河北省部分示范性高中2024屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題含答案

河北省部分示范性高中2024屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題含答案本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘．第I卷（選擇題共58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知，是全集的兩個(gè)非空子集，若，則下列說(shuō)法可能正確的是（）A． B． C． D．2．已知，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．3．若，為虛數(shù)單位，則（）A． B． C．1 D．4．2023年10月31日，神州十六號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，激發(fā)了學(xué)生對(duì)航天的熱愛(ài)．某校組織高中學(xué)生參加航天知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，眾數(shù)為，則（）A．， B．， C．， D．，5．已知，則（）A． B． C． D．6．如圖，已知圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為1，，分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線與所成角為，則（）A．1 B． C．1或2 D．2或7．已知橢圓：的離心率為，左頂點(diǎn)是，左、右焦點(diǎn)分別是，，是在第一象限上的一點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．若，則直線的斜率為（）A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)，，且，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A． B． C． D．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則（）A．4為的一個(gè)周期B．C．由，可知D．函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為010．已知函數(shù)（，）在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，則（）A．B．若，則的最小正周期為C．關(guān)于的方程在區(qū)間上最多有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解D．若在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為11．在數(shù)列中，對(duì)于任意的都有，且，則（）A．對(duì)于任意的，都有 B．對(duì)于任意的，不可能為常數(shù)列C．若，則為遞增數(shù)列 D．若，則當(dāng)時(shí)，第II卷（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知向量，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸上找一個(gè)點(diǎn)，使得取最小值，則點(diǎn)的坐標(biāo)是________．13．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則________．14．若一個(gè)兩位正整數(shù)的個(gè)位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”，若，且，為正整數(shù)，則稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，，則小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的的最大值為_(kāi)_______．四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．（13分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求；（2）若線段上一點(diǎn)滿足，，求的長(zhǎng)度．16．（15分）如圖，在三棱柱中，平面平面，，，．（1）若，分別為，的中點(diǎn)，證明：平面；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．17．（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線：（，）的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為4．（1）求的方程；（2）如圖，為的下頂點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于軸（位于原點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間），過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)，直線，分別與交于，兩點(diǎn)，若，，，四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（17分）某種抗病毒疫苗進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，將疫苗注射到甲、乙兩地的一些小白鼠體內(nèi)，小白鼠血樣的某項(xiàng)指標(biāo)值滿足時(shí)，小白鼠產(chǎn)生抗體．從注射過(guò)疫苗的小白鼠中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了210只進(jìn)行值檢測(cè)，其中甲地120只小白鼠的值平均數(shù)和方差分別為14和6，乙地90只小白鼠的值平均數(shù)和方差分別為21和17，這210只小白鼠的值平均數(shù)與方差分別為，（與均取整數(shù)）．用這210只小白鼠為樣本估計(jì)注射過(guò)疫苗小白鼠的總體，設(shè)．（1）求，；（2）小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立，已知注射過(guò)疫苗的只小白鼠中有102只產(chǎn)生抗體，試估計(jì)的可能值（以使得最大的的值作為的估計(jì)值）；（3）對(duì)這些小白鼠進(jìn)行第二次疫苗注射后，有的小白鼠產(chǎn)生了抗體，再對(duì)這些小白鼠血樣的值進(jìn)行分組檢測(cè)，若每組只小白鼠混合血樣的值在特定區(qū)間內(nèi)，就認(rèn)為這只小白鼠全部產(chǎn)生抗體，否則要對(duì)只小白鼠逐個(gè)檢測(cè)．已知單獨(dú)檢驗(yàn)一只小白鼠血樣的檢測(cè)費(fèi)用為10元，只小白鼠混合血樣的檢測(cè)費(fèi)用為元．試給出的估計(jì)值，使平均每只小白鼠的檢測(cè)費(fèi)用最小，并求出這個(gè)最小值（精確到0.1元）．附：若，則，．參考數(shù)據(jù)：，，，．19．（17分）已知函數(shù)，．（1）若是的極值點(diǎn)，求的值；（2）判斷的單調(diào)性；（3）已知有兩個(gè)解，．（i）直接寫(xiě)出的取值范圍（無(wú)需過(guò)程）；（ii）為正實(shí)數(shù)，若對(duì)于符合題意的任意，，當(dāng)時(shí)，都有，求的取值范圍．參考答案及解析一、選擇題1．D2．B3．B4．D5．B6．D7．A8．D二、選擇題9．ABD10．ABD11．ACD三、填空題12．13．7014．四、解答題15．解：（1）由及正弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．?）由題設(shè)，，則，，，在中，，即，所以，即，所以，即，所以，解得，，在等腰三角形中，取的中點(diǎn)，連接，則，則．16．（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以直線與平面所成角為，則．在中，不妨設(shè)，則，，連接．因?yàn)?，所以，又平面平面，所以平面平面，且平面平面，平面，故平面．設(shè)的中點(diǎn)為，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，．設(shè)平面的法向量為，則即不妨取，則．易知平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．17．解：（1）因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為4，即，，又，所以，，故的方程為．（2）由，，，四點(diǎn)共圓可知，，又，即，故，即，所以，設(shè)，，，由題意可知，則直線：，直線：，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，代入直線的方程，可知，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，又，，所以，整理可得，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意，故設(shè)直線：，代入的方程可得，所以，，又，所以，故，即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．18．解：（1）解法一：記甲地小白鼠樣本的值平均數(shù)為，方差為，記乙地小白鼠樣本的值平均數(shù)為，方差為，則，，，，所以，．解法二：記甲地小白鼠樣本的值分別為，，…，，平均數(shù)為，方差為，記乙地小白鼠樣本的值分別為，，…，，平均數(shù)為，方差為，因?yàn)椋?，，，所以．由，，可得，同理，于是．?）解法一：因?yàn)?，所以．從注射過(guò)疫苗的小白鼠中取出只，其中產(chǎn)生抗體的有只，則，（，1，2，…，）．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，則．由等價(jià)于，當(dāng)且僅當(dāng)，知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)或時(shí)，最大，所以的估計(jì)值為149或150．解法二：因?yàn)?，所以．從注射過(guò)疫苗的小白鼠中取出只，其中產(chǎn)生抗體的有只，則，（，1，2，…，）．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，若，則．若，則化簡(jiǎn)得解得．綜上，的估計(jì)值為149或150．（3）記只小白鼠的檢測(cè)費(fèi)用為元，當(dāng)只小白鼠全部產(chǎn)生抗體時(shí)，，當(dāng)只小白鼠不都產(chǎn)生抗體時(shí)，，則，．因此，因?yàn)?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故平均每只小白鼠的檢測(cè)費(fèi)用的最小值約為2.8元，的估計(jì)值為10．19．解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，即，故．此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則是的極值點(diǎn)，滿足題意．綜上，．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令0，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（3）（i）由，得，即有兩個(gè)解，．令，則，且在上有兩個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則在上沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的極大值為，為使在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得．當(dāng)時(shí)，易知，因?yàn)椋裕衷谏蠁握{(diào)遞增，所以在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則，再令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，故在上