淺談數(shù)學課堂如何以“探”促學

淺談數(shù)學課堂如何以“探”促學——以“圓的周長”的教學設計為例上海民辦南模中學趙倩倩摘要：新課標中強調數(shù)學課程要培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，其中就包含了培養(yǎng)學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界。如何教會學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界？如何教會學生用數(shù)學的方法自主探究解決生活中的實際問題？這就需要教師在課堂中創(chuàng)設機會讓學生體驗“引入問題—提出猜想—驗證猜想”這一層層遞進的探究過程，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。在本文中筆者以滬教版教材六年級上學期第四章第一節(jié)《圓的周長》為例，介紹了如何以“引入問題—提出猜想—驗證猜想”的探究過程促進學生對圓的周長問題的學習。關鍵詞：初中數(shù)學數(shù)學教學圓的周長新課教學中的“動手實踐”越來越受到老師們的關注，將探究融入課堂強調的是讓學生作為課堂的主體，課堂中不僅有教師的“教”，也有學生的“主動學”。傳統(tǒng)教學方式中，老師單一地將知識教授給學生，課堂上學生參與度較少，這一教學方式只能鍛煉學生的記憶力，非常不利于學生探究能力的發(fā)展和數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)。對于學生探究能力的培養(yǎng)，教師應該充分發(fā)揮學生的主體作用，從始到終讓學生全方位參與，從發(fā)現(xiàn)問題到提出猜想，再到驗證猜想，最后得出結論。那么如何才能做到讓學生真正參與到“提出猜想-驗證猜想-得出結論”的探究全過程中呢？筆者以滬教版教材六年級上學期第四章第一節(jié)《圓的周長》為例，淺談如何以“引入問題—提出猜想—驗證猜想”的探究過程促進學生對圓的周長問題的學習。1、引入問題教學片段1：情景引入激發(fā)學生求知欲師：今年寒假同學們有沒有走進電影院去看電影呀？能不能給老師介紹一下生1：我去看了《獨行月球》生2：我也去看了！感覺宇宙世界好神奇！師：老師在假期中也去看了《獨行月球》，大家對哪個橋段印象最深刻呀？生3：獨孤月和袋鼠的橋段生4：獨孤月為了取得宇宙之錘原型機并返回月盾基地，駕駛太陽能月球車一路向西追趕太陽的橋段師：這個橋段的確非常緊張刺激，想要知道獨孤月能不能追上太陽，我們就要知道獨孤月繞月球一周需要的時間，在已知車速的情況下，要解決這個問題我們還必須獲得什么信息呢？生5：我們必須知道繞月球一周行駛的距離師：如果我們把獨孤月的行駛軌跡近似成一個圓，那我們要求的就是？生6：圓的周長師：那么本節(jié)課我們就一起來幫幫獨孤月，一起來探究一下圓的周長該如何求解評析：抓住六年級學生的興趣特征，從他們感興趣的電影出發(fā)，引發(fā)他們對“圓的周長”的求知欲，從而引入本節(jié)課對“圓的周長”的學習。2、提出猜想教學片段2：化曲為直動手測量圓的周長師：請各位同學拿出圓規(guī)，在筆記本上畫一個圓。（學生作圖）師：同學們在畫圓的過程中其實我們一起復習了一下圓的定義，即以固定長度繞固定點旋轉一周所形成的圖形。那請同學們繼續(xù)思考一下，你覺得圓的周長指的是什么？生1：圓外面這一圈的長度生2：圓規(guī)鉛筆這一端畫出的長度師：老師在課前給到每組同學不同幣值的硬幣，動腦想一想如何測量這些硬幣的周長呢？生1：可以讓硬幣沿著直尺滾一圈，看硬幣滾過的距離。師：這位同學為大家介紹了“滾動法”，實際操作中同學們可以在硬幣上做一個記號，固定直尺將記號與0刻度重合，然后讓硬幣沿著直尺滾一圈，注意硬幣始終緊貼直尺，當記號再次與直尺重合時，讀取記號所在刻度即可。（動畫展示測量過程）還有沒有其他方法？生2：我的尺可以彎折，可以把尺繞硬幣一圈，讀取與零刻度重合的刻度。師：很好，但也要注意直尺的厚度，如果太厚就會產(chǎn)生誤差了。還有其他方法嗎？生3：為了減少誤差，我們可以用細線繞硬幣一圈，然后展開細線，測量細線的長度。師：這位同學為我們介紹了“繞線法”，用一根細線繞硬幣一圈，分別在頭尾做好標記，然后將細線在直尺上展開，測量兩個標記點之間的距離，即為圓的周長。為了減少誤差，我們在繞線時也應該注意讓細線緊貼硬幣（動畫展示測量過程）師：那大家是怎么想到這些方法的呢？生1：因為生活中我們能夠很容易地測得直線的長度，那么在測圓的時候就要想辦法把圓變成直線。師：這位同學提到了一個很重要的數(shù)學思想——轉化，我們通過“滾動”“繞線”將要測的圓的周長轉換為我們能測得直線的長度，做到了“化曲為直”。師：那如何測量圓的直徑呢？生4：讓直尺過圓心，然后測量硬幣與直尺兩交點間距離師：這位同學和我們強調了要過圓心，但大家想想，實際生活中硬幣的圓心我們能一眼看到嗎？生3：不能，我們可以利用兩塊三角板將圓固定在直尺上師：你上來示范給大家看一下生3操作如圖師：介紹完測量方法之后，請同學們一起動手來測量一下硬幣的周長。（給到充分的時間讓學生們動手合作測量硬幣的周長）評析：動手測量生活中的圓的周長是本節(jié)課中一個非常重要的環(huán)節(jié)，從方法介紹到讓學生動手操作，這一過程筆者給到了學生10分鐘左右的時間，看似非?！吧莩蕖?，但筆者認為是很有必要的。在介紹方法時，筆者在學生回答的基礎上明確了操作步驟并附上測量動畫，以此幫助學生在經(jīng)歷“親手實踐”之后能夠獲得準確的數(shù)據(jù)，從而有利于后續(xù)探究的發(fā)展，提高學生的探究興趣。新課標中提到“學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數(shù)學的重要方式?！?，所以作為課堂主導者的教師應該要舍得花時間讓學生動手實踐，讓學生能夠真正體會到探索生活中圓的周長的全過程，只有在實踐中學生們才會總結出滾動法的可操作性低于繞線法，因為滾動法的操作過程中很難保證硬幣始終緊貼直尺，而繞線法的可操作性就會高很多。親手測量周長這一探究過程也能夠幫助學生更直觀地理解“化曲為直”，培養(yǎng)學生的轉化思想。教學片段3：分析數(shù)據(jù)“探”周長直徑兩者關系師：老師在黑板上記錄下大家動手測量的寶貴數(shù)據(jù)，現(xiàn)在請各位同學來觀察一下，你能發(fā)現(xiàn)周長與直徑什么關系？生1：首先我們可以很容易的看出，直徑越大，周長越大師：這是一個規(guī)律，還有沒有其他發(fā)現(xiàn)？生2：五角硬幣的周長是直徑的3倍師：你對數(shù)據(jù)進行進一步加工，將周長與半徑相除得到了五角硬幣的周長是直徑的3倍，那其他的數(shù)據(jù)是不是也是3倍關系呢？請所有同學一起來動筆算一算。生3：雖然不是整數(shù)3倍，但是都接近3倍。師：由此大家有什么猜想？生4：圓的周長與直徑的比值接近3師：通過分析我們親手測量的數(shù)據(jù)，我們提出了猜想，圓的周長與直徑的比值是一個定值且接近3評析：在分析數(shù)據(jù)提出猜想的過程中，筆者反復肯定學生所測量的數(shù)據(jù)的重要性，并告訴同學們數(shù)據(jù)是我們提出猜想解決問題的根本。因此探索圓的周長的測量方式是非常必要的，動手實踐階段的明確操作步驟也能盡可能縮小實驗數(shù)據(jù)的誤差值，從而幫助學生發(fā)現(xiàn)圓的周長與直徑之間的倍數(shù)關系。這里在計算圓的周長與直徑之比時，一定會出現(xiàn)各組數(shù)據(jù)不一致的情況，但正是因為這個“不一致”才能夠讓學生感知到圓的周長與直徑的比值并不是一個整數(shù)，而且一個“全新的數(shù)”，可為π是無限不循環(huán)小數(shù)進行鋪墊。分析數(shù)據(jù)這一探究過程可以培養(yǎng)學生對信息的處理能力，實驗數(shù)據(jù)中圓的周長與直徑之比的不一致性也為培養(yǎng)學生的思辨能力提供了很好的機會。3、驗證猜想教學片段4：引數(shù)學史借“割圓術”論證猜想師：在古代，數(shù)學家們和你們提出了一樣的猜想，讓我們來看看他們是如何論證自己的猜想的。我國古代數(shù)學家對這個比值進行了長期研究。3世紀中期，魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術，為計算圓的周長與直徑的比值建立了嚴密的理論和完善的算法。（老師幾何畫板展示并講解割圓術）師：到了南北朝時期，祖沖之在劉徽的基礎上繼續(xù)努力，終于將這個比值精確到了小數(shù)點后七位。在西方這個成就是在1593年取得的，比祖沖之晚了一千一百多年。后來人們發(fā)現(xiàn)這個比值是個無限不循環(huán)小數(shù)，近似等于3.14，從而論證了同學們的猜想。評析：利用數(shù)學史解決“驗證猜想”這一難題，但這里的數(shù)學史并不是簡單地告知，而是通過幾何畫板讓學生更為直觀地體會“割圓術”，體會當n越來越大時，圓的內接正n變形的周長會無限逼近圓的周長，從而理解計算圓的周長與直徑比值的方法，在介紹這個方法的過程中，繁瑣的數(shù)據(jù)也能讓學生體會到古人的毅力與堅持，從而激發(fā)他們的民族自豪感。這里考慮到六年級學生的學情，所以以“看”的形式讓學生探究如何證明自己的猜想，培養(yǎng)學生的求真意識。4、引入概念教學片段5：識圓周率解計算圓的周長之惑師：我們站在古人的肩膀上驗證了自己的猜想，從而得到圓的周長與直徑的比值是一個定值，我們將這個定值叫作圓周率，用π表示。并且我們知道π是一個數(shù)，是一個無限不循環(huán)小數(shù)。有了π之后，現(xiàn)在大家能不能通過直徑求解圓的周長了呢？生1：C=πd評析：本節(jié)課中帶領學生認識圓周長、認識圓周率都是一種事實性知識的教授，很多同學在此之前已經(jīng)了解π就是圓周率，但他們并不知道π就是圓的周長與直徑的比值，通過“引入問題—提出猜想—驗證猜想”這一層層遞進的探究過程，筆者相信一定能夠幫助學生更好地理解圓周率，明白計算圓的周長的方法。5、習題鞏固求下列各圓的周長，要求保留π例題目的:板書過程，規(guī)范答題格式例2、當圓的半徑擴大為原來的三倍時，下列說法正確的是()A.圓的直徑擴大為原來的6倍B.圓的周長擴大為原來的3倍C.圓的周長擴大為原來的6倍D.圓的周長擴大為原來的3π倍例題目的:得到結論:同圓的周長之比等于直徑之比等于半徑之比例3、一只鬧鐘的時針長為3cm，它的頂端在一晝夜里走過的路程是多少cm？（π取3.14）例4、現(xiàn)在有一根圓柱形的水泥柱，用皮尺量出水泥柱的周長是157cm，則這根水泥柱的半徑是多少cm？（π取3.14）例題目的：對公式進行實際應用，做到知一求一，已知周長會求半徑，已知半徑會求周長。給出月球半徑1737.10千米，回答引入問題。評析：“理解為先”理論認為當教師的教學旨在使學習者理解可遷移的概念和過程，給其提供更多機會將理解的內容應用到有意義(即真實情境)的情境時，才更可能獲得長期的成就。學習者通過主動建構意義(即理解的過程)來學習和鞏固所學的知識和技能，并將學習結果應用到新的情境中。因此例題設計中筆者設計了兩道實際問題旨在訓練學生對公式進行實際應用，并在最后利用本節(jié)課所學內容解答了最一開始提出的問題，讓學生通過探究解決問題，體會圓的周長的實際意義，加強學生對圓的周長的理解。結束語：本節(jié)課立足于學生的親身體驗和自由表達，圓周長公式作為本節(jié)課的重點并沒有直接給到學生，而是讓學生動手測量圓的周長和直徑，觀察數(shù)據(jù)并探索圓周長和直徑之間的關系，整個過程突出開放性和探索性，充分發(fā)揮學生的主體作用，從始到終讓學生全方位參與。相比傳統(tǒng)教學模式中將圓周率、圓的周長公式直接給到學生，在數(shù)學課堂中融入探究學習，讓學生通過“引入問題—提出猜想—驗證猜想”這一層層遞進的探究過程，可以幫助學生主動發(fā)現(xiàn)圓的周長和直徑之間的關系，從而真正理解圓周率，得出計算圓周長的公式?！袄斫鉃橄取崩碚撜J為當我們把獲取知識當作方法而不是最終目的，從長遠的眼光看，學生才能學得更多并且更加積極主動地參與學習。筆者認為在數(shù)學課堂中，教師的教學不能僅局限于數(shù)學知識的傳授，而應該教會學生學習數(shù)學知識的方法，這就需要教師在課堂中組織學生積極探索、通過探究活動發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律和方法。教師不應該只停留在課時知識的傳授，更加應該做學生的引導者，而學生作為探究的實施者，不應該只停留在完成老師的指令，更加應該在課堂上體驗“引入問題—提出猜想—驗證猜想”這