考研數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖高等數(shù)學(xué)篇

有界性

、奇偶性

周期性

函數(shù)連續(xù)性設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在某點(diǎn)連續(xù),則它們的和、差、積、商都在該點(diǎn)連續(xù)

有界性與最大值和最小值定理?

!閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)￡

零點(diǎn)定理?

r、，函數(shù)極限?

ZE義

數(shù)列極限0

第一章函數(shù)與極限唯一性極限若存在，必唯一

性質(zhì)/局部有界性Q

局部保號(hào)性G

有限個(gè)無(wú)窮小之和是無(wú)窮小

無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小

無(wú)窮小的魄o

（1）化簡(jiǎn)先行（等價(jià)替換*恒等變形.抓大頭）

8見到8?0,化為F?或4-

￡11

一OO?0

運(yùn)算6.迎"-0g

函數(shù)極限（2）判別類型7種未定戔—8-8有分母，則通分；沒有分母，創(chuàng)造分母

運(yùn)算步驟優(yōu)。八力二/（刈叫力

一洛必達(dá)法則

⑶使用工具泰勒公式?

一通項(xiàng)已知且易于連續(xù)化，用歸結(jié)原HJ_1即將數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限計(jì)算

數(shù)列極限通哽理但丕易于S續(xù)化,用頰遜LO

通項(xiàng)由遞推式給出的,_甩單調(diào)有界準(zhǔn)則若該數(shù)列單調(diào)遞增有上界或單掉遞減有下界，則該數(shù)列收斂

連續(xù)若lim/'（x）=仆。），則稱a）在x=廝處連續(xù)

xfq______________________________________

可去間斷點(diǎn)：（1）三（2）X（3）

連續(xù)與間斷⑴同/⑴⑵］而/（工）⑶/5）,莫二類間斷點(diǎn)繾在

應(yīng)用<_??r跳躍間斷點(diǎn)：（1）,（2）

第二類間斷點(diǎn)，（1）、（2）至少有一個(gè)不存在無(wú)窮間斷點(diǎn)、振當(dāng)間斷點(diǎn)都屬于第二類

?？迹簾o(wú)定義點(diǎn)一定是間斷點(diǎn)；_分段點(diǎn)可能是間斷點(diǎn)

漸近線水平漸近線'鉛直漸近線、斜漸近線O1/31

①在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最小值和最大值⑨sinx=x-+。(13)arcsinx=尤+L，+0(馬

66

②設(shè)函數(shù)()在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號(hào)(即?

/X/(a)/(b)/5)/3)<0),tame=x+-^x3+O(JC3)arctanx=A:--x3+O(JC3)

則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn).使/《)=0.

③設(shè)函期(x)在閉區(qū)間a用上連續(xù)，且在這區(qū)間媼點(diǎn)取不同的函數(shù)值,/(“)=4/仙)=反cosx=l--x2+—x4+o(x4)

7則對(duì)于>1與5之間的任意一個(gè)數(shù)7,在開區(qū)間a,6)內(nèi)至少有一，既，使徼G)=C(a<f<6).224

V-2v-34

ln(l+x)=%一丁+丁一丁+o(/)

(4)▼￡>0,皿>0,當(dāng)0<,7()|<附，有|/(x)—旬<￡=[im〃x)=4

XT/

r2尤3

ex=1+xH----1----I-O(JC3)

⑤\/e〉Q,3N>0,當(dāng)〃>N時(shí)，有一a|<￡<=>Hm%=a-2!3!

〃一>8

---=1+X+尤2+丁+o(x3)(|x|<1)

(6)若存在lim/(x)=4則33>0,當(dāng)0<|x-x0卜那j,m”>0,使|/(刈<加1X

XT”

⑩如果數(shù)列｛xj,尻｝,｛zj滿足兩個(gè)條件：⑴y?<xn<z?(2)ljmy?=a,]jmz?=a

〃一>8〃一>8

⑦若lim/(x)=z>0,貝歸6>o,當(dāng)0<k一x(J<州，/(x)>o

則數(shù)列｛x〃的極限存在，limx〃=a

XTX。

zt—><?

若lim/(x)=z<o,則m3>o,當(dāng)o<卜一人|<胡寸，/'(X)<o

若lim/W=乂，則y=必為一條水平漸近線；若lim/(幻=%，則，=必為一條水平漸近線；

@如果lim2=0,那么就說(shuō)尸是比a高階的無(wú)窮小，記作夕=。(。).￥->+*>XT-8

若lim/'。)=lim"》)=%，則y=判為一條水平漸近線

aNT+??X-4-0O

如果lim2=8,那么就說(shuō)力是比加氐階的無(wú)窮小

若lim/(x)=00或lim/(“)=8,則x=/為一條鉛直漸近線。

a

如果那么就說(shuō)萬(wàn)與。是同階無(wú)窮小=

lim2=cw0,若lim'°)尢，limL/。)一匕X]=",則y=kix+4是曲線=/(幻的一條斜漸近線

a.V-4+ooXXT+OO

若))則是曲線的一條斜漸近線

如果1由烏=。工0,%>0,那么就說(shuō)夕是關(guān)于。的印介無(wú)窮小lim"'=^2dimLA(-V-k2x]=b2,y=+4y=/(x)

X-?-8XX—>><*>

a

若lim"lim'(')=及'limL/(x)—lim1/(幻―女工]二b,則歹="+方是曲線,二/(入-)的一■條斜漸近線

如果lim2=1,那么就說(shuō)戶與a是等價(jià)無(wú)窮小，記作a?萬(wàn)

a

2/31

數(shù)列極限的定義㈣1140V￡>0,3N>0,當(dāng)”>N時(shí)，有W-⑷<￡

是常數(shù)

設(shè)數(shù)列｛工｝收斂，則()

唯一一(A)當(dāng)limsinx”=0時(shí),limx“=0<B)當(dāng)1而(.丫“+樂J)=0時(shí)=0

(C)當(dāng)lim(x,+x：)=0時(shí)Jimx”=0(D)當(dāng)lim(xjsin.vn)=0時(shí),limxn=0

設(shè)數(shù)列｛%｝單調(diào)減少,｛2｝單調(diào)增加，Hlirn(aB-6n)=0.則()

極限性質(zhì)

有界性廠")｛”"｝收斂，｛2｝不收斂(B)｛七｝不收斂，｛4｝收斂

(C)｛an｝，也｝均收斂，但!叫"(D)｛aJ,也｝均收斂，且!叫a尸!叫"

設(shè)數(shù)列｛q｝滿足!叫方=1，則()

(A)｛4｝有界(B)｛明｝不存在極限

")｛4｝自某項(xiàng)起同號(hào)(D)｛凡｝自某項(xiàng)起單調(diào)

｛4｝是數(shù)列，下列命題中不正確的是<)

<A>則limx-a

收斂的充要條件」若!叫*j"，叫吧知=limX2B^,=a(B)若lim=lim*21+1H

(C)若limx“=a，則lim.%==a(D)若lim=limx”.]則limx=a

?-4—M7―H-4-H-?-?-?—‘n

4.4

%+i=ln(l+a“),(〃=1,2，…)⑴證明lima1T存在，并求此極限值.⑵求lim

直接計(jì)算法「設(shè)q=3,=。：+Q(八=1,2,…)，求極限出］

J一先算后證設(shè)。<X[<%，J=sin4(〃=1,2,3/一),求limxH,并計(jì)算lim

II/B-?WJ?—??

適用情形:與遞推關(guān)系xn+1=f(Xn)有關(guān)的問題

一①證明數(shù)列有黑一里避

使用步驟②假設(shè)數(shù)列極限為A,通過遞推式兩端求極限

―③建立關(guān)于A的方程進(jìn)而求出極限A.

作差法：.q“——>0(<0)

/作商:色

“數(shù)學(xué)一歸納re法—:先算—極限，利用極限來(lái)套E數(shù)?學(xué)歸納法

.竽》而30,修0)用備+產(chǎn)

數(shù)列極限

證明單調(diào)常用方法!

0<x</時(shí),sinx<x<tanx

單調(diào)有界準(zhǔn)則］常用的一些不等式

「一<ln(!+.v)<x(x>0)

l+x

e-l>x(x>0)

求施T.W能流就X/、"。時(shí)'…123,…),求王.

承至歸納法L已知再=+煮=1,求limX*

證明有界震用方法證明有界拉格朗日中靛理嬲洌｛工｝1齪：%>06佇?*-1(〃=12人一),證叫七｝1|嫩痢啊！天

數(shù)列極限的

I常用的一些不笠式一設(shè)數(shù)歹耳兀卜蔭足:x>O,x.e"=4-1(〃=123,7,證明｛4｝收斂，并求吧￡

存在性與計(jì)算

證什么n項(xiàng)"和式”的數(shù)列極限，無(wú)法進(jìn)行變量連續(xù)化;

竽》而心。/。)￥+%+&+…+"N而

2n

0<x<三時(shí)，sinx<x<tanx

用基本放縮方法2

夾逼準(zhǔn)則"么證.

--------<ln(1+x)<x(x>0)

1+x

ex-\>x(x>0)

4

題設(shè)給出條件來(lái)推證設(shè)玉>0,1=3+—(〃=1,2,…)，證明師工存在，并求此極限值.

x?

設(shè)函^/(x)/(O)=0,f\x｝>0,

與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系,一⑺證明:當(dāng)xe(0.D時(shí)，有/⑴x</(x)v八0川

(〃)若/⑴20,/'(0)S1,任意取與良(0.1)?x“=/*一|),〃=1,2,…，證明：limX“存在，并求值.

,,與積分聯(lián)系—設(shè)q=J：X.Ql—dx,"=1""面(〃=1,2」-)求極限1加：

Ifca

與中值定理聯(lián)系設(shè)數(shù)列｛七｝滿足：X〉0,”3=*-l(〃=LZ3,…)，證明｛xj收斂，并求limx.

\』J(1)證明方祗=2ln(l+x)在(0,8)內(nèi)有唯一實(shí)根J

綠食蠅結(jié)與漉例吟廠⑵對(duì)于⑴中的多任%定5=21n(l+x/〃=l,2,…)，證明limx1

?-**

(1)證明方程tanx=x在(麗,麗+衛(wèi))內(nèi)存在實(shí)根以〃=1,2.-

?”與區(qū)間(列)聯(lián)系尸2

(2)求極限吧(氟-

(1)證明為T0,時(shí)，不等式Octal?x-Wvx'成立

'跡鰥「⑵/,=￡tan'，求X

AT"

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專題1：加減慎用極限類事指函數(shù)“X嚴(yán)

有點(diǎn)極限基礎(chǔ)的同學(xué)應(yīng)該都知道乘除運(yùn)算的時(shí)候我們可以隨意的使用等價(jià)無(wú)窮小，但是加減混合運(yùn)算的時(shí)候,對(duì)于等價(jià)無(wú)完小的使用我們

就需要諜慎了.如

,x-sinx..

l.hm-----：—=Inn

—<■xJ-

,x-sinx

2.lim-----：—=lim0（錯(cuò)解）一|、rJ「J*卜—「閆葉「，3%-維表冊(cè)i

?-*ni-?o

v-2.hm-——1~^—=hm-----------=hme=hme=hme?=e-（正解：泰物）

x-*?ofrX-*MCx-***x*f*?

與呵金m,很多學(xué)生習(xí)慣了用兩個(gè)重要極限:㈣（l+x）；ne如上:在①,②化筒步驟中.題目出現(xiàn)了加減運(yùn)京所以一開始運(yùn)用兩個(gè)電要極限的等價(jià)無(wú)窮小訶聲.出現(xiàn)了錯(cuò)誤.由此我們可以在觀察一卜這

但是在實(shí)際計(jì)算中有些加減運(yùn)算不太容易看出來(lái),如極限I叫。+加

e

兩個(gè)題目.我們可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)題目都是個(gè)分式（即有分子分母）并且都含有某指函數(shù)（幫帶函數(shù)：/（X）N”類型的函數(shù)，非我們高中學(xué)過的那些

來(lái)做這道題目，如下:

拓本初等函數(shù)）.由此我們可以簡(jiǎn)單的小結(jié)似后遇到分式并且含有解指函數(shù)的一定要先化簡(jiǎn)杼指南數(shù)：八萬(wàn)）"“=小"””,然后將分子分母能化

簡(jiǎn)的部分先化簡(jiǎn),化荷完了再算極限.

1（錯(cuò)解:等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

其實(shí):基礎(chǔ)好的同學(xué)都知道.極限算到后期出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因都是用了等價(jià)無(wú)窮小，假如書上沒有介紹等價(jià)無(wú)窮小這個(gè)東西,那么我們算極限

?般不會(huì)錯(cuò),但是所有的題目計(jì)算量會(huì)增大,意思就是等價(jià)無(wú)窮小這個(gè)東西給我們帶來(lái)了方便也會(huì)有?些小麻煩.另?方面,我們知道考研極限

,里班?=|（錯(cuò)解:等價(jià)無(wú)窮?。┯?jì)算題目就一道翹目10分.我們平時(shí)練習(xí)的極限胭目都有好幾百道甚至更多，就為了那10分，所以考研的時(shí)候遇到加減運(yùn)第沒有絕時(shí)的把握…

定不要用等價(jià)無(wú)窮小.可能你的一個(gè)等價(jià)無(wú)窮小就導(dǎo)致你一年的練習(xí)白費(fèi)了，丟了這10分，就為了這個(gè)10分值汨吶們加減運(yùn)算的時(shí)候用泰勒公

看似很合理,其實(shí)卻是經(jīng)典錯(cuò)誤,原因就是加減運(yùn)期我們用了兩個(gè)要極限的那個(gè)等價(jià)無(wú)窮小，而這幾個(gè)也目較為特殊,這地方的加減運(yùn)算

式多展開兩項(xiàng).

并沒有直接給我們,而是隱藏在題目中,下面我們來(lái)看正確的解題過程.

專題2:經(jīng)典極限四則運(yùn)算法則真題一洛必達(dá)適用性問題［注】此題條件/（K）連續(xù)J（0）=0./@*0

【經(jīng)典錯(cuò)誤】

38.設(shè)f（x）連續(xù)J（Q）=0/（0）壬0,求lim」壇-」一.（真題）

…心/（小〃2/(n+4.//?)

lim」"。"洛lim---------M")------洛lim

,,20(1)加+2")+2邛(x)+//'(x)

曲一^2xjof(r)dt+xf(x)-I

如洛5"2.巧—

即上述連續(xù)使用兩次洛必達(dá),因?yàn)槁灞剡_(dá)如叫§里％（）成立的要求導(dǎo)函數(shù)）在的領(lǐng)域內(nèi)必須要存在才行撮如題目只

77/⑴曲-I山］)由+"/(*)/'x/Mxx=O

2小)給八0）=4（某個(gè)數(shù)）則此時(shí)不能保證在x=0的領(lǐng)域內(nèi)/'（X）存在,所以本題中二次洛必達(dá)求導(dǎo)的時(shí)候出現(xiàn)了/'（/）種而題目的條件沒有

?①

2工/⑺力+爐（x）L”?力?可?)=

導(dǎo)函數(shù)/'（X）在工=0的領(lǐng)域內(nèi)存在、所以讀步驟出錯(cuò)，

1-tOx"x-?O

①步計(jì)算能否成立是一個(gè)關(guān)鍵性的問題.根據(jù)極限四則運(yùn)算法則,一個(gè)極限能拆成多個(gè)極限分別計(jì)算的條件是每個(gè)極限都存在，下面通