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絕密★啟用前2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(文史類)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3至9頁,共150分,考試時間120分鐘??荚嚱Y(jié)束,將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷(選擇題共40分)注意事項:答第Ⅰ卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上。每小題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡頗擦干凈后,再選涂其他答案。不能答在試卷上。一、本大題共8小題,第小題5分,共40分。在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項。(1)若集合A={x|2≤x≤3}≤3,B={x|x<1或x>4},則集合A∩B等于(A){x|x≤3或x>4} (B){x|-1<x≤3}(C){x|3≤x<4} (D){x|-2≤x<1}(2)若a=log3π,b=log76,c=log20.8,則(A)a>b>c (B)b>a>c(C)c>a>b (D)b>c>a(3)“雙曲線的方程為”是“雙曲線的準線方程為x=”的(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件(4)已知△ABC中,a=,b=,B=60°,那么角A等于(A)135° (B)90° (C)45° (D)30°(5)函數(shù)f(x)=(x1)2+1(x<1)的反函數(shù)為(A)f1(x)=1+(x>1) (B)f1(x)=1(x>1) (C)f1(x)=1+(x≥1) (D)f1(x)=1(x≥1)xy+1≥0,(6)若實數(shù)x,y滿足x+y≥0,則z=x+2y的最小值是x≤0,(A)0 (B) (C) 1 (D)2(7)已知等差數(shù)列{an}中,a2=6,a5=15.若bn=a2n,則數(shù)列{bn}的前5項和等于(A)30 (B)45 (C)90 (D)186(8)如圖,動點P在正方體ABCDA1B1C1D1的對角線BD1上,過點P作垂直平面BB1D1D的直線,與正方體表面相交于M、N.設(shè)BP=x,MN=y,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是 絕密★使用完畢前2008年普通高等學校校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(文史類)(北京卷)第Ⅱ卷(共110分)注意事項:用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚。題號二三總分151617181920分數(shù)二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。把答案填在題中橫線上。(9)若角a的終邊經(jīng)過點P(1,2),則tan2a的值為.(10)不等式的解集是.(11)已知向量a與b的夾角為120°,且|a|=|b|=4,那么a·b的值為.(12)若展開式中常數(shù)項為;各項系數(shù)之和為.(用數(shù)字作答)(13)如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f(f(0))=;函數(shù)f(x)在x=1處的導數(shù)f′(1)=.(14)已知函數(shù)f(x)=x2cosx,對于[-]上的任意x1,x2,有如下條件:x1>x2;
②x21>x22;③|x1|>x2.其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件序號是.三、解答題:本大題共6小題,共80分。解答應(yīng)寫出文字說明。演算步驟或證明過程。(15)(本小題共13分)已知函數(shù)的最小正周期為π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]上的取值范圍.(16)(本小題共14分)如圖,在三棱錐PABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(Ⅰ)求證:PC⊥AB;(Ⅱ)求二面角BAPC的大小.(17)(本小題共13分)已知函數(shù)是奇函數(shù).(Ⅰ)求a,c的值;(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(18)(本小題共13分)甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到A,B,C,D四個不同的崗位服務(wù),每個崗位至少有一名志愿者.(Ⅰ)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率;(Ⅱ)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率。(19)(本小題共14分)已知△ABC的頂點A,B在橢圓上,C在直線l:y=x+2上,且AB∥l.(Ⅰ)當AB邊通過坐標原點O時,求AB的長及△ABC的面積;(Ⅱ)當∠ABC=90°,且斜邊AC的長最大時,求AB所在直線的方程.(20)(本小題共13分)數(shù)列{an}滿足(Ⅰ)當a2=1時,求λ及a3的值;(Ⅱ)數(shù)列{an}是否可能為等差數(shù)列?若可能,求出它的通項公式;若不可能,說明理由;(Ⅲ)求λ的取值范圍,使得存在正整數(shù)m,當n>m時總有an<0.
絕密★考試結(jié)束前2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(文史類)(北京卷)參考答案選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)(1)D(2)A(3)A(4)C(5)B(6)A(7)C(8)B二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)(9)(10)|x|x<2|(11)8(12)1032(13)22(14)②三、解答題(本大題共6小題,共80分)(15)(共13分)解:(Ⅰ)==因為函數(shù)f(x)的最小正周期為π,且ω>0,所以解得ω=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得因為0≤x≤,所以≤≤所以≤sin≤1.因此0≤≤,即f(x)的取值范圍為[0,](16)(共14分)解法一:(Ⅰ)取AB中點D,連結(jié)PD,CD.∵AP=BP,∴PD⊥AB.∵AC=BC.∴CD⊥AB.∵PD∩CD=D.∴AB⊥平面PCD.∵PC平面PCD,∴PC⊥AB.(Ⅱ)∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC,∴PC⊥BC.又∠ACB=90°,即AC⊥BC,且AC∩PC=C,∴BC⊥平面PAC取AP中點E,連接BE,CE∵AB=BP∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影,∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角BAPC的平面角.在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BE=,∴sin∠BEC=∴二面角BAPC的大小為aresin解法二:(Ⅰ)∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC,∴PC⊥AB.(Ⅱ)如圖,以C為原點建立空間直角坐標系Cxyz.則C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).設(shè)P(0,0,t),∵|PB|=|AB|=2,∴t=2,P(0,0,2).取AP中點E,連結(jié)BE,CE.∵|AC|=|PC|,|AB|=|BP|,∴CE⊥AP,BE⊥AP.∴∠BEC是二面角BAPC的平面角.∵E(0,1,1),∴cos∠BEC=∴二面角BAPC的大小為arccos(17)(共13分)解:(Ⅰ)因為函數(shù)g(x)=f(x)2為奇函數(shù),所以,對任意的x∈R,g(x)=g(x),即f(x)2=f(x)+2.又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以x3+ax23bx+c2=x3ax23bxc+2.所以{解得a=0,c=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=x3+3bx+2.所以f′(x)=3x2+3b(b≠0).當b<0時,由f′(x)=0得x=±x變化時,f′(x)的變化情況如下表:x(∞,)(,)(,+∞)f′(x)+00+所以,當b<0時,函數(shù)f(x)在(∞,)上單調(diào)遞增,在(,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.當b>0時,f′(x)>0.所以函數(shù)f(x)在(∞,+∞)上單調(diào)遞增.(18)(共13分)解:(Ⅰ)記甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)為事件EA,那么P(EA)=即甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率是(Ⅱ)記甲、乙兩個同時參加同一崗位服務(wù)為事件E,那么P(E)=所以,甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P()=1P(E)=(19)(共14分)解:(Ⅰ)因為AB∥l,且AB邊通過點(0,0),所以AB所在直線的方程為y=x.設(shè)A,B兩點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).由得所以又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離,所以(Ⅱ)設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m. 由得 因為A,B在橢圓上, 所以 設(shè)A,B兩點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2). 則 所以 又因為BC的長等于點(0,m)到直線l的距離,即 所以 所以當m=1時,AC邊最長.(這時) 此時AB所在直線的方程為y=x1.(20)(共13分)解:(Ⅰ)由于且a1=1, 所以當a2=1時,得, 故 從而(Ⅱ)數(shù)列{an}不可能為等差數(shù)列.證明如下: 由a1=1,得 若存在,使{an}為等差數(shù)列,則a3a2=a2a1,即 解得=3. 于是這與{an}為等差數(shù)列矛盾,所以,對任意,{an}都不可能是等差數(shù)列.(
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