初中數(shù)學動點問題解題思路三

動點問題解題方法探究

近幾年來，運動型問題常常被列為各省市中考的壓軸題之一。這類問題就是在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上設計一個或兩個動點，并對這些點在運動變化過程中伴隨著等量關系、變量關系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關系等進行研究考察。問題常常集幾何、代數(shù)知識于一體、數(shù)形結合，有較強的綜合性。第一頁，共十五頁。動點問題解題方法探究一、知識點梳理1、全等三角形的判定方法第二頁，共十五頁。

(1)

全等三角形的判定方法：簡記為（

）、（

）、（

），（）。（直角三角形

）

⑵

相似三角形的判定方法：類似全等三角形簡記為

（

）、（）、（

）（直角三角形）

相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應角（），

對應邊的比

（）相似比；

（當相似比=

時，兩個三角形全等）

等邊三角形的判定方法（1）定義：三邊相等的三角形。

(2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。

（3）有一個角等于°的等腰三角形是等邊三角形。

等邊三角形的性質(zhì)：（1）三邊

（）

(2)各角都是

（）°

(3)每邊上都滿足三線合一。

3、含30°角的直角三角形的性質(zhì)：30°角所對的直角邊是斜邊的

（）。第三頁，共十五頁。二、問題引入

遵義市2012年中考第26題：26．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D.（1）當∠BQD=30°時，求AP的長；（2）在運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果發(fā)生改變，請說明理由．第四頁，共十五頁。問題（1）問的解答（1）解法一：

①用含30°角的直角三角形的性質(zhì)及代數(shù)思想進行解答（在Rt△QCP中）

∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，

∴AC=BC=6，∠C=60°；又∵∠BQD=30°

∴△QCP是含有30°角的Rt△

∴PC=QC

∵P、Q同時同速出

∴AP=BQ

設AP=BQ=，則PC=6-，

QC=6+即6-x=（6+x）解得x=2

∴AP的長是2.第五頁，共十五頁。②用含30°角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形性質(zhì)進行解答（在Rt△QCP中）

∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，

∴AC=BC=6，∠C=60°

又∵∠BQD=30°

∴△QCP是含有30°角的Rt△

∴CQ=2PC

∵P、Q同時同速出發(fā)，

∴AP=BQ

∵AP+PC+BC=2AC=12∴BQ+BC+PC=CQ+PC

=12

∴PC=4

∴AP=AC-PC=2第六頁，共十五頁。③用含30°角的直角三角形的性質(zhì)及代數(shù)思想進行解答（在Rt△APD中）∵

△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴AC=BC=AB=6,

∠A=∠ABC=60°；

∵

∠BQD=30°,∴∠QDB=∠ADP=30°

∴

BQ=BD，△APD是含30角的Rt△。

∵

P、Q同時同速出發(fā)，∴AP=BQ

設AP=x,則BQ=BD=x，AD=6-x（在Rt△APD中利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半）∴6-x=2xx=2

∴

AP=2第七頁，共十五頁。解法二：用三角形全等知識進行解答

過P作PF∥QC

則△AFP是等邊三角形∴

PF=AP∵

△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴AC=BC=AB=6,

∠A=∠ABC=60°；又∵∠BQD=30°，∴∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°∵P、Q同時出發(fā)、速度相同，

即BQ=AP∴BQ=PF∴△DBQ≌△DFP,∴BD=DF∵∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°,∴BD=DF=FA=

AB=

=2,∴AP=2.第八頁，共十五頁。解法三：用相似三角形知識進行解答∵P、Q同時同速出發(fā),∴AP=BQ設AP=BQ=

，則PC=6-,QC=6+在Rt△APE中，∠A=60°,∠AEP=90°∴∠APE=30°∴AE=

AP=∵∠CQP=30°，∠C=60°∴∠CPQ=∴∠CPQ=∠AEP=又∵∠A=∠C=60°∴△APE∽△CQE利用

即第九頁，共十五頁。問題(2)在運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？

如果不變，求出線段的長；

如果發(fā)生改變，請說明理由．解法一：用等邊三角形性質(zhì)進行解答解：線段DE的長不變.由（1）的解法(二)知BD=DF而△APF是等邊三角形，PE⊥AF,∴AE=EF∴BD+AE=FD+EF又(FD+EF)+(BD+AE)=AB

=6,即ED+ED=6

∴ED=3為定值，即ED的長不變第十頁，共十五頁。PPT內(nèi)容概述動點問題解題方法探究。問題常常集幾何、代數(shù)知識于一體、數(shù)形結合，有較強的綜合性。(2）三個角都相等的三角形是等邊三角形?！郃C=BC=6，∠C=60°。即6-x=（6+x）解得x=2。②用含30°角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形性質(zhì)進行解答（在Rt△QCP中）?！郃P=AC-PC=2。③用含30°角的直角三角形的性質(zhì)及代數(shù)思想進行解答（在Rt△APD中）。設AP=x,則BQ=BD=x，AD=6-x。（在Rt△APD中利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半）。即BQ=AP∴BQ=PF。即ED+ED=6?！郃E=BF，PE=QF。=FD+DE=6。設AP=BQ=。二：解決此類問題的基本思想方法：。三：中考動點問題可能出現(xiàn)的幾何圖形第十一頁，共十五頁。(2)解法二：構造三角形與△APE全等過點Q作QF⊥AB的延長線于點F先證△APE≌△BQF∴AE=BF，PE=QF又∵∠QDF=∠PDE再證△QDF≌△PDE∴FD=DE∵AB=AE+DE+BD=BF+BD+DE

=FD+DE=6∴DE=3為定值，

即 DE的長不變F第十二頁，共十五頁。(2)解法三：構造三角形與△ADP全等在AB的延長線上截取BF=BQ，再連結FQ設AP=BQ=先證△BQF是等邊三角形∴BF=BQ=FQ=

∠BFQ=60°∵∠A=∠BFQ=60°,

∠QDF=∠PDA

再證△QDF≌△PDA則FD=AD=

（AB+BF）

=（6+

）=3+∵AE=

AP=∴DE=AD-AE=3+-=3F第十三頁，共十五頁。學以致用如圖，A、B兩點的坐標分別是（8，0），（0、6），點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標原點）方向向點O作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，若設運動時間為t（0＜t＜

）秒．解答如下問題：當t為何值時，PQ∥BO？第十四頁，共十五頁。四：小結與反思一：本課動點問題求解的知識基礎：1、全等三角形判定