《多邊形的內(nèi)角和》教學(xué)設(shè)計(jì)

第十一章三角形11.3多邊形及其內(nèi)角和《多邊形的內(nèi)角和》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握多邊形的內(nèi)角和公式及外角和．2.運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式及外角和解決問題．二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：多邊形內(nèi)角和公式及外角和公式.難點(diǎn)：探索多邊形內(nèi)角和時，如何把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形．三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件、直尺四、相關(guān)資源《多邊形外角和》動畫、《多邊形的內(nèi)角和與外角和》微課五、教學(xué)過程（一）情境導(dǎo)入在一次數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識搶答賽上，王老師出了這么一個問題：某個多邊形所有的角加起來等于它的外角和，那么該多邊形是幾邊形？（四邊形）小敏同學(xué)僅用幾秒鐘就解決了問題，你能嗎？設(shè)計(jì)意圖：這樣一開始就利用搶答賽問題來提問設(shè)疑，學(xué)生很容易發(fā)問：這個多邊形是幾邊形呢？從而可調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和注意力，創(chuàng)設(shè)了恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境．（二）探究新知1．（1）長方形、正方形的內(nèi)角和等于多少度？任意一個四邊形的內(nèi)角和又是多少呢？（360°，360°）（2）你能利用三角形內(nèi)角和定理證明你的結(jié)論嗎？證明：連接AC，∠BAD＋∠B＋∠BCD＋∠D＝（∠BAC＋∠BCA＋∠B）＋（∠DAC＋∠DCA＋∠D），＝180°＋180°＝360°．設(shè)計(jì)意圖：感受對角線在探究四邊形內(nèi)角和中的作用，體會化歸思想．2．四邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)能引幾條對角線？它們把四邊形分割成幾個三角形？五邊形、六邊形、……、n邊形呢？（1）從四邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引1條對角線，它們將四邊形分為2個三角形，四邊形的內(nèi)角和等于180°×2＝360°．（2）從五邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引條2對角線，它們將五邊形分為3個三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°×3＝540°．（3）從六邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引3條對角線，它們將六邊形分為4個三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°×4＝720°．（4）從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（n－3）條對角線，它們將n邊形分為（n－2）個三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°×（n－2）．多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式：多邊形的內(nèi)角和等于（n－2）×180°．設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷從四邊形、五邊形、六邊形內(nèi)角和到一般多邊形內(nèi)角和的探究過程，得出多邊形內(nèi)角和公式，體會從特殊到一般的探究問題的方法；把多邊形問題轉(zhuǎn)化為熟悉的三角形問題，再次體會化歸思想的作用．3．把一個多邊形分成幾個三角形，還有其他分法嗎？有新的分法，能得出多邊形內(nèi)角和公式嗎？方法1：如圖，在五邊形ABCDE內(nèi)任取一點(diǎn)O，連結(jié)OA，OB，OC，OD，OE，則得五個三角形．∴五邊形的內(nèi)角和為5×180°－360°＝（5－2）×180°＝540°．方法2：如圖，在邊AB上取一點(diǎn)O，連OE，OD，OC，則可得（5－1）個三角形．∴五邊形的內(nèi)角和為（5－1）×180°－180°＝（5－2）×180°．如果把五邊形換成n邊形，用同樣的方法可以得到n邊形的內(nèi)角和公式：（n－2）×180°．設(shè)計(jì)意圖：嘗試用不同的方法分割多邊形，把多邊形問題轉(zhuǎn)化為熟悉的三角形問題，再次體會化歸思想的作用，進(jìn)一步加深對多邊形內(nèi)角和公式推理過程的理解．（三）例題解析【例1】如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另外一組對角有什么關(guān)系呢？解：如圖，四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝180°．∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4－2）×180°＝360°，∴∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）＝360°－180°＝180°．如果四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角也互補(bǔ)．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解文字語言，并會將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言，進(jìn)一步鞏固多邊形的內(nèi)角和公式，利用公式解決具體問題．【例2】在六邊形的每一個頂點(diǎn)處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和．六邊形的外角和等于多少呢？如圖，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分別為六邊形ABCDEF的外角，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的值．分析：多邊形的一個外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？六邊形的內(nèi)角和是多少度？解：∵∠1＋∠BAF＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEF＝180°，∠6＋∠EFA＝180°，∴∠1＋∠BAF＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEF＋∠6＋∠EFA＝6×180°．又∠BAF＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFA＝(6－2)×180°,∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝6×180°－(6－2)×180°＝360°．這就是說，六邊形的外角和為360°．如果把六邊形換成n邊形可以得到同樣的結(jié)果：因?yàn)閚邊形的每個內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，它們的和是180°，所以n邊形內(nèi)角和加外角和等于n·180°，又因?yàn)閚邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°所以，n邊形的外角和為：n·180°－（n－2）·180°＝360°．多邊形的外角和等于360°．我們也可以這樣理解多邊形外角和等于360°．如圖，從多邊形的一個頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)的方向．在行程中轉(zhuǎn)過的各個角的和，就是多邊形的外角和．由于走了一周，所轉(zhuǎn)過的各個角的和等于一個周角，所以多邊形外角和等于360°．設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷求六邊形的外角和再到一般n邊形的外角和的探究過程，得出n邊形的外角和360°，有效地鍛煉了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．（四）課堂練習(xí)1．一個多邊形的內(nèi)角和是720°，這個多邊形的邊數(shù)是（）．A．4B．5C．6D．72．若一個多邊形的邊數(shù)為8條，則這個多邊形的內(nèi)角和是（）．A．900°B．540°C．1080°D．360°3．若一個多邊形增加一條邊，那么它的內(nèi)角和（）．A．增加180°B．增加360°C．減少360°D．不變．4．多邊形每一個內(nèi)角都等于150°，則該多邊形的邊數(shù)是（）．A．10B．11C．12D．13學(xué)生獨(dú)立完成．答案：1．C．2．C．3．A．4．C．設(shè)計(jì)意圖：為學(xué)生提供演練機(jī)會，加強(qiáng)對多邊形內(nèi)角和公式及外角和的理解及掌握．六、課堂小結(jié)（1）多邊形的內(nèi)角和公式（n－2）×180°．（2）多邊形的外角和等于360°．設(shè)