高中理科數(shù)學解題方法篇軌跡方程

1、題目高中數(shù)學復習專題講座曲線的軌跡方程的求法高考要求求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一 求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關系 這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點重難點歸納求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法(1)直接法 直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程(2)定義法 若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙

2、曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求(3)相關點法 根據(jù)相關點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程(4)參數(shù)法 若動點的坐標(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性 要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念典型題例示范講解例1如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程命題意圖本題主要考查利用“相關點代入法”求曲線的軌跡方程知識依托利用平面幾何的基本知識和兩點間的距離公式建立線段AB中點的軌跡

3、方程錯解分析欲求Q的軌跡方程，應先求R的軌跡方程，若學生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實質(zhì)，很難解決此題技巧與方法對某些較復雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求得軌跡方程解設AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR|又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動設Q(x,y)，R(x1,y

4、1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程例2設點A和B為拋物線 y2=4px(p0)上原點以外的兩個動點，已知OAOB，OMAB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線命題意圖本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程知識依托直線與拋物線的位置關系錯解分析當設A、B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)時，注意對“x1=x2”的討論技巧與方法將動點的坐標x、y用其他相關的量表示出來，然后再消掉這些量，從而就建立了關于x、y的關系解法一設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x0)直線AB的方程

5、為x=my+a由OMAB，得m=由y2=4px及x=my+a，消去x,得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa, x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2所以故x=my+4p,用m=代入，得x2+y24px=0(x0)故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點解法二設OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得AB的方程為，過定點，由OMAB，得M在以ON為直徑的圓上（O點除外）故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點解法三設

6、M(x,y) (x0)，OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得由OMAB，得M既在以OA為直徑的圓上，又在以OB為直徑的圓上（O點除外），+得 x2+y24px=0(x0)故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點例3某檢驗員通常用一個直徑為2 cm和一個直徑為1 cm的標準圓柱，檢測一個直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？命題意圖本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力知識依托圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點

7、錯解分析正確理解題意及正確地將此實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是順利解答此題的關鍵技巧與方法研究所給圓柱的截面，建立恰當?shù)淖鴺讼?，找到動圓圓心的軌跡方程解設直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與O相內(nèi)切，與A、B相外切建立如圖所示的坐標系，并設P的半徑為r,則|PA|+|PO|=(1+r)+(15r)=25點P在以A、O為焦點，長軸長25的橢圓上，其方程為=1 同理P也在以O、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為(x)2+y2=1 由、可解得，r=故所求圓柱的直徑為cm例4已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數(shù),求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲

8、線解建立坐標系如圖所示，設|AB|=2a,則A(a,0）,B(a,0)設M(x,y）是軌跡上任意一點則由題設，得=,坐標代入，得=,化簡得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)當=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線(y軸)(2)當1時，點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0點M的軌跡是以(，0）為圓心，為半徑的圓學生鞏固練習1已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動點Q的軌跡是( )A圓B橢圓 C雙曲線的一支D拋物線2設A1、A2是橢圓=1的長軸兩個端點，P1、P2

9、是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為( )ABCD3ABC中，A為動點，B、C為定點，B(,0),C(,0)，且滿足條件sinCsinB=sinA,則動點A的軌跡方程為_4高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為A(5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是_5已知A、B、C是直線l上的三點，且|AB|=|BC|=6，O切直線l于點A，又過B、C作O異于l的兩切線，設這兩切線交于點P，求點P的軌跡方程6雙曲線=1的實軸為A1A2，點P是雙曲線上的一個動點，引A1QA1P，A2QA2P，

10、A1Q與A2Q的交點為Q，求Q點的軌跡方程7已知雙曲線=1(m0,n0)的頂點為A1、A2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點P、Q(1)求直線A1P與A2Q交點M的軌跡方程；(2)當mn時，求所得圓錐曲線的焦點坐標、準線方程和離心率8已知橢圓=1(ab0),點P為其上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點，F(xiàn)1PF2的外角平分線為l，點F2關于l的對稱點為Q，F(xiàn)2Q交l于點R(1)當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；(2)設點R形成的曲線為C，直線ly=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點，當AOB的面積取得最大值時，求k的值參考答案1解析|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1

11、|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,動點Q到定點F1的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓答案A2解析設交點P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共線，A2、P2、P共線，解得x0=答案C3解析由sinCsinB=sinA,得cb=a,應為雙曲線一支，且實軸長為,故方程為答案4解析設P(x,y），依題意有,化簡得P點軌跡方程為4x2+4y285x+100=0答案4x2+4y285x+100=05解設過B、C異于l的兩切線分別切O于D、E兩點，兩切線交于點P由切線的性質(zhì)知|BA|=|BD|，|PD|=|PE|

12、，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點為原點，建立坐標系，可求得動點P的軌跡方程為=1(y0)6解設P(x0,y0）(x±a),Q(x,y)A1(a,0),A2(a,0)由條件而點P(x0,y0)在雙曲線上，b2x02a2y02=a2b2即b2(x2)a2()2=a2b2化簡得Q點的軌跡方程為a2x2b2y2=a4(x±a)7解(1)設P點的坐標為(x1,y

13、1)，則Q點坐標為(x1,y1),又有A1(m,0),A2(m,0),則A1P的方程為y=A2Q的方程為y=×得y2=又因點P在雙曲線上，故代入并整理得=1此即為M的軌跡方程(2)當mn時，M的軌跡方程是橢圓()當mn時，焦點坐標為(±,0)，準線方程為x=±,離心率e=；()當mn時，焦點坐標為(0,±),準線方程為y=±,離心率e=8解(1)點F2關于l的對稱點為Q，連接PQ，F(xiàn)2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因為l為F1PF2外角的平分線，故點F1、P、Q在同一直線上，設存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0)|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+