高等數(shù)學(xué)-習(xí)題及答案匯總 孫忠民

第1章函數(shù)的極限與連續(xù)

【能力訓(xùn)練1.1】

(基礎(chǔ)題)

一、填空題

(1)函數(shù)y=--V1-N的定義域?yàn)椋?/p>

X--------------------------

⑵函數(shù)作)=［二廣二。，則/*)=_____,/(0)=______,/(1)=______；

IV3-x,0WxV2.2

sinx,|x|<y,/

(3)已知y=/(x)=|'貝"卜J7)n=

0,M>-\4/

□

(1)略(2)略(3)略

二'基本初等函數(shù)具備哪些主要性質(zhì)？

1、性質(zhì)。募函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是

否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；基函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限

內(nèi)；如果基函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)。

2、初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)?；?/p>

初等函數(shù)和初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)均為連續(xù)函數(shù)。不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù),

如狄利克雷函數(shù)和黎曼函數(shù)。目前有兩種分類方法：數(shù)學(xué)分析有六種基本初等函數(shù)，高等數(shù)

學(xué)只有五種。

三'函數(shù)f(x)=1與g(x)=sir?x+cos2x是否為同一函數(shù)?為什么？

是同一函數(shù)。

原因：因?yàn)間(x)=sii?x+cos2x=l所以f(x)=l與g(x)=sin2x+cos2x得定義域與值域都相同，

所以函數(shù)f(x)=l與g(x)=sin?x+cos?x是同一函數(shù)。

四、指出下列函數(shù)由那些基本初等函數(shù)復(fù)合而成。

(l)y=cosx4;(2)y=----------尸=

arccosVx+1

223

21-(1-x)1

(3)y=Vsinx;(4)y=

1+(1-x2)2

答案：略

(應(yīng)用題)

一、［產(chǎn)品收入］某工廠第年某種產(chǎn)品的產(chǎn)量為120+2t+3t2單位，單位產(chǎn)品的

純收入為6000+700t.試建立該廠第t年該產(chǎn)品的年收入函數(shù)。

答案：略

二'［汽車租賃］汽車租賃公司出租某種汽車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每天基本租金200

元，另外每千米收費(fèi)1.5。

(1)試建立每天的租車費(fèi)與行車路程xkm之間的函數(shù)關(guān)系；

答：設(shè)每天的租車費(fèi)用為y行車路程x,則y=200+1.5x(x20)

(2)若某人某天支付了400元租車費(fèi)，問他行車路程為多少千米？

答:根據(jù)(1)可知y=200+1.5x

令y=400可得400=200+1.5x.1.5x=2001x=400/3千米

則行車路程為400/3千米。

【能力訓(xùn)練

(基礎(chǔ)題)

一、分析函數(shù)的變化趨勢，并求極限：

⑴y(xt8)；(2)y=(XT(T);

(3力=二(X->+OO);(4)y=cosx(x—>0)

］nx

答案：略

二'下列極限是否存在?若存在，求出其數(shù)值：

(l)y=+⑵吧(3%+1)；

nT8n

答案：略

x—2,x<0,

三、已知函數(shù)，f(x)=0,x=0,討論函數(shù)f(x)當(dāng)XT0時的極無限。

x+2,x>0,

答案：略

四、下列敘述是否正確，并說明理由:

(1)一個納米是一米的十億分之一(即10%),則一個納米是無窮??；

不正確。理由：略

(2)無窮小是零；

不正確。理由：略

(3)零是唯一可作為無窮小的常數(shù)；

不正確。理由：略

(4)無窮小是以零為極限的變量。

正確。

五、函數(shù)以)=也在什么變化過程中是無窮小量？又在什么變化過程中是無窮

9X—1

大量？

答案：略

六、指出下列函數(shù)在變化過程中是無窮小量還是無窮大量？

⑴10f+x(XTO);(2)-(XTO);

X

1+/

(3)—y(XT8)；(4)i「(％—co)；

1+2x

(5)^(x-oo);(6)lnx(XTO+);

x+1

(7)1-cosx(xt0);(8)----(xt3).

%一J

答案：略

(應(yīng)用題)

一'［出租車費(fèi)用］設(shè)某市白天出租車的收費(fèi)y(單位：元)與路程x(單位：km)

之間的關(guān)系為

’8,0<x<1,

=<8+1.8(x—1),1vxw7,

18.8+2.7(x-7),x>7,

求limf(x)/imf(x).

答案：略

【能力訓(xùn)練1.3】

（基礎(chǔ)題）

一、求下列函數(shù)的極限:

；

(1)lim。，+x-2);⑵吧(1+3)

x->2

x—2

⑶lim-(4)lim上

XT2X+2XT2X—2

仆v/-3x+2心ry/x+hX-y/x

(5)hm--——―;

2(6)lim-----------------;

XT11—X△x-*oAX

/(X+/l)3-X3/-1

⑺hm---------------;(8)lim-

JOhXT】X-1

(9)Jim(1+]+：+???+(10)lim?/~1?

〃T8\242n)J82xz-3x+1

yjx+Jx+yfx

f+X

(11)lim------；—;(12)lim—~~；------------.

'-8*3+2爐+8’XT+8+1

答案：略

二、求下列極限:

八、「sin3xsin5x

⑴物2x；⑵1%山；

2

(3)lim(1+邛；(4)lim(1-Ip；

XT8\2XJ

(5)1叫y；(6)lim(l-x)b

x->o\3/x-?0

erln(l+x)ex-1

⑺黑X；(8)lim-----.

XTOx

答案：略

（應(yīng)用題）

一'設(shè)一產(chǎn)品的價(jià)格滿足P（t）=20-20e°5;請你對該產(chǎn)品價(jià)格作一個長期預(yù)測。

答案：略

【能力訓(xùn)練1.41

（基礎(chǔ)題）

一、指出下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型:

,/、V1+—1

(l)/(x)-X+2；(2)f(x)=-----2----

、J%-1WxW1,f—1

(3)/(X)=l1,其他；(4)f(x)=~~~

x(x-1)

答案：略

二'求下列函數(shù)曲線的水平漸近線與垂直漸近線:

⑴/(%)=⑵/(X)=—

(3)/(x)=ex;(4)/(x)=ln(x-l).

答案：(1)略

(2)略

(3)水平漸近線y=0,沒有垂直漸近線。

(4)略

三、證明方程xJ4x+2=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個根。

證明：

令f(il)=i；-46i+2當(dāng)x=1時，f(1)=1-4+2=-1當(dāng)x=2時，f(2)=16-8+2=10

.-.f(1)<f(a:i)<f(2),1<6<2故14一4*+2=疏區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一根

(應(yīng)用題)

一、設(shè)1g冰從-40℃升到100℃所需要的熱量(單位：J)為

2.lx+84,—40W%《0,

f(x)=<

4.2x+420,0<x<100.

試問函數(shù)f(x)在x=0處是否連續(xù)?若不連續(xù)，指出其間斷點(diǎn)的類型，并解釋其實(shí)

際意義。

答案：不連續(xù)，跳躍間斷。

復(fù)習(xí)題一

一、單項(xiàng)選擇題

1-5BCADA6-10DDCAB

二、填空題

22.f(x)=eAuu=sinvv=2x

3略

4略

5

6略

7略

82

9-1

10.略

三、求下列函數(shù)的極限

V5x-4-\[x

x-1

x-sinx

hm：—;

XT8X+siwc

2-1+3n+1

3.lim

n—>oo2n+3n

4.limn(ln(n+1)-Inn);

XT8

x+l

2x4-3

5.

2x+1

,smx

7.hmIn---;

x-K)x

&若照（高+以+*0,試求常數(shù)ab的值?

答案：略

第2章導(dǎo)數(shù)與微分及其應(yīng)用

【能力訓(xùn)練2.1】

(基礎(chǔ)題)

一'根據(jù)定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

⑴y=3x+2;(2)f(x尸dx

答案：(1)3

(2)l/2(x)A(-l/2)2

二'求雙曲段上在點(diǎn)(：,2)處的切線方程

所r以切線方程為：y-2=-4(x-l/2)

即4x+y-4=0法線方程為:y-2=l/4(x-l/2)

即2x-8y+15=0

三'在拋物線y=x2上哪一點(diǎn)處的切線分別有如下性質(zhì)：

(1)平行于X軸;

(2)平行于直線y=4x;

(3)平行于拋物線上兩點(diǎn)(x?y,),(x2,y2)的連線

答案：

(1)..切線平行于S軸，

=

"'-/(?o)2xo=O

??=0

切點(diǎn)為(0.0)

綜上所述，結(jié)論是：點(diǎn)(0.0)的切線具有性質(zhì)平行于

。，軸.

(2)略

(3)略

(應(yīng)用題)

一'求曲線y=ln(1+x)在(0,0)處的切線方程，把兩者的圖像畫在同一坐標(biāo)系上,

并觀察圖形之間的關(guān)系。

f(x)=ln(x+l)

則：

f(x)=l/(x+l)

切線斜率是：k=f(0)=I

切點(diǎn)是(0,0)

則切線方程是:

x-y=0

二'以初速度V。豎直上拋的物體，其上升高度S與時間的關(guān)系是：s=

求⑴該物體運(yùn)動的速度；

⑵該物體達(dá)到最高點(diǎn)的時刻。

答案：

解⑴WX(U=6gt

(2)令血=0,即廿gt=0,得￡=也，這就是物體達(dá)到最高點(diǎn)的時刻.

8

三'郭晶晶是我國著名跳水運(yùn)動員，當(dāng)她從10m跳臺跳下后，入水時的速度有多

大？

解答］解:根^舄g12得:1=仁d鋁曳

到達(dá)水面是的速度v=gt=10逅m/s

故答案為:因10V^m/s

【能力訓(xùn)練2.21

(基礎(chǔ)題)

一、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=x100;(2)y=V?;(3)y=>r5；(4)y=

答案：略

二'求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

“、x5-x-2n

⑴"N；(2)y=exsinx

r-1

(3)y=xlnx+loge;(4)y=,;

X+1

gInx

(5)y=xsinxlirc;(6"=

答案：略

三'求下列函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值:

(l)y=6ex-3tanx+5,求川廣。;

(2)/(%)=仁),求廣(4).

答案：略

四、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=(2x+5)4;(2)y=Vl+ln2x

(3)y=arccos(ex);(4)y=sin2x;

(5)y=Inlnx;(6)y=(arcsinx)2.

答案：略

五、求下列初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=Vl+x;(2)y=sin2x-sin^);

...1+x

(3)y=arctan------;(4)y=arcsinVl+x.

1-x

答案：略

(應(yīng)用題)

一'求曲線y=cosx在點(diǎn)P(0,1)處的切線方程

y'(0)=0,故法線方程為x=0

二'將一只球從橋上拋向空中，秒后球相對于地面的高度為y(單位:

m),y=f(4)=-5t2+15t+120

求⑴橋距地面的高度；

⑵球在［0,1］秒內(nèi)的平均速度；

⑶球在t=1秒時的瞬時速度；

(4)在什么時刻，球達(dá)到最大高度？

⑴12米;(2)10米/秒；(3)5米/秒；(4)苧米，渺

【解析】

(1)因?yàn)楫?dāng)10時，"0)=12,

所以橋的高度為12米；

(2)小球在0到I秒這段時間的平均速度是

=22-12=10(米/秒)；

1—U

(3)求導(dǎo)得X(t)=-l(tt+15,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，小球在，I秒時的瞬時速

度是⑴=-10+15=5(米/秒)；

⑷因?yàn)榘?1)=—5產(chǎn)+15,+12=—5—芍,

93

+T

所以當(dāng),=?時，八⑴有最大值為苧，

所以當(dāng)，，秒時，小球達(dá)到最大高度是苧米.

三'［疾病傳播］某城市正在遭受一場瘟疫，通過研究發(fā)現(xiàn)，第t天感染該疾病的

人數(shù)為p(t)=120t2-/(的單位：天；0WtW40).試求該疾病在t=10天，t=20

天，t=40天時的傳播速度。

答案：略

四'［游戲銷售］當(dāng)推出一種新的電子游戲程序時，短期內(nèi)其銷售量會迅速增加,

然后開始下降，銷售量s與時間t之間的函數(shù)關(guān)系：-、't的單位為月。

r?1(11

⑴求s'(t);

⑵求s(5)和s'(5),并解釋其意義。

200(r+100)-200,?4_20000-2().

$'(/)=

(i2+ioof(t2+ioo)2

答案:⑴

,(5)=-^=?

(2)52+100(個)，

y,(5)=20000-200.5：=15000=096

(5"昉15625

s(5)表示第5月末的銷售量;”5)表示第5月末的銷售速度。

五、［水流速度］設(shè)一圓柱形水箱內(nèi)裝有1000L水，它可以在底端將水抽干，分時

水箱中剩余水的體積為

ri1OOOH-3，)1W60,

求水箱中水流出的速度，它的單位是什么?

答案：略

六'［電壓的變化率］一個固定電阻為32,可變電阻為R的電路中的電壓由下式給

1116R+25

出：，=R+-:

求在R=7Q時電壓關(guān)于可變電阻R的變化率。

7

.=6（火+3上（6/<+25）=-7~=-0.07

答案：（/?+3）2（R+3）2（7+3）2

七、［利潤］—U盤生產(chǎn)商發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)x百個U盤的利潤為P(x)=400(15-x)(x-2)

兀。

⑴求P’(X)。

⑵求使P(x)=o時的x值，并說明此時企業(yè)利潤的意義。

答案：略

八、［拋錨船只的運(yùn)動］一艘拋錨的船只在海中隨海浪上、下擺動，它與海平面的

距離y(單位：米)與時間：(單位：分)的函數(shù)關(guān)系為y=5+sin(2nt)。

⑴稱表示什么意思？

⑵滎t=5分時船體上下擺動的速度；

⑶船只的運(yùn)動有何規(guī)律？

答案：略

九'［彈簧的運(yùn)動］彈簧在振動時受到摩擦力和阻力的影響，其運(yùn)動方程可以用指

數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的乘積來表示，設(shè)這個彈簧上一點(diǎn)的運(yùn)動方程為

$代)二26飛泊2。1:6的單位：厘米，的單位：秒)，求ts時彈簧的振動速度。

答案:略

【能力訓(xùn)練2.31

(基礎(chǔ)題)

一'求由下列方程所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)也。

dr

(l)y3-3/y+2x=5;(2)xy-Iny=3;

(3)y=姬+xd；(4)xcosy=sin(x+y).

答案：略

二、利用對數(shù)求導(dǎo)法，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

⑴>叱

(x+2}3y/x^2'

答案：略

三'求由下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

答案：略

四、求橢圓I為參數(shù))在處的切線與法線方程。

|y=frsin^

答案：略

五、設(shè)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，其運(yùn)動規(guī)律'"”二人為常數(shù))，求質(zhì)點(diǎn)在時刻t=1

時的速度和加速度°

【解析】V=7T.4/6a=[(-V3)X7r^2]/18

(應(yīng)用題)

一'一質(zhì)點(diǎn)以每秒50m的發(fā)射速度垂直射向空中，t秒后達(dá)到的高度為s=50t-5t

2(m),假設(shè)在此運(yùn)動過程中重力為唯一的作用力，試求：

⑴該質(zhì)點(diǎn)能達(dá)到的最大高度；

⑵該質(zhì)點(diǎn)離地面120m時的速度是多少？

⑶何時質(zhì)點(diǎn)重新落回地面？

答案：略

二'求函數(shù)(x2+y2尸=64x2y2在指定點(diǎn)(2,3.07)和(2,0.56)處的切線斜率。

答案：略

【能力訓(xùn)練2.4】

(基礎(chǔ)題)

一、利用洛必達(dá)法則求下列函數(shù)極限：

⑴呵理；⑵扁一；

*-+0Xx-*OS1ILX

1-cosx2.-yja+x-y/a-x

⑶圖^⑷屈----X---------(a>0)：

⑸觸當(dāng)；⑹鄴白廣白).

答案：略

二'求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(l)y=xex;(2)y=1(x3-3x).

答案：(1)

解：y=e'+，e'-1</(1+

全r>-h

令y'VO.得rC-l.

因此,y=.re'的單調(diào)通增區(qū)間為《一】.+8)?

單調(diào)遞或區(qū)間為-

(2)略

三'求下列函數(shù)的極值：

(1)y=x2+2xT;(2)y=x-ex

答案：(1)1(2)-1

(應(yīng)用題)

一、［人口增長］中國的人口總數(shù)P(以10億為單位)在1993-1995年間可近似地

用方程P=1.15X(1.014)，來計(jì)算，其中年(從1993年計(jì))，根據(jù)這一方程，說明

中國人口總數(shù)在這段時間是增長還是減少？

答案：增加

二、［最小淋雨量］人在雨中行走，速度不同可能導(dǎo)致淋雨量有很大不同，即淋雨

量是人行走速度的函數(shù)，記淋雨量為y,行走速度為x,并設(shè)它們之間有以下函數(shù)

關(guān)系y=x3-6x2+9x+4,求淋雨量最小時的行走速度。

答案：增加

三'［快餐店的最大利潤］某快餐店每月銷售漢堡包的單位價(jià)格P與需求量x的關(guān)

系由p(x)=嘿薩確定，又設(shè)生產(chǎn)x個漢堡包的成本為

乙UUUU

C(X)=5000+0.56x(0WxW50000),

問當(dāng)產(chǎn)量是多少時，快餐店獲得最大利潤？

答案：增加

四'［廣告策略］某一新產(chǎn)品問世后，公司會為推銷這一新產(chǎn)品而花費(fèi)大量的廣告

費(fèi)，但隨產(chǎn)品在市場上被認(rèn)可，廣告的作用會越來越小，何時減小甚至取消廣告

式,)=_29^產(chǎn)品的銷售高峰一最暢銷時間，設(shè)某產(chǎn)品在時刻t的銷量由

給出，試問該產(chǎn)品何時最為暢銷？

答案：增加

五'［廠房設(shè)計(jì)］某車間靠墻壁要蓋一間長方形小屋，現(xiàn)有存磚只夠砌20m長的墻

壁，問應(yīng)圍成怎樣的長方形才能使這間小屋的面積最大？

答案：設(shè)一邊為X,一邊為YX+2Y=20求XY最大植即(20-2Y)Y的最大植當(dāng)Y=5時

有最大植所以長10米，寬5米可修最大面積的小屋。

六'［運(yùn)輸路線的選擇］鐵路線上AB的距離為100km,工廠C距A處為20km,AC垂

直于AB,現(xiàn)要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路，已知鐵路與公路每千

米貨運(yùn)費(fèi)之比為3:5,問D選在何處，才能使從B到C的運(yùn)費(fèi)最少？

設(shè)|DA|二x(千米),鐵路噸千米運(yùn)費(fèi)為3a,公路噸千米運(yùn)費(fèi)為5a,從B到C的總運(yùn)費(fèi)為y,則依題意,囪=3a(10。-工)+5a，400+3

x6(0,100).^y=at,則用+3工=5,400+72⑴?平方，眄得16;?-6tH+10000-t2=o由

A=36產(chǎn)-4x16(10000-t2)》0.司t|>8O.-.t>0.t>80.將t=80代入方程(1),解幅X=15,這曲最小，y最小.即當(dāng)D

點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米處時，茗運(yùn)費(fèi)最省.

據(jù)題設(shè)知,單位距離的公路運(yùn)費(fèi)大于鐵路運(yùn)費(fèi)，又知+\DC\W\BA\+\AC\.因此只苞點(diǎn)D選在線段BA上某一適當(dāng)位置,才能使總運(yùn)

費(fèi)最省若iSD點(diǎn)距A點(diǎn)x千米,從B到C的總運(yùn)費(fèi)為y,建立y與頒函數(shù),則通過用趣/=/(工)的最小值，可確定點(diǎn)D的位H.

七'［成本最低］某廠商每天生產(chǎn)X單位產(chǎn)品，其每天的成本包括：

(1)固定成本12000元；

⑵單位產(chǎn)品的成本12元；

⑶訂貨成本等元

請寫出每天生土x單位產(chǎn)品的總成本，并求每天產(chǎn)量為多少時總成本最低。

答案：略

八'［最大利潤］某淘寶店主以每條100元的價(jià)格購進(jìn)一批牛仔褲，設(shè)此牛仔褲的

需求函數(shù)為Q=400-p,其中p為售，問銷售價(jià)定為多少時，才能獲得最大利潤？

由題意，每件商品的銷售利潤為(p-100)元，

那么Q件的銷售利潤為

y=Q(p-l00)=(400-2p)(p-l00),

即y=-2p2+600p-40000,

對其右邊進(jìn)行配方得y=-2(p-l50)2+5000,

.?.當(dāng)p=150時，y有最大值，最大值y=5000

,當(dāng)每件商品的銷售價(jià)定為150元時，

有最大利潤為5000元。

九、［最大利潤］某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q個單位時，銷售收入為R(q)=8Jq,成本函

數(shù)為C(q)=O.25q2+1,求使利潤達(dá)到最大時的產(chǎn)量q0

答案：略

【能力訓(xùn)練2.5】

(基礎(chǔ)題)

五、求函數(shù)y=2x2+lnx的二階導(dǎo)數(shù)

【解析】(l);y=2z2+inz,

，一1—1

/.y=4HH—,y=4---7.

X

六'求指數(shù)函數(shù)y=e*的n階導(dǎo)數(shù)

y=ex,則

y1=ex.

#)=ex>

y=e，的n階導(dǎo)數(shù)為

/)=ex-

由函數(shù)的瞬試及會計(jì)算公式，求出函數(shù)的Th二階，三階導(dǎo)數(shù)，

再歸納得出的數(shù)的n階懿.

七'求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)：

⑴尸3，-3(2)y=~2~\⑶y=ln(l+/).

+1

答案：略

八、當(dāng)a,b為何值時，點(diǎn)(1,3)是曲線廠ax3+bx2的拐點(diǎn)？

點(diǎn)(1,3)在曲鈾=ax3+bx2上，故a+b=3.又y，=3ax2+2bx,y"=6ax+2b,應(yīng)有y\=6a+26=0.解鼠=一堤，。=?，即

1>-1Lc

y"=-9x+9.顯然，當(dāng)x<1時，y">0;當(dāng)x>1時，y"<0.點(diǎn)(1,3)為曲線拐點(diǎn)。

九'求曲線y=x2-4x+3在頂點(diǎn)處的曲率及曲率半徑.

答案：略

(應(yīng)用題)

一、［子彈的加速度］一子彈射向正上方，子彈與地面的距離s(單位：m)與時間

(單位:s)的關(guān)系為s=670t-4.9t2,求子彈的加速度。

V=s'(t)=670-9.8t=V(t)

a=v‘t=-9.8m/s2

所以子彈的加速度是-9.8m/s2

二'［物體運(yùn)動的加速度］一個物體附在豎直彈簧的下面，已知它的位移為

y=Asir)3t,其中A為振動的振幅，3為角頻率，求物體的速度和加速度。

物體的速度劃，修1也

=

，加速度為“皿裳一護(hù)士察上以一；

aa第”a

ataJ

三'［廣告效應(yīng)］IBM公司用二階導(dǎo)數(shù)來評估不同廣告戰(zhàn)的相關(guān)業(yè)績.假設(shè)所有的

廣告都能提高銷量，如果在一次新的廣告戰(zhàn)中，銷售量關(guān)于時間的曲線為凹的，

這表明IBM公司的經(jīng)營情況如何?為什么?若曲線為凸的呢？

答案：略

【能力訓(xùn)練2.6】

(基礎(chǔ)題)

一'求下列函數(shù)的微分：

(l)y=1+2~；(2)y=xsin2x;

x

(3)y=InVx2-1;(4)y=

答案：略

二、計(jì)算下列函數(shù)值的近似值(精確到0.0001):

(l)y=sin30°30z;(2)(997

答案：略

三、計(jì)算下列各式的近似值(精確到0.0001):

(l)VL02;(2)ln0.98;⑶sin0.5°;(^e1-01

答案：略

(應(yīng)用題)

一'設(shè)水管壁的橫截面是圓環(huán)，其內(nèi)徑為120mm，壁厚為3mm，利用微分求圓環(huán)面

積的近似值(精確到1mm?)

S=n<f/4

S'=nd/2

△S=S'Z\d

nX120/2X(126-120)

1130.97

二、邊長為20cm的金屬立方體受熱膨脹，當(dāng)邊長增加2mm時，求立方體所增加

的體積的近似值(精確到1cn?)

答案：略

三、如果半徑為15cm的球的半徑伸長2cm,那么球的體積約擴(kuò)大多少？

球的體枳為3.14*R*4/3,

3.14*4/3*(15.2八3-15八3)=3.14*4/3*(3511.808-3375)

=3.14*4/3*136.808

=572.769CM3

復(fù)習(xí)題二

一、單項(xiàng)選擇題

1-5AABCD6-10CDBCA

二'填空題

l.a/2

2.ee-lex

3.略

4.略

5.(1,0)

6.y=sin(eAx+1)dy=cos(eAx+1)d(eAx+1)=eAxcos(e"x+l)dx

7.n

8.1

9.略

10.略

三'求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

1.y=Vl+ln2x;

2.y=A？sin-;

X2

3.y=(arcsing);

答案：略

四、求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

1.X3-3axy+y3=0;

2.y=ln(xy).

答案：略

五'利用對數(shù)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

1.y=

11-x

2-

答案：略

六'求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).

1.F(X)=求廣(0);

2.y=/inx,求產(chǎn).

答案：略

七、用洛必達(dá)法則求下列極限

答案：略

八'綜合題.

1.求函數(shù)/(X)=(x-4)[(x+l)2的極值.

2.求y=2戶+3,-12x+14在[-3,4]上的最大值與最小值

答案：略

第3章一元函數(shù)積分及其應(yīng)用

【能力訓(xùn)練3.1】

(基礎(chǔ)題)

十、用定積分表示拋物線y=x2+1與直線x=1,x=2以及x軸所圍成圖形的面積。

由定積分定義面積S=/(1,2爪x2+1)-0]dx=(x3/3+x)(1,2)=(8/3+2)-(1/3+1)=10/3

十一、用曲邊梯形的面積說明下列定積分表示的意義:

⑴fOdx;

Q)Idx

(4)f1^dx

(3)Ixdx;

Jo

?7t

(5)sinxdx;(4)V1-x2dx

-n

答案：略

十二、試用定積分的幾何意義求出下列定積分的值:

r27t

(1)Isinxdjc;(2)f|x|(lx;(3)「Va2-x

JoJO

答案：略

【能力訓(xùn)練3.2】

(基礎(chǔ)題)

一、求下列不定積分:

⑴J索呢⑵J或既(3)Jx2y/xdx-

(4)J(sinx+2ex)dx;(5)jex+2dr;(6)J(2/+secx-l)dx.

答案：略

二、已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為1,且有f(e3)=5,求函數(shù)f(x).

X

答案：略

三'計(jì)算下列定積分：

(1)jxdx;⑵/(x+，dx;(3)Jsinxdx;

(4)f2(3?-x+2)dx;Cnrf

(5)1(2x-sinx)dx;(6)1|siar-cosx|(Lr;

JoJoJn

答案：略

四、用直接積分法或湊微分法求下列不定積分:

⑴11+好呢⑵/MN⑶JP(Vx+l)dx;

22

(5)/cos1dr;rx+2x-2J

④/邛埸如⑹J----x----吃

⑺Je3xdx;(8)/(2%+1嚴(yán)業(yè)；⑼JCilnxdx;

(11)fdx;

(10)/4+N期

J4+N(12)

/isfcos(2Vx-1)八八farcsinxrcosx,

(13)廠dx;(14).——-dx;(15)1------=-dx.

Jy[xJV1-x2J1+sin2x

答案：略

五、用換元積分法或分部積分法計(jì)算下列定積分:

⑵f9方更嚴(yán)I'x2V1-Ndjc;

(1)(3)

I念產(chǎn)J4yx—1Jo

f4-..dx;(5)V2-x2dx;/arccosxcbr;

(4)(6)

JoVx2+9Jo

xx

/esinjcdx;(8)[|lnx|dx;「xe-dx;

⑺(9)

Jo

答案：略

六'定積分的綜合計(jì)算：

f-^-rdx;(2)fx6sinxdx;

⑴(3)dx;

J一2e+1J-nJo1+sinx

AQ上a「「71

⑷⑸上不代(6)V1+sin2xdx.

J…嚴(yán)Jo

答案：略

七'判斷下列反常積分的斂散性，若收斂，則計(jì)算它的值

八、一平面曲線過點(diǎn)(1,0),且曲線上任一點(diǎn)(x,y)處的切線斜率為2X-2,求該曲

線方程。

解:依題意知：j，'=2x-2

兩邊有y=x2-2x+c

Xx=1時,y=0代入上式得c=1,故所求曲線方程為y=X?一+1.

(應(yīng)用題)

一、一輛火車制動后的速度為叩：=1-%(單位：km/s),問火車應(yīng)在距離站臺停

靠點(diǎn)多遠(yuǎn)的地方開始制動？

答案：略

二'一輛汽車以100km/h的速度行駛，假設(shè)司機(jī)看到距離前方80m處發(fā)生事故，

司機(jī)立即剎車，問汽車至少應(yīng)以多大的加速度行駛才能避免和前方發(fā)生事故？

設(shè)加速度至少大小為am/sA2100km/h=100/3.6m/s

減速時速度v=100/3.6-at當(dāng)減速到速度v=0時，所用時間t=100/3.6a(s),則減速到0時汽車

駛過距離恰好為為80m,才能避免事故。

【能力訓(xùn)練3.31

(基礎(chǔ)題)

一、求由直線x-y=0及拋物線y=x2-2x所圍平面圖形的面積。

【答案】直線x-y=0與曲線y=x2-2礁立可得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(3,3),則

^x-y=0與曲線y=x2-2xOl哪面不肋S=J：[X-(N-2x)]dx=(1x2-lx3)總號

二、求由直線y=4x及拋物線y=x3所圍平面圖形的面積。

直線y=4x與曲線y=大致圖像，如圖所示,

-8-7-6-5-4-3-2-VD12345678

-5

-6

-7

-S

將y=4xft入g=x?得/=4z?

即I(l2-4)=0,解得x=0或-2或2,

根據(jù)題意，可得到第一象限部分，積分上限為2,積分下限為0,

則直線y=4x與曲線g=/在第一象限所圍成的平面圖形的面積為：

[(4工—x3)dx=(2/-I

=2x4-----x16

4

=4,

由函數(shù)y=4x與g=I3圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故直線y=4x與曲線V=2；3所圍成的平面圖形的面積為：

2f(4x—x3)dx=8，

Jo

綜上所述，結(jié)論是：8.

三、求曲線y=X?,尸(x-2)2與x軸所圍成的平面圖形的面積。

聯(lián)立丫=乂2與丫=(X-2)2

得交點(diǎn)(1,1)

2

..S=J(0J)xdx+J(1r2)(x-2)2dx

32

=1/3x|(0J)+J(1r2)(x-4x+4)dx

=1/3x3|(0,1)+(1/3x3-2x2+4x)|(0,1)

=1/3+(1/3?2+4)

=8/3.

四、求橢圓]…皿(0WtW2n)的面積。

Iy=ranf

【解析】

分析先研究橢圓在第一象限部分的面積，再研究橢圓的面積.

解答如圖4-51,楠園的面積等于橢網(wǎng)在第一象限部分的面積P

的4倍.

H4-S1

五、計(jì)算心臟線-aCl+cosB)(a>0)所圍成的平面圖形的面積。

P(9)=a(l+cos9)的心臟線的面積為:S=3(ica2)/2

六'求由拋物線y=x2-4與直線y=0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體

的體積。

答案：略

七、求由曲線y=sinx與直線x=0,x=n及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成

的旋轉(zhuǎn)體的體積。

【解析】【答案】

.

~2

【解析】

V=IKsi.n"2ra>x=—W

Jo2

(1-cos2x)dz=-

o2

故答案為：J。

八'一個矩陣水閘門，寬20m,高16m,水面與閘門頂齊，求水閘上所受的總壓力。

答案：2560(t)

復(fù)習(xí)題三

一、單項(xiàng)選擇題

1-5DCBCA6-10ADAAC

二'填空題

1.略

2.略

3.略

4.略

5.略

6.0

7.略

8.略

9.略

2

10/(^)=X+X.

三'求不定積分.

sinx

3.dx;

cos2x

]

4.dx.

xln2x

答案：略

四、求定積分和廣義積分.

答案：略

五、用數(shù)學(xué)軟件Matlab計(jì)算下列積分

/，e-*dx;

1.Iflnxdx;2.

3.Iexcosxdx;4.dx.

JoJo1+COSX

答案：略

六、綜合題

1.求曲線y=1與直線丫=左丫=4所圍成的平面圖形的面積；

X

2.求直線y=2x與曲線y=4x-f所圍成的平面圖形的面積；

3.求曲線y=與直線x=1及x軸所圍成的開口平面圖形的面積；

4.求曲線xy=4,直線x=l,x=4,j=0繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積.

答案：

1.略

2.

【分析】首先加5!娛由線的交妞?，再也用I即分基本定U計(jì)口W岬，

fy

hWJW：由WiStx^OiRr-2.MtJRW于覆0.0).(2,4)