2022-2023學年北京市月壇中學九年級上學期期中考試數(shù)學試卷含詳解

北京市月壇中學2022-2023學年度第一學期

期中試卷初三年級數(shù)學

試卷滿分：100分考試時間：120分鐘

一.選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的.

1.2020年5月1日起，北京市全面推行生活垃圾分類.下列垃圾分類標志分別是可回收物、廚余垃圾、有害垃圾和

其他垃圾，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.拋物線y=（x+l）?+2的對稱軸為（）

A.直線龍=一1B.直線x=5C.直線x=3D.直線x=4

3.如圖，將一A3C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)100。，得到VADE.若點。在線段的延長線上，則的度數(shù)為

()

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.將拋物線y=-平移，得到拋物線y=—3（x—If-2,下列平移方式中，正確的是（）

A.先向左平移1個單位,再向上平移2個單位

B.先向左平移1個單位,再向下平移2個單位

C.先向右平移1個單位,再向上平移2個單位

D.先向右平移1個單位,再向下平移2個單位

5.用配方法解一元二次方程f一4x+3=（）時，可配方得（）

A.(x-2『=7B.(X-2)2=1C.(x+2『=lD.(x-2)2=-1

6.風力發(fā)電機可以在風力作用下發(fā)電.如圖的轉(zhuǎn)子葉片圖案繞中心旋轉(zhuǎn)"。后能與原來的圖案重合，那么〃的值可

能是（）

A.45B.60C.90D.120

7.二次函數(shù)丫=4乂2+6乂+。（aWO）的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是（）

A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b>0,c>0C,a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c>0

8.圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機.如圖2,它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm,雙

翼的邊緣AC=8D=54cm,且與閘機側(cè)立面夾角NPCA=NBOQ=30°.當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的

最大寬度為（）

D.54cm

二.填空題（本題共16分，每小題2分）

9.二次函數(shù)y=—。+1尸+2的頂點坐標是

10.點（2,3）關(guān)于原點對稱的點的坐標是.

11.寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：（1）開口向下;（2）與y軸交于點（0,3）,這個二次函數(shù)的解析式可以是

12.如圖所示，P等邊△ABC內(nèi)一點，ABCM是由△BAP旋轉(zhuǎn)所得，則NPBM=.

13.已知關(guān)于x的方程x2+2x+)l=()有兩個相等的實數(shù)根，則人的值是

14?點4(—3,%),B(2,%)在拋物線y=f-5x上，則,(填“>”，“<”或“=”)

15.將含有30°角的直角三角板OAB如圖放置在平面直角坐標系中，OB在X軸上，若OA=2,將三角板繞原點

。順時針旋轉(zhuǎn)90°,則點A的對應(yīng)點A'的坐標為.

16.如圖，直線yi=fcr+〃(原0)與拋物線”=以2+反+。(存0)分別交于A(T,0),B(2,-3)兩點，那么當

yi>y2時，x的取值范圍是.

三.解答題(本題共68分)

17.解方程

(1)N—4x+3=0

(2)2x2-5x+1=0

18.已知二次函數(shù)的解析式是y=ar2+灰經(jīng)過點(2,0)和(1,-1),求以b值，開口方向及二次函數(shù)解析式

19對于拋物線y=/-4x+3.

(1)它與無軸交點的坐標為,與y軸交點的坐標為,頂點坐標為；

(2)在坐標系中利用描點法畫出此拋物線；

x

y

(3)結(jié)合圖象直接回答：當0<xV3時，則y的取值范圍是

20.如圖，方格中，每個小正方形邊長都是單位1,AABC在平面直角坐標系中的位置如圖.

(1)畫出將AABC向右平移2個單位得到山Ci；

(2)畫出將AABC繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到的“252c2：

21.如圖，在_ABC中，XACB=9Q°,AC=BC,D是AB邊上一點(點D與A,8不重合)，連結(jié)C。，將線

段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連結(jié)。E交8C于點尸，連接BE.

(1)求證：_ACD&BCE；

(2)當AD=B/時，求一應(yīng)力的度數(shù).

22.已知一元二次方程Y-(2m-l)x+m2-w=0,

(1)求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根;

(2)若拋物線丁=%2-(2加―1)%+機2一機經(jīng)過原點，求m的值.

23.已知二次函數(shù)丁=一/+法+。的圖象如圖所示，解決下列問題:

(1)關(guān)于X的一元二次方程一/+加+°=0的解為；

(2)求此拋物線的解析式；

(3)當自變量x為何值時，y隨x的增大而減?。?/p>

(4)若直線丁=人與拋物線沒有交點，直接寫出女的范圍.

24.跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分.一名運動員起跳

后，他的飛行路線如右圖所示，當他的水平距離為15m時，達到飛行的最高點C處，此時的豎直高度為45m,他

落地時的水平距離(即0A的長)為60m,求這名運動員起跳時的豎直高度(即OB的長).

25.關(guān)于x的一元二次方程。/+云+。=0(?>0)有兩個不相等且非零的實數(shù)根，探究小6,c滿足的條件.

小華根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，認為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，下面是小華的探究過程：第一步：設(shè)一

元二次方程加2=0(“>())對應(yīng)的二次函數(shù)為y=or2+法+c(a>0)；

第二步：借助二次函數(shù)圖象，可以得到相應(yīng)的一元二次方程中a,b,c滿足的條件，列表如下：

方程兩根的情況對應(yīng)的二次函數(shù)的大致圖象a,b,c滿足的條件

。>0,

A=/?2-4ac>0,

方程有兩個

<b八

不相等的負實根乂----<0,

2a

c>0.

a>0,

①________

Ac<0.

方程有兩個

②_____③______________

不相等的正實根

(1)請幫助小華將上述表格補充完整;

(2)參考小華做法，解決問題:

若關(guān)于x的一元二次方程f一(加+5)%-2加=0有一個負實根和一個正實根，且負實根大于一1,求實數(shù)〃?的取

值范圍.

y(x>0)

26.在平面直角坐標系xOy中，對于點P(x,y)和Q(x,y'),給出如下定義：若y'=<-\［，則稱點Q為點

—y(x<0)

P的“可控變點”.

例如：點(1,2)的“可控變點”為點(1,2),點(一1,3)的“可控變點”為點(-L-3).

(1)點(一5,-2)的“可控變點”坐標為

(2)若點P在函數(shù)y=-/+16圖象上，其“可控變點”。的縱坐標y'是7,求“可控變點”Q的橫坐標;

(3)若點尸在函數(shù)>=-/+16(-54》44)的圖象上，其“可控變點”。的縱坐標V的取值范圍是764yW16,

求實數(shù)。的取值范圍.

北京市月壇中學2022-2023學年度第一學期

期中試卷初三年級數(shù)學

試卷滿分：100分考試時間：120分鐘

一.選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的.

1.2020年5月1日起，北京市全面推行生活垃圾分類.下列垃圾分類標志分別是可回收物、廚余垃圾、有害垃圾和

其他垃圾，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

Z7X

△

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱的概念求解.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

C、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

D、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，掌握知識點是解題關(guān)鍵.

2.拋物線y=（x+lp+2的對稱軸為（）

A.直線x=-lB.直線x=5C.直線x=3D.直線x=4

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的頂點式即可直接判斷.

【詳解】拋物線y=（x+1?+2的對稱軸為直線戶一1.

故選A.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點式為＞=。（工-〃）2+左，其頂點坐標是

（h,k）,對稱軸是直線x=〃.

3.如圖，將乙ABC繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)100。，得到VADE.若點。在線段的延長線上，則35的度數(shù)為

()

A.30°B,40°C,50°D.60°

【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AB=AD，ZBA￡>=100°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，可求出

N6的大小.

【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：AB^AD，ZBAZ)=100o,

NABD=ZADB=g(180°-100°)=40°.

故選：B.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合，利用等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.將拋物線y=-3/平移，得到拋物線y=-3(x-1)2-2,下列平移方式中，正確的是()

A.先向左平移I個單位，再向上平移2個單位

B.先向左平移1個單位，再向下平移2個單位

C.先向右平移1個單位，再向上平移2個單位

D.先向右平移1個單位，再向下平移2個單位

【答案】D

【詳解】解：將拋物線y=-3N平移，先向右平移1個單位得到拋物線尸-3(x-1)2,再向下平移2個單位得到拋

物線y=-3(x-1)2-2.

故選D.

【點睛】此題考查了拋物線的平移問題，根據(jù)“上加下減，左加右減”解決問題.

5.用配方法解一元二次方程4》+3=0時，可配方得()

A.(x-2)2=7B.(X-2)2=1C.(x+2)2=1D.(x-2f=-l

【答案】B

【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要先把常數(shù)項移項、二次項系數(shù)化1,然后左右兩邊加上一次

項系數(shù)一半的平方.

【詳解】：X2-4X+3=0,

，x2-4x=-3,

，x2-4x+4=-3+4,

:.(x-2)2=1.

故選B.

【點睛】配方法的一般步驟：

（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；

（2）把二次項的系數(shù)化為1；

（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半平方.

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)是2的倍數(shù).

6.風力發(fā)電機可以在風力作用下發(fā)電.如圖的轉(zhuǎn)子葉片圖案繞中心旋轉(zhuǎn)〃。后能與原來的圖案重合，那么，7的值可

能是（）

A.45B.60C.90D.120

【答案】D

【分析】該圖形被平分成三部分，因而每部分被分成的圓心角是120°,并且圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，因而旋轉(zhuǎn)120度

的整數(shù)倍，就可以與自身重合.

【詳解】該圖形被平分成三部分，旋轉(zhuǎn)120°的整數(shù)倍，就可以與自身重合，

故n的最小值為120.

故選：D.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形

叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角.

7.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a#0）的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是（）

A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b>0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c>0

【答案】B

【分析】利用拋物線開口方向確定a的符號，利用對稱軸方程可確定6的符號，利用拋物線與y軸的交點位置可確

定c的符號.

詳解】?.?拋物線開口向下，

aVO,

?拋物線的對稱軸在了軸的右側(cè),

,b

..x=-->0,

2a

/.b>0,

?.?拋物線與y軸的交點在x軸上方,

Ac>0,

故選B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)gc（aWO）,二次項系數(shù)a決定拋物線

的開口方向和大?。寒攁>0時，拋物線向上開口；當aVO時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)6和二次項系數(shù)a

共同決定對稱軸的位置：當a與3同號時（即公>0）,對稱軸在y軸左；當a與6異號時（即劭<0）,對稱軸

在了軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（O,c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：

△=62-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；△=//-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=6:!-4ac<0

時，拋物線與x軸沒有交點.

8.圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機.如圖2,它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm,雙

翼的邊緣AC=8O=54cm,且與閘機側(cè)立面夾角NPCA=/BZ）Q=30°.當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的

最大寬度為（）

A.（54x/3+10）cmB.（54.y2+10）cmC.64cmD.54cm

【答案】C

【分析

過A作AELCP于E,過B作BFLDQ于F,則可得AE和BF的長，依據(jù)端點A與B之間的距離為10cm,即可得到可以

通過閘機的物體的最大寬度.

過A作AE_LCP于E,過B作BF_LDQ于F,則

RtAACE中，AE=；AC=gx54=27(cm),

同理可得，BF=27cm,

又?.?點A與B之間的距離為10cm,

.?.通過閘機的物體的最大寬度為27+10+27=64(cm),

故選C.

【點睛】

本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當作數(shù)進行運算，二是具有三

角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應(yīng)用較多.

二.填空題(本題共16分，每小題2分)

9.二次函數(shù)y=—(x++2的頂點坐標是.

【答案】(―1,—2)

【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式，直接可得頂點坐標.

【詳解】解：???二次函數(shù)為y=—(x+l>+2,

，頂點坐標為:(T-2),

故答案為：(―1,-2).

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)-頂點坐標，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點式.

10.點(2,3)關(guān)于原點對稱的點的坐標是.

【答案】(-2,-3).

【詳解】根據(jù)“關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)”可知：

點P(2,3)關(guān)于原點對稱的點的坐標是(-2,-3).

故答案為(-2,-3).

11.寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：(1)開口向下;(2)與y軸交于點(0,3),這個二次函數(shù)的解析式可以是.

【答案】y=-?+3(答案不唯一)

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出“<0,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出c=3,取a=-1,8=0即可

得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=o?+樂+c.

;拋物線開口向下，

**-a<0.

拋物線與y軸的交點坐標為（0,3）,

**?c=3.

取。=_1,方=0時，二次函數(shù)的解析式為y=—f+3.

故答案為：y=—V+3（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上

點的坐標特征，找出“<0,c=3是解題的關(guān)鍵.

12.如圖所示，尸是等邊AABC內(nèi)一點，是由△8AP旋轉(zhuǎn)所得，則.

【答案】60°

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】解：:△ABC是等邊三角形，...NABC=60。,

?.?△BCM是由△A4P旋轉(zhuǎn)所得，.?.旋轉(zhuǎn)中心是點8,旋轉(zhuǎn)角為NABC=60。,

：.NPBM=NABC=60°.

故答案為60°.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，難度不大，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.已知關(guān)于無的方程V+2x+%=0有兩個相等的實數(shù)根，則人的值是.

【答案】1

【分析】由一元二次方程根的判別式列方程可得答案.

【詳解】解：一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，

可得判別式.=0,

.?.4—4%=（）,

解得：k=l.

故答案為：1.

【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式的含義是解題的關(guān)鍵.

14.點A（—3,y）,B（2,%）在拋物線y=/-5x上，貝|」必%?（填“>”，“<”或“=”）

【答案】>

【分析】將A,B兩點代入拋物線，求出對應(yīng)的y值即可.

【詳解】當x=-3時，x=d-5x=24；

2

當x=2時，y2=x—5x--6；

V24>-6，

??-M>>2.

故答案為：〉.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，掌握知識點是解題關(guān)鍵.

15.將含有30°角的直角三角板04B如圖放置在平面直角坐標系中，在x軸上，若04=2,將三角板繞原點

。順時針旋轉(zhuǎn)90°,則點A的對應(yīng)點A'的坐標為.

【答案】（1,一百）

【分析】求出旋轉(zhuǎn)后。加與y軸夾角為30°,然后求出點A的橫坐標與縱坐標，從而得解.

【詳解】解：如圖，作Z'CUx軸

???三角板繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，

二旋轉(zhuǎn)后OA'與y軸夾角為30°,

，N049=30。

；OA=2,

：.OA'=2,

1,

，0C=2x-=l

2

即點A'的橫坐標為1,

"C=^OA'）2-OC2=y/4-l=百

即縱坐標為-6，

所以，點H的坐標為（1,一?.

故答案：（1,一6）.

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，準確識圖求出旋轉(zhuǎn)后04與y軸的夾角為30°是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，直線？=履+〃（原0）與拋物線）2=ox2+bx+c（〃和）分別交于A（-1,0）,B（2,-3）兩點，那么當

yi>），2時，x的取值范圍是.

【答案】-1VXV2

【分析】根據(jù)圖象得出取值范圍即可.

【詳解】解：因為直線yi=fcv+〃（后0）與拋物線”=。/+版+。（存0）分別交于A（-1,0）,B（2,-3）兩點,

所以當yi>”時，-l〈xV2,

故答案為-l<x<2

【點睛】此題考查二次函數(shù)與不等式，關(guān)鍵是根據(jù)圖象得出取值范圍.

三.解答題（本題共68分）

17.解方程

（1）4X+3=0

（2）2X2—5X+1=0

【答—L—”，一引1

【分析】（1）根據(jù)因式分解法求解一元二次方程即可:

（2）根據(jù)公式法求解一元二次方程即可.

【詳解】解：（1）X2-4X+3=0

(%-1)(%-3)=0

；?玉I,/3

(2)2X2-5X+1=0

a=2,h=—5>c=l

A=/-4ac=(-5)2-4x2x1=25-8=17>0

.-b+ylb2-4ac5±V17

??x=--------------------=-----------

2a4

.5+V175-V17

,?X.—‘X-)—"

144

【點睛】此題考查了一元二次方程的求解，掌握一元二次方程的求解方法是解題的關(guān)鍵.

18.已知二次函數(shù)的解析式是丁=以2+法經(jīng)過點⑵0)和(1,-1),求。、8值，開口方向及二次函數(shù)解析式

【答案】a=\,b=-2,開口向上，y=x2-2x.

【分析】將點(2,0),(1,-1)代入二次函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法法求該二次函數(shù)的解析式即可.

4a+28=0

【詳解】解：根據(jù)題意，得《,,.

a+b=-l

a=\

解得：《

b=-2

該二次函數(shù)的解析式為：)=x2-Zx,開口向上.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題時，借用了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：經(jīng)過圖象

上的點一定在函數(shù)圖象上，且圖象上的每一個點均滿足該函數(shù)的解析式.

19.對于拋物線y=9-4x+3.

(1)它與x軸交點坐標為,與y軸交點的坐標為,頂點坐標為；

(2)在坐標系中利用描點法畫出此拋物線；

X??????

y??????

(3)結(jié)合圖象直接回答：當0<x<3時，則y的取值范圍是

【答案】(1)(1,0)(3,0)；(0,3)；(2,-1)；(2)見解析;(3)-l<y<3.

【分析】（1）將y=0代入）=N-4X+3,可求出拋物線與x軸交點的坐標，將廣。代入y=N-4x+3可求出拋物線與y

軸交點的坐標，根據(jù)頂點坐標公式（-二h,坐—上）即可求出頂點坐標；

2a4a

（2）在拋物線y=N-4x+3找出5個點的坐標，然后用平滑的曲線連起來即可;

（3）根據(jù)（2）中畫出的圖象求解即可.

【詳解】（1）將）=0代入y=/-4x+3,

0=x2-4x+3,

=X2=3;

...拋物線與X軸交點的坐標（1,0）（3,0）,

將40代入>=x2-4x+3,

.?.y=3,

.?.拋物線與y軸交點的坐標為（0,3）,

b=-4z.24ac-〃4x1x3-(-4廣12-16-4

2a2x14a4x144

二.拋物線頂點坐標為（2,-1）；

（2）列表：

X???01234???

???

y30-103

描點、連線，如圖,

（3）由（2）中的函數(shù)圖象知，當0<x<3時，則y的取值范圍是-l<y43.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)與x軸、y軸交點坐標、頂點坐標，畫法，圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次

函數(shù)的圖象和性質(zhì).

20.如圖，方格中，每個小正方形的邊長都是單位1,AABC在平面直角坐標系中的位置如圖.

（1）畫出將AABC向右平移2個單位得到△4BiG；

（2）畫出將AA8C繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到的4A252c2；

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【分析】（1）將點A、B、C分別向右平移2個單位得到其對應(yīng)點，順次連接即可得；

（2）將點4、B、C分別繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到其對應(yīng)點，順次連接即可得;

【詳解】解：（1）如圖，山iG為所作；

（2）如圖，282c2為所作.

【點睛】本題主要考查平移變換（在平面內(nèi)，將一個圖形上的所有點都按照某個直線方向做相同距離的移動）和

旋轉(zhuǎn)變換（由一個圖形改變?yōu)榱硪粋€圖形，在改變過程中，原圖上所有的點都繞一個固定的點換同一方向，轉(zhuǎn)動

同一個角度），熟練掌握平移變換、旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，在_ABC中，/ACB=90°,AC=BC,。是AB邊上一點（點。與A,8不重合），連結(jié)C。，將線

段CD繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連結(jié)DE交于點/，連接BE.

（1）求證：,.ACD\BCE；

（2）當AD=3尸時，求NBEF的度數(shù).

【答案】（1）見解析（2）67.5°

【分析】（1）根據(jù)題意得出NACO=/BCE,AC=BC,CD=CE,進而即可證明一AC。且-BCE（SAS）：

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出A￡>=BE，進而得出NA=NCBE=45°,結(jié)合已知條件得出的=所，根據(jù)等邊對

等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【小問1詳解】

證明：如圖（1）

,ZACB=90°,

:.ZACD+ABCD=9G0,

?；NDCE=90。,

：.ZDCB+ZBCE=90°,

：.ZACD=ZBCE,

???在ACO和..BCE中，

AC=BC

?NACD=NBCE,

CD=CE

.—AC?！盉CE（SAS）；

【小問2詳解】

_ACD-BCE（SAS）,

.'.ZA=ZCBE,

ZA=ZCBE=45°,

-NABC=45。，

：.ZDBE=90°,

ZEDB+ZDEB=90°,

QAD=BF,

；.BE=BF，

：.ZBFE=NDEB,

；NBFE=/EDB+45°,

：.NEDB+45°+NEDB=90°,

；.2NEDB=45°,

:.NEDB=22.5°,

ZBEF=22.5°+45°=67.5°,

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵.

22.已知一元二次方程f一（2m-l）x+，”2-m=0,

（1）求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若拋物線y=/-（2m-l）x+w?一加經(jīng)過原點，求加值.

【答案】（1）見解析；（2）叫=0,加2=1

【分析】(1)求出判別式△,判斷△的符號即可得出結(jié)論；

(2)將原點坐標(0,0)代入拋物線解析式中求解即可.

【詳解】(1)證明：依題意得：

A=［一(2〃?一1)丁—4(zn)

-4m2-4m+l-4m2+4m

=1>0,

故此方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2);拋物線y=%2一+—加經(jīng)過原點，

...將原點坐標代入拋物線的解析式中，得：加2一根=0，

解得：見=0,加2=1.

【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式、解一元二次方程、拋物線與坐標原點的交點問題，掌握一元二次方

程根的情況與判別式△的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

23.已知二次函數(shù)y=+法+C的圖象如圖所示，解決下列問題：

(1)關(guān)于X的一元二次方程一/+區(qū)+。=0的解為;

(2)求此拋物線的解析式；

(3)當自變量x為何值時，y隨x的增大而減小；

(4)若直線,=左與拋物線沒有交點，直接寫出％的范圍.

【答案】(1)芭=-1,工2=3

(2)y--x2+2x+3

(3)x>l

(4)k>4

【分析】(1)直接觀察圖象，拋物線與x軸交于-1,3兩點，所以方程的解為玉=-1,々=3;

(2)設(shè)出拋物線的頂點坐標形式，代入坐標(3,0),即可求得拋物線的解析式;

（3）若y隨x的增大而減小，則函數(shù)的圖象在對稱軸的的右側(cè)，找到對應(yīng)的自變量取值范圍即可；

（4）若直線丁=人與拋物線沒有交點，則%＞函數(shù)的最大值即可.

【小問1詳解】

解：觀察圖象可看對稱軸為X=1,則拋物線與x軸交于x=—l和x=3兩點，

二方程的解為玉=-1,々=3，

故答案為：司=-1,々=3；

【小問2詳解】

設(shè)拋物線解析式為y=—（x—Ip+k,

???拋物線與x軸交于點（3,0）,

,?.-（3-l）2+）t=O,

解得：k=4,

拋物線解析式為y=—（尤―+4,

即:拋物線解析式為y=-/+2X+3；

【小問3詳解】

若），隨x的增大而減小，則函數(shù)的圖象在對稱軸的的右側(cè)，由函數(shù)的圖象可知：%＞1；

【小問4詳解】

若直線丁=左與拋物線沒有交點，則攵〉函數(shù)的最大值，即左＞4.

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，掌握二次函數(shù)

的圖形和性質(zhì)是關(guān)鍵.

24.跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分.一名運動員起跳

后，他的飛行路線如右圖所示，當他的水平距離為15m時，達到飛行的最高點C處，此時的豎直高度為45m,他

落地時的水平距離（即OA的長）為60m,求這名運動員起跳時的豎直高度（即08的長）.

【答案】這名運動員起跳時的豎直高度為40m.

【分析】根據(jù)頂點式利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可解決問題.

【詳解】解：由題意可知拋物線的頂點為C(15,45),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-15)2+45(a/0),

-1

?.?尸0時，x=60,0=a(60-15)-+45,a=——>

Ay=-—(X-15)2+45,

45

.?.40時，y=-^(0-15)2+45=-5+45=40,即08=40.

答：這名運動員起跳時的豎直高度為40m.

【點睛】本題是二次函數(shù)的實際應(yīng)用題，主要考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，弄清題意，熟練掌握

待定系數(shù)法求解的方法是解題的關(guān)鍵.

25.關(guān)于x的一元二次方程”/+云+。=0(?>0)有兩個不相等且非零的實數(shù)根，探究a,6,c滿足的條件.

小華根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，認為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，下面是小華的探究過程：第一步：設(shè)一

元二次方程ar?+云+。=0(a>0)對應(yīng)的二次函數(shù)為y=ar2+c(a>Q)；

第二步：借助二次函數(shù)圖象，可以得到相應(yīng)的一元二次方程中“，6,c,滿足的條件，列表如下：

方程兩根的情況對應(yīng)的二次函數(shù)的大致圖象a,b,c滿足的條件

加ba>0,

f

A=〃-4ac>0,

方程有兩個

*b八

不相等的負實根X----<0,

2a

c>0.

a>0,

0_____<

4c<0.

方程有兩個

③___________________

不相等的正實根②__

(1)請幫助小華將上述表格補充完整;

(2)參考小華做法，解決問題：

若關(guān)于x的一元二次方程f—(，〃+5)x—2勿=0有一個負實根和一個正實根，且負實根大于一1,求實數(shù)加的取

值范圍.

Q>0,

2

A=/?-4QC>0,

【答案】（1）①方程有一個負實根，一個正實根；②詳見解析；③4b八；(2)0<m<6

---->0,

2a

c>0.

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系和二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系作答即可;

（2）根據(jù)題意得出關(guān)于，”的不等式組，解不等式組即可.

【詳解】解：（1）補全表格如下:

方程兩根的情況對應(yīng)的二次函數(shù)的大致圖象a,6,c滿足的條件

ya>0,

>

A=Z?2-4ac>0,

方程有兩個

"^r-±<0,

不相等的負實根

2a

c>0.

Aa>0,

①方程有一個負實V

c<0.

根，一個正實根

鄉(xiāng)

a>0,