《大學物理簡明教程》第2章-質點動力學

第一篇力學牛頓運動定律§2.1動量定理和動量守恒定律§2.2功

動能定理§2.3勢能

機械能守恒定律§2.4第2章質點動力學

三百年前，牛頓站在巨人的肩膀上，建立了動力學三大定律和萬有引力定律。其實，沒有后者，就不能充分顯示前者的光輝。海王星的發(fā)現(xiàn)，把牛頓力學推上榮耀的頂峰。魔鬼的烏云并沒有把牛頓力學推跨，他在更加堅實的根底上確立了自己的使用范圍。宇宙時代，給牛頓力學帶來了又一個繁花似錦的春天。艾薩克·牛頓〔1643年1月4日—1727年3月31日〕，英國皇家學會會長，英國著名的物理學家，百科全書式的“全才”，著有《自然哲學的數(shù)學原理》、《光學》?！?.1牛頓運動定律

牛頓在分析、總結伽利略等前人對力學研究成果的基礎上，在1687年出版的名著《自然哲學的數(shù)學原理》一書中，提出了三條定律，統(tǒng)稱為牛頓運動定律。引力質量是萬有引力定律中的質量，引力質量是物體間產生引力作用“能力”的量度。

牛頓第一定律

任何物體都保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)，除非有力加于其上迫使它改變這種狀態(tài)為止。包含兩個重要概念：慣性和力固有特性慣性質量是物體慣性大小的量度在物體運動速度遠小于光速時，慣性質量不隨速度而改變。2.1.1牛頓運動定律2.1.1牛頓運動定律

牛頓第二定律

物體所受的合外力等于物體動量的瞬時變化率。質點動量:牛頓第二定律:

質點運動的動力學方程或注意：1、適用于質點運動.2、瞬時性.3、運動中質量不變時,5、矢量性：具體運算時應寫成分量式直角坐標系中：自然坐標系中：4、迭加性：6、定量的量度了慣性慣性質量：牛頓第二定律中的質量常被稱為慣性質量引力質量：式中被稱為引力質量經典力學中不區(qū)分引力質量和慣性質量

作用力與反作用力，兩者互相依存，同時產生，同時消失。作用力和反作用力是分別作用在兩個物體上，它們不能相互抵消。物體間的作用力與反作用力總是屬于同種性質的力。牛頓運動定律適用范圍：1〕只適用于質點；2〕只適用于慣性系；3〕只能用來處理宏觀、低速的力學問題，而不適用于處理微觀粒子或高速運動的問題。2.1.1牛頓運動定律是矢量式平面直角坐標系中：自然坐標系中：2.1.2牛頓運動定律的應用〔1〕明確研究對象。實際問題中，相互作用的物體往往有幾個，當要具體分析某一物體的受力情況時，通常采用“隔離體法”，即把要研究的對象從周圍物體中別離出來，隔離體可以是一個物體或幾個物體的組合，也可以是物體的一個局部。〔2〕分析隔離體的受力情況，畫出隔離體的受力圖〔示力圖〕。在熟悉各類型力特點的根底上，找出隔離體受到的所有外力，在示力圖上表示出來?！?〕建立坐標系，列方程。根據問題的具體條件選取適當?shù)淖鴺讼?，?guī)定坐標軸的正方向，并在隔離圖上畫出來。列出牛頓第二定律的分量式，檢查標量方程式的數(shù)目和未知量的數(shù)目是否相等?！?〕解方程，并對所得結果作必要的討論。解方程一般先進行文字運算，然后再將具體數(shù)值代入。運算中應注意用統(tǒng)一的〔SI〕單位制。牛運用牛頓定律解題的根本步驟設板車和木箱對地的加速度分別為和

解:

例2-1用質量為kg的平板車運送一質量為kg的木箱，如圖a所示，木箱與板車之間的靜摩擦系數(shù)，水平路面與板車的滾動摩擦系數(shù)可以不計。問拉(或推)板車的水平力F最大不能超過多少才能保證木箱不致往后溜？隔離木箱和板車，受力分析，如圖b如果木箱與板車相對靜止，那么必有由牛頓第二定律，對

，有

對

有因為由以上三式解得要使木箱不往后滑動，必須滿足，即第一式代入，得代入題設數(shù)據，得N

解:小球在水中的受力圖如下圖，取豎直向下的方向為x正方向，由牛頓第二定律列出小球運動的微分方程為

或式中為一常數(shù)，令此速度是小球下沉的極限速度〔最后勻速下沉的速度〕。整理上式得

初始條件是：上式兩邊積分所以

我們把牛頓定律成立的參考系稱為慣性參考系，簡稱慣性系；而把牛頓定律不成立的參考系稱為非慣性參考系。一個參考系是否為慣性系，要靠實驗來判定。大量的實驗說明，在相當高的實驗精度內，地球是慣性系。同時，相對地面作勻速直線運動的參考系也都是慣性系；相對地面有加速度的參考系都是非慣性系。牛頓定律對非慣性系不成立。2.1.3慣性系§2.2動量定理和動量守恒定律整個物理學大廈的基石，三大守恒定律：

動量守恒定律能量轉換與守恒角動量守恒牛頓第二定律反映了物體所受外力與物體運動狀態(tài)變化的瞬時效應。事實上，很多情況下物體所受的力是持續(xù)的，因此，有必要研究物體在力的持續(xù)作用下，其運動狀態(tài)變化的情形，也就是研究力對物體產生的積累效應。力的積累效應包括力的時間積累效應和力的空間累積效應。本節(jié)討論力的時間累積效應。

作用于質點的合外力的沖量等于質點動量的增量，這就是質點的動量定理。2.2.1

質點動量定理由牛頓第二定律的動量形式有如果合外力的作用時間從質點的動量從上式兩邊對力作用的時間積分，有右邊是質點動量的增量左邊是力對時間的積分，時間內的沖量，動量定理的積分形式稱為力F在從用I表示(1)力對時間的積分是矢量函數(shù)的積分，因此沖量I

是矢量。當F

是恒力時，沖量

I的方向與F的方向相同；當F

為變力時，沖量I的方向一般與F的方向不同，此時I的方向由動量增量的方向決定。

質點動量定理作幾點說明：(2)動量定理是一個矢量方程，應用時，可以直接作矢量圖求解，也可以建立坐標后列坐標分量式求解。在平面直角坐標系中，動量定理的分量式為(3)沖量可以用平均力與時間的乘積來表示。在許多實際問題中，力隨時間變化的規(guī)律是不容易確定的。如打擊、碰撞一類問題中，物體之間的相互作用具有作用時間短、變化快、峰值大的特點，這種力稱為沖力，如下圖。處理這類問題時常用平均沖力來代替變力。質點動量定理作幾點說明：

解:例2-3擊球手用板狀拍打擊速率為m/s水平飛來的壘球，球飛到豎直上方10m處。球的質量kg，假設拍與球接觸時間為0.02s，求球受到的平均沖力。視小球為質點，其受重力mg和拍的平均沖力F兩個力作用。由于F遠大于重力mg，故重力〔恒力〕的沖量可以忽略不計。根據質點動量定理，有解法1：列坐標分量式求解建立坐標系如圖(a)所示，列出x和y方向動量定理的分量式，有由題設

求得平均沖力的大小和方向分別為即拍施于球的平均沖力的方向與x軸正方向的夾角為145°。

解法2：作矢量圖求解由沖量與動量增量的矢量關系式，作出三個矢量的關系圖如圖〔b〕所示，為一直角三角形，由圖得所以很多情況下，直接作矢量圖求解往往比列分量式求解要簡捷。2.2.2

質點系的動量定理設有兩個質點系m1、m2

質點系的動量定理————質點系總動量的增量等于質點系所受合外力的沖量。2.2.2

質點系的動量定理

質點系相互作用的內力可以改變系統(tǒng)內每一個質點的動量，但不能改變系統(tǒng)的總動量。2.2.3

動量守恒定律

動量守恒定律————若系統(tǒng)不受外力或外力矢量和為零，雖然系統(tǒng)內每個質點的動量可以變化，可以相互交換，但質點系的總動量不變。

那么和外力對動量守恒定律的幾點說明：(1)是矢量式，解題時通常列分量式，平面直角坐標中分量式：由上式看出，即使系統(tǒng)所受合外力不為零，但如果合外力在某一方向上的投影為零，那么質點系的總動量在該方向上的分量是守恒的。(2)應用動量守恒定律時，必須認真分析守恒條件是否成立，即系統(tǒng)在所研究的運動過程中所受合外力是否為零。但在處理如碰撞、爆炸之類問題時，因質點系相互作用的內力遠大于它們所受到的外力，且作用時間極短，也可對系統(tǒng)應用動量守恒定律求近似解。(3)動量是矢量。系統(tǒng)動量守恒是指質點系內各質點動量的矢量和不變。(4)動量守恒定律的表達式中，所有速度都應相對于同一慣性參考系而言。

解:例2-4質量為m，長為L的平板車停在平直的軌道上，一質量為m0的人以時快時慢的不規(guī)那么速率從車頭走到車尾，問平板車相對地面移動了多長距離？設平板車與軌道之間的摩擦可以忽略。把人和車視為一個系統(tǒng)，忽略車和軌道之間的摩擦，那么系統(tǒng)水平方向的動量守恒。取水平向右的方向為正方向，并以u和v表示車和人相對于地在同一時刻的速度，由動量守恒定律，有或上式兩邊對人從車頭走到車尾的時間t積分，有即所以解得

§2.3功動能定理

§2.2節(jié)討論了力的時間積累效應，一個力作用在物體上一段時間，結果是使物體的動量發(fā)生了變化。

本節(jié)討論力的空間積累效應，即討論一個力作用在物體上使物體移動了一段空間距離，力對物體作用的效果。2.3.1功

一、恒力的功————力沿位移方向的分量與力作用點位移大小的乘積。因為兩矢量點積的結果為一標量，故功是標量。功的單位為牛頓·米〔N·m〕，即焦耳〔J〕，1J=1N·m恒力的功等于力與位移的點積2.3.1功

二

、變力的功在平面直角坐標系中路徑有關，故功是一個過程量功——力的空間積累外力作功是外界對系統(tǒng)過程的一個作用量2.3.1功

三

、合力的功物體同時受的作用合力的功等于各分力的功的代數(shù)和2.3.1功

四

、功率——表征作功快慢程度的物理量，即單位時間內所做的功叫功率。平均功率：瞬時功率：瞬時功率等于力與速度的點積

解:例2-5一質點在Oxy坐標平面內作逆時針轉向的圓周運動，如下圖。有一力作用在質點上。計算該質點從坐標原點到P〔-R，R〕位置過程中，力F對質點做的功。這是變力做功

從O到P變力F的總功為2.3.2

動能動能定理令

質點的動能定理質點動能定理。即合外力所做的功等于質點動能的增量

解:例2-6質量m=10kg的物體沿x軸無摩擦地滑動，t=0時物體靜止于坐標原點?！?〕假設物體在力〔SI〕的作用下運動了3s，它的速率增為多大?〔2〕假設物體在力〔SI〕的作用下移動了3m，它的速率又增為多大？〔1〕由質點動量定理得〔2〕由質點動能定理得§2.4勢能

機械能守恒定律2.4.1保守力的功

重力的功

彈性力的功

萬有引力的功2.4.2勢能2.4.3機械能守恒定律2.4.1保守力的功1.重力的功重力做功與路徑無關，僅與質點的始末位置有關。

質點由a點運動到b點，重力做的總功為2.4.1保守力的功2.彈性力的功彈性力做功也與路徑無關，僅與物體的始末位置有關2.4.1保守力的功3.萬有引力的功如果一個力對質點所做的功僅決定于質點運動的始末位置，而與運動的路徑無關，這種力就稱為保守力。如：重力、彈性力、萬有引力都是保守力凡作功與路徑有關的力都是非保守力。如：摩擦力、磁力及一切產生形變的力都是非保守力上作用于m的引力

在

上的元功為2.4.2勢能保守力的功等于系統(tǒng)勢能增量的負值三式右邊由系統(tǒng)相對位置決定的函數(shù)必定是某種能量的函數(shù)形式。我們將其稱為勢能函數(shù)，用表示

取那么有即，質點在某一位置的勢能，數(shù)值上等于質點從該點經任意路徑移動到勢能零點保守力所做的功。勢能是一個標量，在SI制中，勢能的單位為焦耳〔J〕。2.4.2勢能引力勢能〔以無窮遠為零勢能點〕重力勢能〔以地面為零勢能點〕彈性勢能〔以彈簧原長為零勢能點〕必須強調的是，勢能是一個相對量，中選擇不同的勢能零點，質點在同一位置的勢能有不同的值。2.4.3機械能守恒定律1.質點系的動能定理與功能原理對系統(tǒng)內所有質點求和，得外力和內力對質點系所做的功的代數(shù)和等于質點系動能的增量，稱為質點系動能定理。2.4.3機械能守恒定律把分解為保守內力的功和非保守內力的功且保守內力的功之等于質點系勢能增量的負值，即質