高中數(shù)學(xué) 變化率問題 導(dǎo)數(shù)的概念 學(xué)案

變化率問題導(dǎo)數(shù)的概念

:、1.理解函數(shù)平均變化率的概念.并會求變化率.(數(shù)學(xué)抽象)

；22.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其內(nèi)涵.(數(shù)學(xué)抽象)

；.3.會求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)運算)

\、標(biāo)

基礎(chǔ)認(rèn)知?自主學(xué)習(xí)?

1.什么是平均變化率，什么是瞬時變化率？

導(dǎo)思

2.如何求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)？

1.函數(shù)y=f(X)從Xi到X2的平均變化率

Ay=fix2)—f(xj

定義式

Axx2-X]

實質(zhì)函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比

意義刻畫函數(shù)在［Xi,X2］上函數(shù)值變化的快慢

，思考

(1)Ax=X2—X1是正數(shù)嗎？

提示：AX=X2-XI可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)，但不能為0.

(2)平均變化率的幾何意義是什么？

提示：平均變化率的幾何意義是函數(shù)y=f(x)圖象上兩點P"x"y),P?(X2,yj所在直線的

斜率.

2.函數(shù)y=f(x)在x=x。處的瞬時變化率

Ayf(x+Ax)-f(x)

定義式lim=lim----0----------------0—

AXTOAXAx-0Ax

實質(zhì)瞬時變化率是當(dāng)自變量的改變量△X趨近于0時，平均變化率趨近的值

作用刻畫函數(shù)在某點處變化的快慢

■思考

△x趨近于0是什么意思？

提示：Ax趨近于0的距離要多近有多近，即，Ax-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)，但始

終AxWO.

3.導(dǎo)數(shù)的概念

⑴

定義式『（x0）=lim^=limf（Xo+AxT（x。）

AX—OAX以-oAx

記法f'(X。)或

(2)本質(zhì)：函數(shù)y=f(x)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)就是y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率.

(3)作用：求函數(shù)在x=x。處的導(dǎo)數(shù).

■思考

(1)函數(shù)y=f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)一定存在嗎？

AV△V

提示：當(dāng)Axro時，比值選亡的極限存在，則函數(shù)y=f(X)在x=x0處可導(dǎo)；若比值三；的

極限不存在，則函數(shù)y=f(x)在x=x。處不可導(dǎo)或無導(dǎo)數(shù).

(2)函數(shù)y=f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)的定義表達(dá)式是唯一的嗎？

提示：不唯一.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的定義表達(dá)式可變形為f'(X。)=!見

f（Xo—△X）—f（Xo）

，或者f，

—△X

XTX0X-Xo

「基礎(chǔ)小測

1.辨析記憶(對的打“J”，錯的打“義”)

(1)在平均變化率的定義中，自變量X在X。處的變化量Ax可取任意實數(shù).(X)

提示：在平均變化率的定義中，自變量x在X。處的變化量Ax可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù),

但不能為0.

(2)函數(shù)y=f(x)從刈到刈的平均變化率尹=‘止)二'區(qū))-公式中Ax與Ay同

號.(X)

提示：函數(shù)y=f(x)從XI到X2的平均變化率/=’2T(X"公式中Ax與Ay可

AxX2-Xi

能同號，也可能異號.

(3)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是y=f(x)在x=xo處的瞬時變化率.(V)

提示：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知I,函數(shù)y=f(x)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)就是y=f(x)在x=x。處的瞬時

變化率.

2.某物體的位移公式為s=s(t),從t。到t0+At這段時間內(nèi)下列理解正確的是

()

A.(t0+At)—。稱為函數(shù)值增量

。稱為函數(shù)值增量

C.△s=s(to+At)—s(to)稱為函數(shù)值增量

D.堯稱為函數(shù)值增量

【解析】選C.由自變量的變化量、函數(shù)值的變化量、平均變化率的概念易得C正確.

3.(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)=-d+x在x=T處的瞬時變化率為.

7-(-1+Ax)2+(-1+Ax)+2

【解析=-------------履-------------=3—Ax.

f'(—1)=lim—=lim(3-Ax)=3.

Ax->0AxAx->0

答案：3

吃能力形成?合作探究

類型一求函數(shù)的平均變化率(數(shù)學(xué)運算)

題組訓(xùn)練

1.函數(shù)f(x)=x?-l在區(qū)間［1,m］上的平均變化率為3,則實數(shù)m的值為()

A.3B.2C.1D.4

所以m+l=3,所以m=2.

2.某物體的運動方程為s=5—21,則該物體在時間［1，1+d］上的平均速度為

()

A.2d+4B.—2d+4C.2d-4D.-2d-4

【解析】選D.由平均變化率的定義可知，該物體在時間口，1+d］上的平均速度為

[5-2（l+d）=]-（5-2Xl2）

=—2d—4.

d

3.物體甲、乙在時間0到匕范圍內(nèi)路程的變化情況如圖所示，下列說法正確的是()

A.在0到t。范圍內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度

B.在。到t。范圍內(nèi)甲的平均速度小于乙的平均速度

C.在t。到ti范圍內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度

D.在to到L范圍內(nèi)甲的平均速度小于乙的平均速度

【解析】。范圍內(nèi)，甲、乙所走的路程相同，時間一樣，所以平均速度相同；在t。到儲范圍

內(nèi)，甲、乙所用的時間相同，而甲走的路程較多，所以甲的平均速度較大.

解題策略

求函數(shù)y=f(x)從X。到x的平均變化率的步驟

(1)求自變量的增量Ax=x-Xo.

(2)求函數(shù)的增量Ay=y—yo=f(x)—f(xo)=f(xo+Ax)—f(xo).

△yf(Xo+Ax)—f(xo)

3)求平均變化率丁=--------------------.

提醒：Ax,Ay的值可正，可負(fù)，但AxWO,Ay可為零，若函數(shù)f(x)為常值函數(shù)，貝|Ay

=0.

類型二求瞬時速度(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)

【典例】一作直線運動的物體，其位移s與時間t的關(guān)系是s(t)=3t-t2(s的單位是：m,

t的單位是：s).求此物體在t=2s時的瞬時速度.

【思路導(dǎo)引】由題意可得二——…=-At-l.

、,,cn*s(2+At)—S(2)

當(dāng)At-"0時，----------------?-1.

△t

s(2+At)-s(2)

【解析】

△t

3(2+At)—(2+At)z—(3X2—2?)

=-△t—1.

△t

s(2+At)-s(2)

當(dāng)At-0時,-1,

△t

所以t=2時的瞬時速度為一1m/s.

解題策略

1.求運動物體瞬時速度的三個步驟

(1)求時間改變量At和位移改變量As=s(to+At)-s(to).

—△s

(2)求平均速度v=-.

(3)求瞬時速度，當(dāng)At無限趨近于。時，告無限趨近于常數(shù)v,即為瞬時速度.

△Y

2.求式；(當(dāng)Ax無限趨近于0時)的極限的方法

(1)在極限表達(dá)式中，可把Ax作為一個數(shù)來參與運算.

Ay

⑵求出干的表達(dá)式后，Ax無限趨近于0可令A(yù)x=0,求出結(jié)果即可.

△x

〈?跟蹤訓(xùn)練1

1.若質(zhì)點A按照規(guī)律s=3t?運動，則在t=3時的瞬時速度為()

A.6B.18C.54D.81

As3(3+At)2-3x3218At+3(At)2AS

【解析】—=-------------=18+3At,所以hm——=18.

At△tAt^oAt

2+6.5t+10,則起跳后1s的瞬時速度是.

【解析】起跳后1s的瞬時速度

,[-4.9(1+At),+6.5(1+At)+10]-(-4.9X12+6.5X1+1O)

v=lim---------------------------------:-----------------------------------

ALO△t

,-4.9(At)2-3.3At

=地17

=lim(—4.9△t—3.3)=—3.3(m/s).

答案：一3.3m/s

教師

專用【補(bǔ)償訓(xùn)練】

已知一物體的運動方程是s=6t2-5t+7,貝IJ其在t=時刻的速度為7.

f(t+At)—f(t)

【解析】令s=f(t),由題意知！回

△t

6(t+At)2—5(t+At)+7—(6t2—5t+7)

=駟△t

=lim(12t+6At—5)=12t—5=7,

所以t=l.

答案：1

類型三求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算)

角度1數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)問題

【典例】求函數(shù)y=x+:在x=l處的導(dǎo)數(shù).

【思路導(dǎo)引】先求會，再求^得結(jié)果?

【解析】因為Ay=(l+Ax)+￡——(1+1)

1十△X

=Ax+-\—1,

1+Ax

所以F1

△X

△y

所以!國—-=lim=0.

△XAx-*0

角度2物理中的導(dǎo)數(shù)問題

【典例】一質(zhì)點運動的方程為s=8—3t)

(1)求質(zhì)點在［1,1+At］這段時間內(nèi)的平均速度.

(2)求質(zhì)點在t=l時的導(dǎo)數(shù).

【思路導(dǎo)引】(1)首先結(jié)合條件求As,然后利用平均速度為蕓進(jìn)行計算即可獲得問題的

答案.

(2)定義法：即對平均速度中當(dāng)At趨向于。時求極限即可獲得結(jié)論.

【解析】⑴因為s=8-3t?,

所以△s=8—3(1+△t)~—(8—3XI2)=—6△t—3(△t)

—△s

v=—6—3△t.

△t

As

(2)質(zhì)點在t=l時的導(dǎo)數(shù)為［inj—=lim(-6—3At)=-6.

At—0AtAt-0'/

解題策略

求函數(shù)y=f(x)在點x。處的導(dǎo)數(shù)的三個步驟

題組訓(xùn)練

1.已知函數(shù)f(x)在x=x。處可導(dǎo)，若limf(x°+2Ax)—f(Xo)=],則f,員)=

AxfOAx

()

A.2B.1C.1D.0

f(x+2Ax)-f(x)1

【解析】選c.limqn-----------~0=I,

△XTOAX

f(Xo+2Ax)-f(x0)

所以lim

Ax->02Ax

f(x()+2Ax)-f(x())]_

即f'(x(>)=lim

AxfO2Ax2

2.一物體的運動方程為s=7t?+8,則其在t=時的導(dǎo)數(shù)為L

7(to+At)J+8—(7to+8)

【解析】由題意可得：47

=.--7△t+14to,

=lim(7At+l4tn)=l4tn,

At-^OAtAT0

令14to=l,可得to=(，即在t=,時的瞬時速度為l.

答案：n

3.利用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=±+2在x=l處的導(dǎo)數(shù).

X

【解析】因為Ay=([+；)-2一件+2)

」(Ax)2—2△x

=(1+Ax)2，

一(Ax)2—2△x

Ay(1+Ax)'—2—△x

-^x=Ax=(1+Ax)2

所以y'|x=i=limAy

Ax-0Ax

-2-Ax

(1+Ax)

?學(xué)情診斷-課堂測評

「f(x+Ax)-f(x)

1.f(x)在X=X°處可導(dǎo)，則n----------(n)

AxrOAX

A.與Xo,Ax有關(guān)

B.僅與Xo有關(guān)，而與Ax無關(guān)

C.僅與Ax有關(guān)，而與x。無關(guān)

D.與Xo,Ax均無關(guān)

【解析】(X)在X。處的導(dǎo)數(shù)只與XO有關(guān).

2.自變量x從X。變到xi時，函數(shù)值的改變量與相應(yīng)自變量的改變量之比是函數(shù)()

A.在區(qū)間［x。，x］上的平均變化率

B.在X。處的變化率

C.在七處的變化量

D.在區(qū)間［x°,x,］上的導(dǎo)數(shù)

【解析】。變到整時，函數(shù)值的改變量與相應(yīng)自變量的改變量之比是表示函數(shù)在區(qū)間

［xo,X,］上的平均變化率.

3.函數(shù)y=x2在xo到x0+Ax之間的平均變化率為"，在X。-Ax到x。之間的平均變化率為

k2,則k1與k2的大小關(guān)系為()

A.k】>k2B.ki<k2

C.ki=k2D.不確定

■f(Xo+Ax)—f(X