2024年九年級中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)幾何模型6將軍飲馬解決線段和問題

沖刺中考中考提優(yōu)幾何模型六沖刺中考中考提優(yōu)幾何模型六“將軍飲馬”專題（解決線段和問題的主要方法）幾何專題六：“將軍飲馬”模型【模型概述】“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn).模型一：兩個定點一個動點模型作法結(jié)論當(dāng)兩定點A、B在直線異側(cè)時，在直線上找一點P，使PA+PB最小.連接AB交直線于點P，點P即為所求作的點.PA+PB的最小值為AB當(dāng)兩定點A、B在直線同側(cè)時，在直線上找一點P使得PA+PB最小作點A關(guān)于的對稱點A′，連接A′B、A′B與直線的交點即為點P.PA+PB的最小值為模型作法結(jié)論在直線同側(cè)有A、B兩個定點，在直線上找到一點P，使得|PAPB|的值最大.連接AB并延長與的交點為點P，點P即為所求作的點.|PAPB|的最大值為AB在直線兩側(cè)各有一個定點，分別是點A、B，在直線上找到一點P，使得|PAPB|的值最大.作點B關(guān)于直線的對稱點B′，連接AB′并延長與的交點為點P，點P即為所求作的點.|PAPB|的最大值為在直線同側(cè)有A、B兩個定點，在直線上找到一點P，使得|PAPB|的值最小.連接AB，作AB的垂直平分線與直線交于點P，點P即為所求作的點.|PAPB|的最小值為0典型例題例1：如圖，正方形ABCD的面積是12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形內(nèi)，在對角線AC上有一點P，則PD+PE的最小值是.例2：如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是.例3：如圖，點C的坐標(biāo)標(biāo)為（3，），當(dāng)△ABC的周長最短，求的值.例4：如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P為CD上的動點，則|PAPB|的最大值是多少？作業(yè)訓(xùn)練1.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在DC上，且DM=1，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（

）A．4B．C．D．52.如圖，點M是菱形ABCD的邊BC的中點，P為對角線BD上的動點，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（）A．2B．C．D．13.已知線段AB及直線，在直線上確定一點P，使PA+PB最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（

）．A． B．C． D．4.如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點P是矩形ABCD內(nèi)一動點，且，則PC+PD的最小值是（

）A．B．C．D．5.如圖，等邊三角形ABC的邊BC上的高為6，AD是BC邊上的中線，M是線段AD上的一個動點，E是AC中點，則EM+CM的最小值為_________．6.如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動點，則DN＋MN的最小值是______．7.如圖，正方形ABCD中，AB=7，M是DC上的一點，且DM=3，N是AC上的一動點，求|DNMN|的最小值與最大值.模型二：一個定點兩個動點模型作法結(jié)論點P在∠AOB的內(nèi)部，在OA上找一點C，在OB上找一點D，使△PCD的周長最小.分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求點.P′P″即為△PCD的周長最小值.點P在∠AOB的內(nèi)部，在OA上找一點C，在OB上找一點D，使PD＋CD的值最小.作點P關(guān)于OB的對稱點P′，過點P′作P′C⊥OA交OB于點D，交OA于點C，點C、D即為所求點.P′C為PD＋CD的最小值.點P在∠AOB的內(nèi)部，在OA、OB上分別取點C、D，使得△PCD的周長最小分別作點P、Q關(guān)于OA、OB的對稱點P′、Q′，連接P′Q′分別交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求點.△PCD的周長最小值為PQ＋P′Q典型例題例1：如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10.在OA上有一點Q，OB上有一點R.。若△PQR周長最小，則最小周長是多少？例2：已知∠MON=40°，P為∠MON內(nèi)一定點，A為OM上的點，B為ON上的點，當(dāng)△PAB的周長取最小值；（1）找到A、B兩點，保留作圖痕跡；（2）求此時∠APB等于多少度.如果∠MON=，∠APB又等于多少度？例3：如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小，并求此時∠AMN+ANM的度數(shù).作業(yè)訓(xùn)練1.如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是邊AC上一點，若AE＝2，則EM＋CM的最小值為（

）A． B． C． D．2.如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=3cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，∠AOB=30°，則△PMN周長的最小值是______．3.如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是．4.如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE＞AE，在BC，DE上分別找一點M，N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為．5.如圖，∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)的一點，PO＝10，點Q，R分別在∠AOB的兩邊上，△PQR周長的最小值是．6.如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動點，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是．7.已知：M、N分別是∠AOB的邊OA、OB上的定點，（1）如圖1，若∠O＝∠OMN，過M作射線MD∥OB（如圖），點C是射線MD上一動點，∠MNC的平分線NE交射線OA于E點．試探究∠MEN與∠MCN的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若P是線段ON上一動點，Q是射線MA上一動點．∠AOB＝20°，當(dāng)MP+PQ+QN取得最小值時，求∠OPM+∠OQN的值．模型三：兩定點一定長模型作法結(jié)論如圖，在直線上找M、N兩點(M在左)，使得AM+MN+NB最小，且MN=.將A向右平移個單位到，作關(guān)于的對稱點，連接與直線交于點N，將點N向左平移個單位即為M，點M、N即為所求.A″B+即為AM+MN+NB的最小值.如圖，∥，，間的距離為，在，分別找M、N兩點，使得MN⊥，且AM+MN+NB最小.將A向下平移個單位得到A′，連接A′B，交直線于點N，過點N作MN⊥，連接AM.點M、N即為所求.A′B+即為AM+MN+NB的最小值.典型例題：例1：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示.點A在軸正半軸上，點C在軸正半軸上，且OA=6，OC=4，D為OC中點，點E，F(xiàn)在線段OA上，點E在點F的左側(cè)，EF=2.當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時，求點E的坐標(biāo).例2：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點A、B分別在軸、軸的正半軸上，A（3,0），B（0,4），D為邊OB的中點.（1）若E為邊OA上的一個動點，求△CDE的周長最小值;（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=1，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標(biāo).例3：村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B之間的距離最短？作業(yè)訓(xùn)練1.如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD的中點，點P、Q為BC上兩個動點，且PQ＝3，當(dāng)CQ＝時，四邊形APQE的周長最?。?.如圖，O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，AB=8，M，N是直線BC上的動點，且MN=2，則OM+ON的最小值是____________．3.如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=______．4.如圖，我區(qū)某中學(xué)教學(xué)區(qū)與住宿區(qū)被公路隔開，為了保障師生安全，學(xué)校準(zhǔn)備在公路上建設(shè)一座過街天橋CD(公路兩邊互相平行，且要求天橋與公路垂直)，已知該校教學(xué)樓A到公路一邊的距離AE=20m，宿舍樓B到公路邊的距離BF=25m，公路寬度為35m，教學(xué)樓A與宿舍樓B的直線距離AB=100m，則修建的天橋CD若保證從教學(xué)樓A與宿舍樓B的距離(即AC+CD+DB)最短，則這個最短距離是m.5.如圖，已知四邊形ABCD四個頂點的坐標(biāo)為A(1，3)，B(m，0)，C(m+2，0)，D(5，1)，當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時，m的值為.幾何專題六：“將軍飲馬”模型【模型概述】“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn).模型一：兩個定點一個動點模型作法結(jié)論當(dāng)兩定點A、B在直線異側(cè)時，在直線上找一點P，使PA+PB最小.連接AB交直線于點P，點P即為所求作的點.PA+PB的最小值為AB當(dāng)兩定點A、B在直線同側(cè)時，在直線上找一點P使得PA+PB最小作點A關(guān)于的對稱點A′，連接A′B、A′B與直線的交點即為點P.PA+PB的最小值為模型作法結(jié)論在直線同側(cè)有A、B兩個定點，在直線上找到一點P，使得|PAPB|的值最大.連接AB并延長與的交點為點P，點P即為所求作的點.|PAPB|的最大值為AB在直線兩側(cè)各有一個定點，分別是點A、B，在直線上找到一點P，使得|PAPB|的值最大.作點B關(guān)于直線的對稱點B′，連接AB′并延長與的交點為點P，點P即為所求作的點.|PAPB|的最大值為在直線同側(cè)有A、B兩個定點，在直線上找到一點P，使得|PAPB|的值最小.連接AB，作AB的垂直平分線與直線交于點P，點P即為所求作的點.|PAPB|的最小值為0典型例題例1：如圖，正方形ABCD的面積是12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形內(nèi)，在對角線AC上有一點P，則PD+PE的最小值是.解析：連接BD，與AC交于點F.∵點B與D關(guān)于AC對稱，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小，∵正方形ABCD的面積為12，∴AB=又∵△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=故所求最小值為例2：如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是.解析：過點C作CO⊥AB于O，延長CO到C′，使OC′=OC，連接DC′，交AB于E，連接CE，此時DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小連接BC′，由對稱性可知：∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=2，∵D是BC邊的中點，∴BD=1，根據(jù)勾股定理可得：DC′=.故答案為：例3：如圖，點C的坐標(biāo)標(biāo)為（3，），當(dāng)△ABC的周長最短，求的值.解析：∵點C坐標(biāo)為（3，），∴點C在直線x=3上，作點B(2，0)關(guān)于直線x=3的對稱點B′(4，0)連接AB交直線x=3于點C，此時AC+BC的值最小，因為線段AB長度為定值，所以此時△ABC的周長最短.設(shè)直線AB′的解析式為，將點A（0,3），B′（4,0）代入，得解得：∴直線AB′的解析式為.∴當(dāng)時，.例4：如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P為CD上的動點，則|PAPB|的最大值是多少？解析：作A關(guān)于CD的對稱點A′，連接A′B交CD于P，則點P就是使|PAPB|的值最大的點，|PAPB|=A′B連接A'C∵△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∴∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，∵∠BCD=15°，∴∠ACD=75°，∴∠CAA'=15°，∵AC=A'C，∴A'C=BC，∠CA'A=∠CAA'=15°，∴∠ACA'=150°，∵∠ACB=90°，∴∠A'CB=60°，∴△A'BC是等邊三角形，∴A'B=BC=4，故答案為：4.作業(yè)訓(xùn)練1.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在DC上，且DM=1，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（D）A．4B．C．D．5【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與D關(guān)于直線AC對稱，∴DN=BN，連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，∴當(dāng)B、N、M共線時，DN+MN有最小值，則BM的長即為DN+MN的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CD=4，DM=1∴CM=CDDM=41=3，在Rt△BCM中，BM=故DN+MN的最小值是5．故選：D．2.如圖，點M是菱形ABCD的邊BC的中點，P為對角線BD上的動點，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（B）A．2B．C．D．1【解析】解：連接AM、AC，AM交BD于P，此時PM+PC最小，連接CP，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，AC⊥BD，∴C和A關(guān)于BD對稱，∴AP=PC，∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=2，∵M(jìn)是BC的中點，∴AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴BM=1，∴AM=，∴PM+PC=AM=．故選B．3.已知線段AB及直線，在直線上確定一點P，使PA+PB最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（C）．A． B．C． D．【解析】解：∵點A，B在直線l的同側(cè)，∴作B點關(guān)于l的對稱點B'，連接AB'與l的交點為P，由對稱性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′為最小故選：C．4.如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點P是矩形ABCD內(nèi)一動點，且，則PC+PD的最小值是（B）A．B．C．D．【解析】解：如圖，作PM⊥AD于M，作點D關(guān)于直線PM的對稱點E，連接PE，EC．設(shè)AM=x．∵四邊形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，∵S△PAB=S△PCD，∴×4×x=××4×（6x），∴x=2，∴AM=2，DM=EM=4，在Rt△ECD中，EC==4，∵PM垂直平分線段DE，∴PD=PE，∴PC+PD=PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值為4．故選：B．5.如圖，等邊三角形ABC的邊BC上的高為6，AD是BC邊上的中線，M是線段AD上的一個動點，E是AC中點，則EM+CM的最小值為____6____．【解析】解：連接BE，與AD交于點M．∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴B、C關(guān)于AD對稱，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值．∵E是等邊△ABC的邊AC的中點，AD是中線∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值為6，故答案為：6．6.如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動點，則DN＋MN的最小值是___10___．【解析】解：∵正方形是軸對稱圖形，點B與點D是關(guān)于直線AC為對稱軸的對稱點，∴連接BN，BD，∴BN＝ND，∴DN＋MN＝BN＋MN，連接BM交AC于點P，∵點N為AC上的動點，由三角形兩邊和大于第三邊，知當(dāng)點N運(yùn)動到點P時，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值為BM的長度，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故答案為：10．7.如圖，正方形ABCD中，AB=7，M是DC上的一點，且DM=3，N是AC上的一動點，求|DNMN|的最小值與最大值.【解析】（1）如圖，作DM的垂直平分線交AC于點N，連接DN、NM，此時ND=NM，所以|DNMM|有最小值0.（2）∵|DNMN|≤DM，∴當(dāng)點N運(yùn)動到C點時，|DNMN|有最大值為DM的長，∴|DNMN|最大值為3.模型二：一個定點兩個動點模型作法結(jié)論點P在∠AOB的內(nèi)部，在OA上找一點C，在OB上找一點D，使△PCD的周長最小.分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求點.P′P″即為△PCD的周長最小值.點P在∠AOB的內(nèi)部，在OA上找一點C，在OB上找一點D，使PD＋CD的值最小.作點P關(guān)于OB的對稱點P′，過點P′作P′C⊥OA交OB于點D，交OA于點C，點C、D即為所求點.P′C為PD＋CD的最小值.點P在∠AOB的內(nèi)部，在OA、OB上分別取點C、D，使得△PCD的周長最小分別作點P、Q關(guān)于OA、OB的對稱點P′、Q′，連接P′Q′分別交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求點.△PCD的周長最小值為PQ＋P′Q典型例題例1：如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10.在OA上有一點Q，OB上有一點R.若△PQR周長最小，則最小周長是多少？【解析】設(shè)∠POA=θ,則∠POB=30°θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E,即ME=PM.作PN⊥OB與OB相交于N,并將PN延長一倍到F,即NF=PN.連接EF與OA相交于Q,與OB相交于點R，再連接PQ,PR,OE,OF，則△PQR即為周長最短的三角形.∵OA是PE的垂直平分線，∴EQ=QP；同理,OB是PF的垂直平分線，∴FR=RP，∴△PQR的周長=EF.∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30°θ)=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的條件下，△PQR的最小周長為10.例2：已知∠MON=40°，P為∠MON內(nèi)一定點，A為OM上的點，B為ON上的點，當(dāng)△PAB的周長取最小值；（1）找到A、B兩點，保留作圖痕跡；（2）求此時∠APB等于多少度.如果∠MON=，∠APB又等于多少度？【解析】（1）如圖所示：如下圖所示：連接AP、BP.∵點A′與點P關(guān)于直線OM對稱，點B′與點P關(guān)于ON對稱，∴AP′⊥OM，B′P⊥ON，A′A=AP，B′B=BP.∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′，∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，∴∠MON+∠CPD=180°，∴∠CPD=180°40°=140°，在△A′B′P中，由三角形的內(nèi)角和定理可知:∠A′+∠B′=180°140°=40°，∴∠CPA+∠BPD=40°，∴∠APB=140°40=100°，如果∠MON=，則ZCPD=180°在△A′B′P中，由三角形的內(nèi)角和定理可知:∠A′+∠B′=，∴∠CPA+∠BPD=，∴∠APB=180°2.例3：如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小，并求此時∠AMN+ANM的度數(shù).【解析】作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN周長的最小值.作DA延長線AH，如圖所示：∵∠BAD＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝70°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，

∠NAD＋∠A″＝∠ANM，

∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×70°＝140°。作業(yè)訓(xùn)練1.如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是邊AC上一點，若AE＝2，則EM＋CM的最小值為（C）A． B． C． D．【解析】解：連接BE，交AD于點M，過點E作EF⊥BC交于點F，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴B點與C點關(guān)于AD對稱，∴BM＝CM，∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此時EM＋CM的值最小，∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4，在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，∴FC＝2，EF＝2，在Rt△BEF中，BF＝4，∴BE＝2，故選：C．2.如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=3cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，∠AOB=30°，則△PMN周長的最小值是__3___．【解析】解：如圖所示，過點P分別作P點關(guān)于OB、OA邊的對稱點、，連接、、、、，其中分別交OB、OA于點N、M，根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，此時點M、N的位置是使得周長的最小的位置．由對稱性可知：，，為等邊三角形∴△PMN的周長===3故答案為：33.如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是．【解析】解：作M關(guān)于OB的對稱點M′，作N關(guān)于OA的對稱點N′，如圖所示：連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝3，ON′＝ON＝5，在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝．故答案為：．4.如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE＞AE，在BC，DE上分別找一點M，N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為120．【解答】解：作A點關(guān)于BC的對稱點A'，關(guān)于ED的對稱點A''，連接A'B，A''E，∴AM＝A'M，AN＝A''N，∴AM+AN+MN＝A'M+MN+A''M＝A'A''，此時△AMN的周長最小，∵∠B＝∠E＝90°，∴A、B、A'共線，A、E、A''共線，∴∠A'＝∠A'AM，∠A''＝∠NAE，∴∠A'AM+∠NAE＝∠A''+∠A'＝180°﹣∠BAE，∵∠BAE＝120°，∴∠A''+∠A'＝∠A'AM+∠NAE＝∠60°，∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣（120°﹣∠A'AM﹣∠NAE）＝120°，故答案為120°．5.如圖，∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)的一點，PO＝10，點Q，R分別在∠AOB的兩邊上，△PQR周長的最小值是10．【解析】解：如圖所示，分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P'、P''，連接P'P''交OA、OB于點Q、R，此時，△PQR的周長最小，最小即為P'P''的長．連接OP'，OP''．根據(jù)軸對稱性可得：∠P''OB＝∠BOP，∠P'OA＝∠AOP，OP＝OP'＝OP''＝10，∵∠AOB＝45°，∴∠P'OP''＝90°，∴P'P''＝＝＝．故答案為：10．6.如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動點，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是．【解答】解：如圖，作點P關(guān)于AB，AC的對稱點E，F(xiàn)，連接PE，PF，PA，EM，F(xiàn)N，AE，AF．∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝＝5，由對稱的性質(zhì)可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝180°，∴E，A，F(xiàn)共線，∵M(jìn)E＝MP，NF＝NP，∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，∵EM+MN+NF≥EF，∴EF的值最小時，PM+MN+PN的值最小，∵EF＝2PA，∴當(dāng)PA⊥BC時，PA的值最小，此時PA＝＝，∴PM+MN+PN≥，∴PM+MN+PN的最小值為．故答案為：．7.已知：M、N分別是∠AOB的邊OA、OB上的定點，（1）如圖1，若∠O＝∠OMN，過M作射線MD∥OB（如圖），點C是射線MD上一動點，∠MNC的平分線NE交射線OA于E點．試探究∠MEN與∠MCN的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若P是線段ON上一動點，Q是射線MA上一動點．∠AOB＝20°，當(dāng)MP+PQ+QN取得最小值時，求∠OPM+∠OQN的值．【解答】解：（1）設(shè)∠O＝∠OMN＝α，∴∠MNB＝2α，∵M(jìn)D∥OB，∴∠AMD＝α，∵NE平分∠MNC，∴∠MNE＝∠ENC，設(shè)∠MNE＝β，∴∠CNB＝2α﹣2β，∵M(jìn)D∥OB，∴∠MCN＝2α﹣2β，∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN，∴∠MEN＝α﹣β，∴2∠MEN＝∠MCN；（2）作M點關(guān)于OB的對稱點M'，N點關(guān)于OA的對稱點N'，連接M'N'與OB、OA分別交于點P、點Q，連接ON'、OM'，∴MP+PQ+QN＝M'N'，此時MP+PQ+QN的值最小，由對稱性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），∵∠AOB＝20°，∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，∴∠OPM+∠OQN＝200°．模型三：兩定點一定長模型作法結(jié)論如圖，在直線上找M、N兩點(M在左)，使得AM+MN+NB最小，且MN=.將A向右平移個單位到，作關(guān)于的對稱點，連接與直線交于點N，將點N向左平移個單位即為M，點M、N即為所求.A″B+即為AM+MN+NB的最小值.如圖，∥，，間的距離為，在，分別找M、N兩點，使得MN⊥，且AM+MN+NB最小.將A向下平移個單位得到A′，連接A′B，交直線于點N，過點N作MN⊥，連接AM.點M、N即為所求.A′B+即為AM+MN+NB的最小值.典型例題：例1：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示.點A在軸正半軸上，點C在軸正半軸上，且OA=6，OC=4，D為OC中點，點E，F(xiàn)在線段OA上，點E在點F的左側(cè)，EF=2.當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時，求點E的坐標(biāo).【解析】如圖將點D向右平移2個單位得到D'(2，2)，作D'關(guān)軸的對稱點D″(2，2)，連接BD″交于點F，將點向左平移2個單位到點E，此時點E和點F為所求作的點，且四邊形BDEF周長最小.∵DD'=EF=2，DD'∥EF，∴四邊形D'DEF是平行四邊形，∴DE=D'F，∵四邊形BDEF的周長為BD+DE+EF+BF，BD與EF是定值，∴BF+DE最小時，四邊形BDEF周長最小，∵BF+ED=BF+FD'=BF+FD″=BD″，設(shè)直線BD'的解析式為y=kx+b,把B(6，4)，D″(2，2)代入，得：，，∴直線BD'的解析式為，令y=0，得x=，∴點F的坐標(biāo)為（，0），∴點E的坐標(biāo)為（，0）.例2：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點A、B分別在軸、軸的正半軸上，A（3,0），B（0,4），D為邊OB的中點.（1）若E為邊OA上的一個動點，求△CDE的周長最小值;（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=1，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標(biāo).【解析】如圖，作點D關(guān)于軸的對稱點D'，連接CD'與x軸交于點E，連接DE.模型可知△CDE的周長最小.∵在形矩形OACB中，OA=3，OB=4，D為OB的中點，∴D(0，2)，C(3，4)，D'(0，2)，設(shè)直線CD'為y=kx+b，把C(3，4)，D'(0，2)代入，得：，，∴直線CD為y=2x2，令y=0，得x=1，∴點E的坐標(biāo)為(1，0)，∴OE=1，AE=2.利用勾股定理得CD=，DE=，CE=，∴△CDE周長的最小值為+.（2）如圖，將點D向右平移1個單位得到D'(1，2)，作D'關(guān)于x的對稱點D″(1，2)，連接CD″交x軸于點F，將點F向左平移1個單位到點E，此時點E和點F為所求作的點，且四邊形CDEF周長最小.理由:∵四邊形CDEF的周長為CD+DE+EF+CF，CD與EF是定值，∴DE+CF最小時，四邊形BDEF周長最小，∵DE+CF=D'F+CF=FD″+CF=CD″，設(shè)直線CD″的解析式為y=kx+b，把C(3，4)，D(1，2)代入，得：，，∴直線CD″的解析式為y=3x5，令y=0，得x=，∴點F的坐標(biāo)為（，0），∴點E的坐標(biāo)為（，0）.例3：村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B之間的距離最短？【解析】解:如下圖所示：作BD⊥l2，取BB'等于河寬，連接AB交l1于C1，作C1C2⊥l2于C2，連接C2B，∵BB'∥C1C2，BB'=C1C2，∵四邊形BB'C1C2是平行四邊形，∴B'C1=BC2，∵A與B之間的距離等于BC2+C1C2+AC1=BB'+BC1+C1A，其中BB'等于河寬，∴當(dāng)B'、C1、A在同一條直線上時，BC1+C1A=B'A最小，∴A→C1→C2→B為最短路線，即A與B之間的距離最短，故C1C2即為橋所在的位置.作業(yè)訓(xùn)練1.如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD的中點，點P、Q為BC上兩個動點，且PQ＝3，當(dāng)CQ＝53【解析】解：點A向右平移3個單位到M，點E關(guān)于BC的對稱點F，連接MF，交BC于Q，此時MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝8