圖，：四邊形A80。為矩形，.?.A8=O3=OF+F￡>=l+2=3.

目BE折疊后得至IJAGBE,：.BA=BG=3,EA=EG,/8GE=/4=90。.

?.?點(diǎn)E為AZ)的中點(diǎn)，：.AE=DE,:.GE=DE.

ED=EG

在RtADEF和Rl^GEF中，，；.RlADEF^RlAGEF(HL),；.FD=FG=2,

EF=EF

：.BF=BG+GF=3+2=5.

22

在中，OF=1,BF=5,：.OB=^BF-OF=276-

GHFHFGGHFH2GH=^-

?:GH//OB,：.叢FGHs叢FBO,：.——--,Bp—尸=----=一

OBOFFB2V6155

2

FH=一

5

...OH=OF-”F=l-2=3,.?.G點(diǎn)坐標(biāo)為(3,生色).故選B.

5555

課后訓(xùn)練

1、矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE,把NB沿AE折疊,

使點(diǎn)B落在點(diǎn)B，處，當(dāng)ACEB，為直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為()

33

A.3B.-C.2或3D.3或一

22

【解析】D

【詳解】當(dāng)ACEB，為直角三角形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B，落在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖1所示.連結(jié)AC,

在RtAABC中，AB=3,BC=4,.,.AC=742+32=5-

沿AE折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B處，，NAB，E=NB=90。,

當(dāng)ACEB，為直角三角形時(shí)，只能得到NEBC=90。，

.?.點(diǎn)A、B\C共線(xiàn)，即NB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)AC上的點(diǎn)處，

.,.EB=EB\AB=AB,=3,；.CB，=5-3=2,設(shè)BE=x,貝I]EB，=x,CE=4-x,在RtZkCEB，中,

33

?..EB'2+CB'2=CE2,.?.X2+22=(4-x)2,解得X=二，，BE=-；

22

②當(dāng)點(diǎn)B，落在AD邊上時(shí)，如圖2所示.

3

此時(shí)ABEB，為正方形，.，.BE=AB=3.綜上所述，BE的長(zhǎng)為一或3.故選D.

2

2.如圖，矩形ABCD中，已知點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，沿DM將三角形CDM進(jìn)行翻折，點(diǎn)C

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,若AB=6,BC=8,則BE的長(zhǎng)度為（）

【解答】D

【解析】；矩形ABCD中，已知點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，AB=6,BC=8,

，CD=AB=6,BM=CM=4,DM=y/CD2+CM2=2^/13,

?.,沿DM將三角形CDM進(jìn)行翻折，；.ME=CM=4,NEMD=NCMD,；.BM=EM,

過(guò)M作MF1.BE于F,如圖所示:

由題意得BE=2BF,ZBMF=ZEMF,AZEMF+ZDME=90°,AZBME+ZCMD=90°,

VZCMD+ZCDM=90°,AZCDM=ZBMF,

BF=BM.BF4

VZBFM=ZC=90°,

一CM=~DM,"~T2^/13

BF=卑工/.BE=2BF=16-/13

J-O13

3.如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將AABE沿BE折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，延長(zhǎng)

BG交CD于點(diǎn)E連接EF,若CF=1,DF=2,則BC的長(zhǎng)是（）

A.3^/3B.\/26C.5D.2-76

【解答】D

【解析】過(guò)點(diǎn)E作EM_LBC于M,交BF于N,如圖所示:

?.?四邊形ABCD是矩形，...NA=NABC=90。，AD=BC,

；/EMB=90。，...四邊形ABME是矩形，；.AE=BM,

由折疊的性質(zhì)得：AE=GE,ZEGN=ZA=90°,，EG=BM,

；/ENG=NBNM,.,.△ENG絲△BNM(AAS),；.NG=NM,ACM=DE,

是AD的中點(diǎn)，.?.AE=ED=BM=CM,

：EM〃CD,.,.BN:NF=BM:CM,

.\BN=NF,：.NM=1^CF=1^,：.NG=^1,

???BG=AB=CD=CF+DF=3,

15

：?BN—BG—NG=3——=—?

乙乙i

，BF=2BN=5,

BC=VBF2-CF-=A/52-12=2^/6.

4.如圖，正方形紙片ABCD沿直線(xiàn)BE折疊，點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)G處，連接BG并延長(zhǎng)，交

CD于點(diǎn)H,延長(zhǎng)EG交AD于點(diǎn)F,連接FH.若AF=FD=6,則FH的長(zhǎng)為.

/

【解答】F^=3V5

【解析】連接BF,如圖所示:

?.,四邊形ABCD是正方形，.*.ZA=ZC=90°,AB=BC=AF+FD=12,

由折疊可知，BG=BC=12,ZBGE=ZBCE=90°AAB=GB,

在RSABF和RSGBF中，BF=BF,AB=GB

ARtAABF^RtAGBF(HL),AZAFB=ZGFB,FA=FG,

又：AF=FD,；.FG=FD,同理可證RsFGH絲RlAFDH,/GFH=ZDFH,

；./BFH=NBFG+/GFH=；xl800=90。，AZAFB+ZDFH=90°,

又：NAFB+NABF=90°,AZABF=ZDFH,

p人“ABBF

乂?.?/A=ND=90°,.?.△ABFs/XDFH,-zr--——

UbrH

在RtAABF中，由勾股定理可得AF=y/AB2+AF'2=A/122+62=6v個(gè),

5.如圖，矩形紙片ABC。，A8=5,BC=3,點(diǎn)P在邊上，將ACDP沿OP折疊,

點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE,OE分別交A3于點(diǎn)。，F(xiàn),且OP=OE,則AE的值為

【詳解】解：「四邊形ABCD是矩形，C￡>=AB=5.AD=3C=3,

N8=NC=NA=90°

M)EP是由\CDP沿。尸折疊而來(lái)的

DE=CD=5,EP=CP2E=NC=90°，；.ZB=NE

又.NFOE=NPOBQP=OF,:.kOEFwAOBP(AAS),EF=BP,OE=OB

BF=BO+OF=EO+OP=EP=CP

設(shè)石廠二臺(tái)。=x,則。Z7=5—x,BT7=CP=3—x,AF=AB—BF=5—(3—x)=2+x

在&AAD/中，根據(jù)勾股定理得：相>2+4尸=0產(chǎn)，即32+(2+》)2=(5—》)2,解得

6

X--

7

?C62020

AF=2+-=——，故答案為：一

777

6.如圖，將矩形紙片ABCD沿MN折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，再將ACDN沿DN折疊。使

點(diǎn)C恰好落在MN上的點(diǎn)F處。若MN=5,則AD的長(zhǎng)為.

【解析】由折疊可知：點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，.?.NEDN=90。,

?四邊形ABCD是矩形，ZADC=90°,

NEDM+NMDN=ZCDN+ZMDN,，ZEDM=ZCDN,

:/E=/C=90。，DE=DC,.?.△DEM=ADCN(ASA),；.DM=DN,

由折疊，可得NBNM=/DNM,NDNC=/DNM,

.,.ZBNM=ZDNM=ZDNC=^-X180°=60°,.;△DMN是等邊三角形，，DM=MN

o

=5,

15

:點(diǎn)C恰好落在MN上的點(diǎn)F處，.?.NDFN=90。，即DF1MN,AMF=NF=MN=-,

1515

.??AD=AM+DM=,/?AD—.

7.在矩形ABCD中，AB=IO,P是邊AB上一點(diǎn)，把APBC沿直線(xiàn)PC折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)是點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)B作BELCG,垂足為E且在AD上，BE交PC于點(diǎn)F

(1)求證：BP=BF；

(2)當(dāng)BP=8時(shí)，求BEEF的值.

【解答】(1)見(jiàn)解析：(2)80

【解析】(I)在矩形ABCD中，ZABC=90°,

'.?△BPC沿PC折疊得到AGPC,；./PGC=/PBC=90。，/BPC=/GPC,

'.,BE1CG,；.BE〃GP,.*.ZGPF=ZPFB,NBPF=NBFP,；.BP=BF；

(2)連接GF,如圖所示：

?.?/GEF=/BAE=90。，BF〃PG,BF=PG,...四邊形BPGF是平行四邊形,

：BP=BF,.?.平行四邊形BPGF是菱形，

；.BP〃GF,，NGFE=/ABE,AAGEF^AEAB,

...第=黑，...BE?ER=4區(qū)?G尸=10X8=80.

rGUH

8.已知一個(gè)矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(11,0),點(diǎn)8(0,6),

點(diǎn)P為B

邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)戶(hù)不與點(diǎn)8、C重合)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)。、P折疊該紙片，得點(diǎn)方和折痕OP.設(shè)BP=f.

(1)如圖①，當(dāng)/8。尸=30。時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)(2)如圖②，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線(xiàn)P所上，得點(diǎn)C和折痕PQ,若

AQ=m,求相(用含有，的式子表示)；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)C"恰好落在邊04上時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果).

在RtA。8P中，由N8OP=30。，BP=t,得0P=2f.

?：OP2=OB2+BP2,即(2r)2=62+P,解得：h=2?,、=-2?(舍去)....點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2

遮，6)；

(2)?:△OB'P、分別是由AO8P、AQCP折疊得到的，

當(dāng)AOBP,AQC'PGAQCP,：.ZOPB'=ZOPB,ZQPC'=ZQPC,

■：ZOPB'+ZOPB+ZQPC+ZQPC=180°,/.ZOPB+ZQPC=90°,

,:NBOP+NOPB=90。,：.NBOP=NCPQ,

又?.?/OBP=NC=90°,：.40BPs4PCQ,P§=BP)

PCCQ

由題意設(shè)AQ=m,BC=\1,AC=6,貝CQ=6-m.---=——，

ll-t6-m

.?."『I?產(chǎn)-旦什6(0<Z<11)；