北師大版八年級數(shù)學下冊專題1.4線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)【九大題型】(原卷版+解析)

專題1.4線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)【九大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長度】 1【題型2利用線段垂直平分線的性質(zhì)求最值】 2【題型3利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】 3【題型4利用線段垂直平分線的性質(zhì)探究角度之間的關系】 4【題型5利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明】 6【題型6線段垂直平分線的判定】 7【題型7尺規(guī)作線段垂直平分線】 8【題型8線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合運用】 9【題型9線段垂直平分線的實際應用】 10【知識點1線段垂直平分線的性質(zhì)】線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長度】【例1】（2023春·遼寧阜新·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若△ABC的周長是20，AB=4，AC=7，則△AEF的周長為（

）

A．4 B．7 C．9 D．11【變式1-1】（2023春·四川成都·八年級校考期中）如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線BD和AC邊的中垂線DE交于點D，DM⊥BA的延長線于點M，DN⊥BC于點N．若AB=3，BC=7，則AM的長為【變式1-2】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，則AE=

【變式1-3】（2023春·遼寧丹東·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D、E．已知△ADE的周長為11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為23cm，則OA的長為

【題型2利用線段垂直平分線的性質(zhì)求最值】【例2】（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任一點，則△ABP周長的最小值是

【變式2-1】（2023春·江西九江·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線分別交BC、AB于點D、E，若△AEC的周長是11，則直線DE上任意一點到A、C距離和最小為（）

A．28 B．18 C．10 D．7【變式2-2】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以點A、B為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點，M為直線EF上任意一點．若BC=2，△ABC面積為3，則BM+MD長度的最小值等于．【變式2-3】（2023春·山東青島·八年級校考期末）如圖，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D為AB中點，點P在AC上從C向A運動；同時，點Q在BC上從B向C運動，當∠PDQ＝時，△PDQ的周長最?。绢}型3利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】【例3】（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點M，N為AC邊上的兩點，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于點D，且NM=ND，若∠A=α，則∠C=（

A．32α B．90°?12α 【變式3-1】（2023春·安徽池州·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，則∠ABC的度數(shù)為．

【變式3-2】（2023春·四川甘孜·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，若DE垂直平分AB，求∠C的度數(shù)．

【變式3-3】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點O是AC、BC的垂直平分線的交點，連接AO、BO，若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（

）

A．α B．14α+90° C．12【題型4利用線段垂直平分線的性質(zhì)探究角度、線段之間的關系】【例4】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是長方形，E是邊CD的中點，連接AE并延長交邊BC的延長線于F，過點E作AF的垂線交邊BC于M，連接AM．（1）請說明ΔADE≌ΔFCE；（2）試說明AM=BC+MC；（3）設S△AEM=S1，S△ECM=S2，S△ABM=S3，試探究S1，S2，S3三者之間的等量關系，并說明理由．【變式4-1】（2023春·陜西西安·八年級西安市鐵一中學校考期末）△ABC的兩邊AB、AC的中垂線交于邊BC上的P點，則線段PA和BC的關系正確的是（）A．PA<12BC B．PA=12BC【變式4-2】（2023春·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，OF是∠MON的平分線，點A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側(cè)，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點B，點C，連接AB，PB．(1)如圖1，請指出AB與PB的數(shù)量關系，并說明理由．(2)如圖2，當P，Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由．【變式4-3】（2023春·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在直角△ABC中，∠C=90°，分別作∠CAB的平分線AP和AB的垂直平分線DP，交點為P．（1）如圖2，若點P正好落在BC邊上．①求∠B的度數(shù)；②求證：BC=3PC．（2）如圖3，若點C、P、D恰好在一條直線上，線段AD、PD、BC之間的數(shù)量關系是否滿足AD+PD=BC？若滿足，請給出證明；若不滿足，請說明理由．【題型5利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明】【例5】（2023春·陜西榆林·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABDC中，AD所在直線垂直平分線段BC，過點C作CF∥BD交AB于點F，延長AB，CD交于點E．求證：

(1)CB平分∠ECF；(2)∠ACF=∠E．【變式5-1】（2023春·重慶綦江·八年級校聯(lián)考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D，DM丄AB與M，DN丄AC交AC的延長線于N，你認為BM與CN之間有什么關系？試證明你的發(fā)現(xiàn)．【變式5-2】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E、F在AB上，連接CE，CF，且CF=BF．已知∠A=50°

【變式5-3】（2023春·福建龍巖·八年級?？奸_學考試）已知（如圖），在△ABC中，D是BC的中點，過點D的直線GF交AC于點F，交AC的平行線BG于點G，DE⊥GF，交AB于點E，連結(jié)EF．(1)求證：BG=CF．(2)試判斷BE+CF與EF的大小關系，并說明理由．【知識點2線段垂直平分線的判定】到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點需要找兩個）【題型6線段垂直平分線的判定】【例6】（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學校校考期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和(1)求證：AD垂直平分EF；(2)若AB=3，AC=2，△ABC【變式6-1】（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，已知AD⊥BC于點D，BD=DC，AB+BD=DE，求證：點C在AE的垂直平分線上．

【變式6-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC交AC于點E，交CD于點F，過點E作EG∥CD，交AB于點G，連接CG．

(1)求證：∠A+∠AEG=90°；(2)求證：EC=EG；(3)若CG=4，BE=5，求四邊形BCEG的面積．【變式6-3】（2023春·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD與BC相交于點O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，連接OE，BD，求證；OE垂直平分

【題型7尺規(guī)作線段垂直平分線】【例7】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，請用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點M，使MC+MB=AC，并連接MB．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【變式7-1】（2023春·湖南郴州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．(1)尺規(guī)作圖：作邊AC的垂直平分線交BC于點D，連接AD（要求：保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；(2)在（1）作出的圖形中，求△ABD的周長．【變式7-2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)上步中學校考期中）如圖，已知△ABC，AB<BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P，使得PA+PB=BC，則下列選項正確的（

）

B．

C．

D．

【變式7-3】（2023春·上海閔行·八年級?？计谥校┤鐖D，點P在∠AOB外，點Q在邊OA上，按要求畫圖，寫出作圖結(jié)論，并填空．(1)過點P分別畫PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別是E、(2)連接PQ，用尺規(guī)作線段PQ的垂直平分線MN．(3)過P、Q兩點分別作OA、OB的平行線交于點G；若∠AOB=120°，則∠G=______________．【題型8線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合運用】【例8】（2023春·廣東河源·八年級校考期中）如圖：在△ABC中，點D是BC的中點，點E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，且DE⊥DF．

(1)猜想：EFBE+CF（填上“<”、“=”或“>”）；(2)證明你的猜想．【變式8-1】（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．(1)求證：∠ACB＝∠ACD；(2)過點E作ME∥AB，交AC的延長線于點M，過點M作MP⊥DC，交DC的延長線于點P．①連接PE，交AM于點N，證明AM垂直平分PE；②點O是直線AE上的動點，當MO+PO的值最小時，證明點O與點E重合．【變式8-2】（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點F．下列結(jié)論：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S正確的結(jié)論序號是（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④【題型9線段垂直平分線的實際應用】【例9】（2023春·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）（1）圖1是小正方形的邊長均為1的方格紙，請你涂出一個圖形（所有頂點都在格點上），使其滿足如下條件：①圖形的面積為7；②圖形是軸對稱圖形．

（2）如圖2，一條筆直的公路MN同一側(cè)有兩個村莊A和B，現(xiàn)準備在公路MN上修一個公共汽車站點P，使站點P到兩個村莊A和B的距離相等．請你用尺規(guī)作圖找出點P的位置，不寫作法，保留作圖痕跡．【變式9-1】（2023春·河北秦皇島·八年級校考開學考試）元旦聯(lián)歡會上，3名同學分別站在△ABC三個頂點的位置上．游戲時，要求在他們中間放一個凳子，該先坐到子上誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放置的最適當?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的（

）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊中線的交點 D．三邊上高的交點【變式9-2】（2023春·廣西北海·八年級統(tǒng)考期中）如圖，要在公路MN旁修建一個貨物中轉(zhuǎn)站P，分別向A、B兩個開發(fā)區(qū)運貨．若要求貨站到A、B兩個開發(fā)區(qū)的距離相等，那么貨站應建在那里？不寫作法，保留作圖痕跡．

【變式9-3】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級統(tǒng)考期末）作圖題：金沙縣新城區(qū)黃河大道l的一側(cè)有A、B兩個商住小區(qū)，為了方便居民出行，公交公司準備在黃河大道l上修建一個公交車站．請問公交車站P建在什么位置從商住小區(qū)A乘坐公交車到小區(qū)B的路程最近，請在圖中做出點P的位置．

專題1.4線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)【九大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長度】 1【題型2利用線段垂直平分線的性質(zhì)求最值】 5【題型3利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】 9【題型4利用線段垂直平分線的性質(zhì)探究角度之間的關系】 13【題型5利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明】 19【題型6線段垂直平分線的判定】 24【題型7尺規(guī)作線段垂直平分線】 27【題型8線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合運用】 31【題型9線段垂直平分線的實際應用】 38【知識點1線段垂直平分線的性質(zhì)】線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長度】【例1】（2023春·遼寧阜新·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若△ABC的周長是20，AB=4，AC=7，則△AEF的周長為（

）

A．4 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】先根據(jù)△ABC的周長公式求得BC=9，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB，F(xiàn)A=FC，根據(jù)△AEF的周長公式計算，即可得到答案．【詳解】解：∵△ABC的周長是20，∴AB+AC+BC=20∵AB=4，AC=7，∴BC=9，∵EG是線段AB的垂直平分線，∴EA=EB，同理，F(xiàn)A=FC，∴△AEF的周長=EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=9，故選：C．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．【變式1-1】（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠ABC的角平分線BD和AC邊的中垂線DE交于點D，DM⊥BA的延長線于點M，DN⊥BC于點N．若AB=3，BC=7，則AM的長為【答案】2【分析】連接AD，CD，由“AAS”可證△BDM?△BDN，可得BM=BN，由“HL”可證Rt△ADM?【詳解】解：連接AD，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠DBC，在△BDM和△BDN中，∠DMB=∠DNB=90°∠ABD=∠DBC∴△BDM?△BDNAAS∴BM=BN，∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=DC，在Rt△ADM和RtAD=CDDM=DN∴Rt△ADM?∴AM=CN，∵AB=3，∴BC?AB=BN+CN?BM?AM∴AM=2，故答案為2．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關鍵．【變式1-2】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，則AE=

【答案】4【分析】連接BD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BD=CD，繼而可證得Rt△BED?Rt△CFD，可得BE=CF，再證得△AED?△AFD，得到AE=AF，設BE=x，由AB?BE=AC+CF，即可得方程5?x=3+x，解方程求出x【詳解】解：連接BD，CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED與RtBD=CDDE=DF∴Rt∴BE=CF，在△AED和△AFD中，∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FAD∴△AED?△AFD(AAS∴AE=AF，設BE=x，則CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB?BE，AF=AC+CF，∴5?x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，∴AE=AB?BE=5?1=4，故答案為：4．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．準確作出輔助線，利用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想求解是解決問題的關鍵．【變式1-3】（2023春·遼寧丹東·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D、E．已知△ADE的周長為11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為23cm，則OA的長為

【答案】6【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA=DB，EA=EC，OA=OB=OC，從而可求出BC=11cm，然后根據(jù)△OBC的周長為23cm，即可求出【詳解】解：∵OM是AB的垂直平分線，∴DA=DB，OA=OB，∵ON是AC的垂直平分線，∴EA=EC，OA=OC，∴OB=OC，∵△ADE的周長為11cm∴AD+DE+AE=11cm∴BD+DE+CE=11cm∴BC=11cm∵△OBC的周長為23cm∴OB+OC=23?11=12cm∴OB=OC=6cm∴OA=OC=6cm故答案為：6cm【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．【題型2利用線段垂直平分線的性質(zhì)求最值】【例2】（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任一點，則△ABP周長的最小值是

【答案】12【分析】根據(jù)題意知PB=PC，故當點P與點D重合時，AP+BP的最小值等于AC的長，根據(jù)AB，AC的長度即可得到【詳解】解：連接PC，設AC交EF于D，

∵EF垂直平分BC，∴PB=PC，∴當P和D重合時，AP+BP的值最小，最小值等于AC的長，∵AB=5，∴△ABP周長的最小值是AB+AC=5+7=12．故答案為：12．【點睛】此考查了垂直平分線的性質(zhì)、最短路徑等知識，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式2-1】（2023春·江西九江·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線分別交BC、AB于點D、E，若△AEC的周長是11，則直線DE上任意一點到A、C距離和最小為（）

A．28 B．18 C．10 D．7【答案】D【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)和已知的三角形的周長計算．【詳解】解：∵DE是BC的中垂線，∴BE=EC，則AB=EB+AE=CE+EA，又∵△AEC的周長為11，故AB=11?4=7，直線DE上任意一點到A、C距離和最小為7．故選：D．【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等）有關知識．難度簡單．【變式2-2】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以點A、B為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點，M為直線EF上任意一點．若BC=2，△ABC面積為3，則BM+MD長度的最小值等于．【答案】3【分析】連接AD,AM，利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，根據(jù)三角形面積公式求出AD=3，利用基本作圖得到EF垂直平分AB，則MA=MB，所以BM+MD=MA+MD≥AD，當且僅當A、M、D共線時取等號，從而得到BM+MD的最小值．【詳解】解：連接AD,AM，如圖，∵AB=AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，∵△ABC的面積為3，∴12解得AD=3，由作法得EF垂直平分AB，∴MA=MB，∵BM+MD=MA+MD≥AD，∴當且僅當A、M、D共線時，MA+MD的最小值為3，∴BM+MD的最小值是3．故答案為：3．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖-作已知線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和最短路徑問題，確定出當且僅當A、M、D共線時，MA+MD取得最小值是解題的關鍵．【變式2-3】（2023春·山東青島·八年級校考期末）如圖，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D為AB中點，點P在AC上從C向A運動；同時，點Q在BC上從B向C運動，當∠PDQ＝時，△PDQ的周長最?。敬鸢浮?8°/28度【分析】根據(jù)兩點之間線段最短，把三角形的周長轉(zhuǎn)化為一條線段的長，利用三角形的內(nèi)角和及平角的定義求解．【詳解】過點D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，過點D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，連接EF，則EF的長為△PDQ的最小值，根據(jù)作圖知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF，∴DQ＝FQ，PD＝PE，∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ，根據(jù)兩點之間線段最短，所以EF的長是△PDQ的最小值，此時有：∠FDQ=12∠DQP，∠MDP=1在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝50°，∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°，∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP＝180°﹣40°﹣36°?12（∠DQP+∠＝104°?12（180°﹣∠＝104°﹣90°+12∠解得：∠PDQ＝28°．故當∠PDQ＝28°時，△PDQ的周長最小．故答案為：28°【點睛】本題考查了最短路徑問題，通過軸對稱把問題進行轉(zhuǎn)化是解題的關鍵．【題型3利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】【例3】（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點M，N為AC邊上的兩點，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于點D，且NM=ND，若∠A=α，則∠C=（

A．32α B．90°?12α 【答案】D【分析】根據(jù)看垂直平分線的性質(zhì)可得∠ABM=∠NBM=90°?α，NM=ND和BM⊥AC，ND⊥BC可得BN平分∠NDM，進而得到∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°?α，最后由三角形內(nèi)角和求出【詳解】∵AM=NM，BM⊥AC，∠A=α，∴∠ABM=∠NBM=90°?α，∵NM=ND，BM⊥AC，∴BN平分∠NDM，∴∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°?α，∴∠ABC=∠ABM+∠DBN+∠NBM=270°?3α，∴∠C=180°?∠A?∠ABC=180°?270°?3α故選：D．【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的判定定理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式3-1】（2023春·安徽池州·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，則∠ABC的度數(shù)為．

【答案】48°【分析】由角平分線的定義可得∠ABD=∠BCD，由垂直平分線的性質(zhì)可得BF=CF，從而得到∠FBC=∠FCB，進而得到∠ABD=∠FBC=∠FCB，由三角形內(nèi)角和定理進行計算即可得到答案．【詳解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BCD，∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠FBC=∠FCB，∴∠ABD=∠FBC=∠FCB，∵∠A+∠ACF+∠ABD+∠CBD+∠BCF=180°，∠A=60°，∠ACF=48°，∴∠ABD=∠CBD=∠BCF=24°，∴∠ABC=2∠ABD=48°，故答案為：48°．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．【變式3-2】（2023春·四川甘孜·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，若DE垂直平分AB，求∠C的度數(shù)．

【答案】∠C=84°【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，∠DAB=∠B=32°，再根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=32°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAB=2∠DAB=64°，∴∠C=180°?∠CAB?∠B=180°?64°?32°=84°，∴∠C=84°．【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義．掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．【變式3-3】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點O是AC、BC的垂直平分線的交點，連接AO、BO，若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（

）

A．α B．14α+90° C．12【答案】B【分析】連接CO并延長，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA=OC，OB=OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到∠AOB=12(∠OCA+∠OCB)=α．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠IAB+∠IBA=180°?∠AIB，根據(jù)角平分線的定義得到∠IAB+∠IBA=90°?【詳解】解：連接CO并延長，

∵點O是AC、BC的垂直平分線的交點，∴OA=OC，OB=OC，∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一個外角，∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，同理，∠BOD=2∠OCB，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=α，∴∠OCA+∠OCB=α∴∠ACB=α∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB=12∠CAB∴∠IAB+∠IBA=1∴∠AIB=180°?(∠IAB+∠IBA)=90°+α故選：B．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．【題型4利用線段垂直平分線的性質(zhì)探究角度、線段之間的關系】【例4】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是長方形，E是邊CD的中點，連接AE并延長交邊BC的延長線于F，過點E作AF的垂線交邊BC于M，連接AM．（1）請說明ΔADE≌ΔFCE；（2）試說明AM=BC+MC；（3）設S△AEM=S1，S△ECM=S2，S△ABM=S3，試探究S1，S2，S3三者之間的等量關系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）S3=2S1-4S2，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)ASA可證得ΔADE≌ΔFCE；（2）由（1）可得AE=EF，AD=CF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得再由線段等量關系即可說明AM=BC+MC；（3）由AE=EF得出S△ECF=S1-S2，再由底和高的倍數(shù)關系得到S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，從而根據(jù)S3=S△ABF-S△MAF得到結(jié)果．【詳解】解：（1）∵E是邊CD的中點，∴DE=CE，∵∠D=∠DCF=90°，∠DEA=∠ECF，∴△ADE≌△FCE（ASA）；（2）由（1）得AE=EF，AD=CF，∴點E為AF中點，∵ME⊥AF，∴AM=MF，∵MF=CF+MC，∵AD=BC=CF，∴MF=BC+MC，即AM=BC+MC；（3）S3=2S1-4S2，理由是：由（2）可知：AE=EF，AD=BC=CF，∴S1=S△MEF=S2+S△ECF，∴S△ECF=S1-S2，∵AB=2EC，BF=2CF，∠B=∠ECF=90°，∴S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，∴S3=S△ABF-S△MAF=S△ABF-2S1=2S1-4S2．【點睛】本題考查了長方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理。熟記性質(zhì)并找出三角形全等的條件是解題的關鍵．【變式4-1】（2023春·陜西西安·八年級西安市鐵一中學?？计谀鰽BC的兩邊AB、AC的中垂線交于邊BC上的P點，則線段PA和BC的關系正確的是（）A．PA<12BC B．PA=12BC【答案】B【分析】依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到AP＝BP＝CP，進而得出線段PA和BC的關系．【詳解】解：如圖所示，△ABC的兩邊AB、AC的中垂線交于邊BC上的P點，∴AP＝BP，AP＝CP，∴AP＝BP＝CP＝12BC故選：B．【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．【變式4-2】（2023春·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，OF是∠MON的平分線，點A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側(cè)，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點B，點C，連接AB，PB．(1)如圖1，請指出AB與PB的數(shù)量關系，并說明理由．(2)如圖2，當P，Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)AB=PB，理由見解析(2)存在，理由見解析【分析】（1）連接BQ，根據(jù)BC垂直平分OQ，可知BO=BQ，則∠BOQ=∠BQO，根據(jù)OF平分∠MON，則∠AOB=∠BOQ，即∠AOB=∠BQO，根據(jù)OA=QP，可知△AOB≌△PQB，則可知AB=PB；（2）如圖，連接BQ，根據(jù)BC垂直平分OQ，可知BQ=BO，CQ=CO結(jié)合條件可證△BQC≌△BOC，則∠BQO=∠BOQ，根據(jù)OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，可知∠AOF=∠FON=∠BOQ，則∠AOF=∠BQO，進而可知∠AOB=∠PQB，由此可證△AOB≌△PQB（SAS），則AB=PB．【詳解】（1）解：AB=PB理由如下：連接BQ∵BC垂直平分OQ∴BO=BQ∴∠BOQ=∠BQO∵OF平分∠MON∴∠AOB=∠BOQ∴∠AOB=∠BQO∵OA=QP∴△AOB≌△PQB∴AB=PB；（2）存在，理由：如圖，連接BQ，∵BC垂直平分OQ，∴BQ=BO，CQ=CO在△BQC和△BOC中，BC=BC∴△BQC≌△BOC（SSS）∴∠BQO=∠BOQ，∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，∴∠AOF=∠FON=∠BOQ，∴∠AOF=∠BQO，∴∠AOB=∠PQB，在△AOB和△PQB中，OA=PQ∴△AOB≌△PQB（SAS），∴AB=PB．【點睛】本題考查了線段垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，本題屬于中考?？紗栴}．【變式4-3】（2023春·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在直角△ABC中，∠C=90°，分別作∠CAB的平分線AP和AB的垂直平分線DP，交點為P．（1）如圖2，若點P正好落在BC邊上．①求∠B的度數(shù)；②求證：BC=3PC．（2）如圖3，若點C、P、D恰好在一條直線上，線段AD、PD、BC之間的數(shù)量關系是否滿足AD+PD=BC？若滿足，請給出證明；若不滿足，請說明理由．【答案】（1）①∠B的度數(shù)是30°；②見解析；（2）滿足，理由見解析【分析】（1）①由垂直平分線與角平分線的性質(zhì)證明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案；②先利用角平分線的性質(zhì)證明PC=PD，再用∠B=30°證明BP=2PD，進而即可得到結(jié)論；（2）過點P作PE⊥AC于點E，由垂直平分線的性質(zhì)可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，進而證明PE=CE，由角平分線的性質(zhì)可知PE=PD，即可證明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用線段的和差性質(zhì)即可證明AD+PD=BC．【詳解】（1）①∵DP是AB的垂直平分線，∴PA=PB，∴∠PAD=∠B，又∵AP平分∠CAB，∴∠PAD=∠PAC，∴∠PAD=∠PAC=∠B，設∠B=x°，則∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，即3x=90，x=30，∴∠B的度數(shù)是30°．②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB，∴PC=PD，∵在Rt△BDP中，∠B=30°，∴BP=2PD，∴BC=BP+PC=3PC．（2）如圖，過點P作PE⊥AC于點E，∵CD是AB的垂直平分線，∴AC=BC，∴∠ACD=∠BCD=12∵PE⊥AC，∴∠CPE=90°?∠PCE=90°?45°=45°=∠PCE，∴PE=CE，又∵AP平分∠CAB，PD⊥AB，PE⊥AC，∴PE=PD，∴在Rt△AEP和Rt△ADP中，AP=AP,∴Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），∴AE=AD，∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD，又∵AC=BC，∴AD+PD=BC．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、銳角三角函數(shù)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形全等的判定與性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)、線段的和差性質(zhì)，解答本題的關鍵是掌握并熟練運用以上知識．【題型5利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明】【例5】（2023春·陜西榆林·八年級校考期末）如圖，在四邊形ABDC中，AD所在直線垂直平分線段BC，過點C作CF∥BD交AB于點F，延長AB，CD交于點E．求證：

(1)CB平分∠ECF；(2)∠ACF=∠E．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由AD所在直線垂直平分線段BC得到BD=CD，從而得到∠BCD=∠CBD，再利用平行線的性質(zhì)可知∠CBD=∠FCB，再用等量代換即可證明；（2）由AD所在直線垂直平分線段BC得到AC=AB，∠ACB=∠ABC，從而得到∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB，再根據(jù)∠FCB=∠BCE即可得證．【詳解】（1）證明：∵AD所在直線垂直平分線段BC，∴BD=CD，∴∠BCD=∠CBD．∵BD∥∴∠CBD=∠FCB，∴∠FCB=∠BCD，即CB平分∠ECF；（2）∵AD所在直線垂直平分線段BC，∴AC=AB，∴∠ACB=∠ABC．∵∠ABC是△BCE的一個外角，∴∠ABC=∠E+∠BCE，∴∠ABC=∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB．又∵∠FCB=∠BCD，即∠FCB=∠BCE，∴∠ACF=∠E．【點睛】本題考查角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，掌握相關定理是解題的關鍵．【變式5-1】（2023春·重慶綦江·八年級校聯(lián)考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D，DM丄AB與M，DN丄AC交AC的延長線于N，你認為BM與CN之間有什么關系？試證明你的發(fā)現(xiàn)．【答案】BM=CN，證明見解析．【分析】如圖（見解析），先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DM=DN，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BD=CD，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得．【詳解】BM=CN，證明如下：如圖，連接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∵DE垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BMD與Rt△CND中，DM=DNBD=CD∴Rt△BMD?Rt△CND(HL)，∴BM=CN．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關鍵．【變式5-2】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E、F在AB上，連接CE，CF，且CF=BF．已知∠A=50°

【答案】證明見解析【分析】如圖所示，取BC中點G，連接FG，證明FG在線段BC的垂直平分線上，得到∠FGC=∠FGB=90°，進而證明△FGC≌△FGB得到∠FCG=∠FBG，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠FCB=∠B=40°，再利用三角形外角的性質(zhì)分別求出∠CFE、∠CEF的度數(shù)即可證明結(jié)論．【詳解】證明：如圖所示，取BC中點G，連接FG，∵CF=BF，∴FG在線段BC的垂直平分線上，∴FG⊥BC，∴∠FGC=∠FGB=90°，又∵FG=FG，∴△FGC≌△FGBSAS∴∠FCG=∠FBG，在在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°∴∠B=180°?∠ACB?∠A=40°，∴∠FCB=∠B=40°，∴∠CFE=∠FCB+∠B=80°，又∵∠CEF=∠A=50°+∠ACE=80°，∴∠CFE=∠CEF．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等等，證明∠FCG=∠FBG是解題的關鍵．【變式5-3】（2023春·福建龍巖·八年級?？奸_學考試）已知（如圖），在△ABC中，D是BC的中點，過點D的直線GF交AC于點F，交AC的平行線BG于點G，DE⊥GF，交AB于點E，連結(jié)EF．(1)求證：BG=CF．(2)試判斷BE+CF與EF的大小關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)BE+CF>EF，理由見解析【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF；（2）再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得出EG=EF，兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF>EF．【詳解】（1）證明：∵BG∥AC，∴∠DBG=∠DCF．∵D為BC的中點，∴BD=CD，在△BGD與△CFD中，∠DBG=∠DCFBD=CD∴△BGD≌△CFDASA∴BG=CF．（2）解：BE+CF>EF．理由如下：連接EG，∵△BGD≌△CFDASA∴GD=FD，BG=CF．又∵DE⊥FG，∴DE垂直平分FG，∴EG=EF．∴在△EBG中，BE+BG>EG，即BE+CF>EF．【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的定義和性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法并根據(jù)條件靈活選擇是解題的關鍵．【知識點2線段垂直平分線的判定】到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點需要找兩個）【題型6線段垂直平分線的判定】【例6】（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學校?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和(1)求證：AD垂直平分EF；(2)若AB=3，AC=2，△ABC【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得DE=DF，再由Rt△AED≌Rt△AFD（2）根據(jù)三角形的面積公式，代入計算即可．【詳解】（1）∵AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和∴DE=DF，在Rt△AED與RtAD=ADDE=DF∴Rt△AED∴AE=AF，∵DE=DF，∴AD垂直平分EF；（2）∵DE=DF，∴S△ABC∵AB=3，∴DE=8故答案為：85【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式6-1】（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，已知AD⊥BC于點D，BD=DC，AB+BD=DE，求證：點C在AE的垂直平分線上．

【答案】見解析【分析】由AD⊥BC，BD=DC，得到AD是BC的垂直平分線，因此AB=AC．再根據(jù)AB+BD=DE，可推出AC=CE，因此得證點C在AE的垂直平分線上．【詳解】∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB=AC．∵AB+BD=DE，∴AB+BD=CD+CE=AC+CD，∴AC=CE，∴點C在AE的垂直平分線上．【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．【變式6-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC交AC于點E，交CD于點F，過點E作EG∥CD，交AB于點G，連接CG．

(1)求證：∠A+∠AEG=90°；(2)求證：EC=EG；(3)若CG=4，BE=5，求四邊形BCEG的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)四邊形BCEG的面積為10．【分析】（1）證明EG⊥AB，即可證明結(jié)論成立；（2）利用角平分線性質(zhì)定理即可證明結(jié)論成立；（3）證明Rt△EBG≌Rt△EBCHL，推出【詳解】（1）證明：∵EG∥CD，CD⊥AB，∴EG⊥AB，∴∠A+∠AEG=90°；（2）證明：∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°，∴EC=EG；（3）解：∵EC=EG，EB=EB，∴Rt△EBG≌∴BC=BG，∴BE是線段CG的垂直平分線，∴四邊形BCEG的面積=1【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．【變式6-3】（2023春·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD與BC相交于點O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，連接OE，BD，求證；OE垂直平分

【答案】見解析【分析】先證明△ABO≌△CDO得到OB=OD，再由EB=ED即可證明OE垂直平分【詳解】證明：在△ABO和△CDO中，∠AOB=∠COD∴△ABO≌∴OB=OD，又∵EB=ED，∴OE垂直平分BD．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，證明△ABO≌△CDO得到【題型7尺規(guī)作線段垂直平分線】【例7】（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，請用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點M，使MC+MB=AC，并連接MB．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，作AB的垂直平分線與AC的交點即為點M，即可解答．【詳解】∵在AC上求作一點M，∴AM+MC=AC，∵MC+MB=AC，∴MB=AM，即點M在線段AB的垂直平分線上．如圖，點M即為所求．

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖-垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式7-1】（2023春·湖南郴州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．(1)尺規(guī)作圖：作邊AC的垂直平分線交BC于點D，連接AD（要求：保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；(2)在（1）作出的圖形中，求△ABD的周長．【答案】(1)見解析(2)13【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作法，作出AC的垂直平分線；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AD=CD，進而根據(jù)AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，即可求解．【詳解】（1）如圖，（2）∵AC的垂直平分線交BC于點D∴AD=CD∴△ABD的周長為：AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13【點睛】本題考查線段垂直平分線的作法和性質(zhì)，解題的關鍵是正確畫出圖形．【變式7-2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)上步中學校考期中）如圖，已知△ABC，AB<BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P，使得PA+PB=BC，則下列選項正確的（

）

B．

C．

D．

【答案】B【分析】利用PB+PC=BC，PA+PB=BC，，則可判斷PA=PC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到點P為AC的垂直平分線與BC的交點，然后利用基本作圖對各選項進行判斷．【詳解】解：∵PB+PC=BC，PA+PB=BC，∴PA=PC，∴點P在線段AC的垂直平分線上，即：點P為AC的垂直平分線與BC的交點．故選：B．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的判定以及尺規(guī)作圖，解題的關鍵是掌握尺規(guī)作圖的方法，并通過題意確定點P的位置．【變式7-3】（2023春·上海閔行·八年級校考期中）如圖，點P在∠AOB外，點Q在邊OA上，按要求畫圖，寫出作圖結(jié)論，并填空．(1)過點P分別畫PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別是E、(2)連接PQ，用尺規(guī)作線段PQ的垂直平分線MN．(3)過P、Q兩點分別作OA、OB的平行線交于點G；若∠AOB=120°，則∠G=______________．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析；60°【分析】（1）先延長AO，然后再過點P作PE⊥OA于點E，過點P作PF⊥OB于點F即可；（2）分別以點P和點Q為圓心，大于12PQ為半徑畫弧，兩弧交于兩點M、N，連接（3）根據(jù)要求作圖，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，PE，PF為所畫的垂線；（2）解：如圖，MN為所求作的直線；（3）解：如圖，PG、QG為所求作的平行線；∵GQ∥OB，∴∠OQG=180°?∠AOB=60°，∵PG∥∴∠PGH=∠OQG=60°．故答案為：60°．【點睛】本題主要考查了垂直平分線作圖，作垂線，平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握基本的作圖方法，平行線的性質(zhì)．【題型8線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合運用】【例8】（2023春·廣東河源·八年級?？计谥校┤鐖D：在△ABC中，點D是BC的中點，點E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，且DE⊥DF．

(1)猜想：EFBE+CF（填上“<”、“=”或“>”）；(2)證明你的猜想．【答案】(1)<(2)見解析【分析】（1）根據(jù)圖形直接作答即可；（2）如圖，延長FD至G，使FD=GD，連接BG，EG．證明△CDF≌△BDG，推出CF=BG，得出ED垂直平分FG，可得EF=EG，然后根據(jù)三角形的三邊關系和線段間的代換即可證得結(jié)論．【詳解】（1）猜想：EF<BE+CF；故答案為：<；（2）證明：如圖，延長FD至G，使FD=GD，連接BG，EG．∵點D是BC的中點，∴BD=CD．在△CDF和△BDG中，CD=BD,∴△CDF≌△BDG．∴CF=BG．∵DE⊥DF，∴ED垂直平分FG，∴EF=EG．∵EG，BE，BG組成了一個三角形，∴BE+BG>EG，又EF=EG，CF=BG，∴BE+CF>EF．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關系以及線段垂直平分線的性質(zhì)，正確添加輔助線，證明三角形全等是解題的關鍵．【變式8-1】（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．(1)求證：∠ACB＝∠ACD；(2)過點E作ME∥AB，交AC的延長線于點M，過點M作MP⊥DC，交DC的延長線于點P．①連接PE，交AM于點N，證明AM垂直平分PE；②點O是直線AE上的動點，當MO+PO的值最小時，證明點O與點E重合．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②見解析【分析】（1）用HL證明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到結(jié)論；（2）①證明△NEC≌△NPC(SAS)即可；②作P點關于AE的對稱點P′，連接MP′交AE于點O，證明∠MP【詳解】（1）證明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，BC＝CD，AC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠ACB=∠ACD；（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC=∠CAD，∵CA=CE，∴∠CAE=∠CED，∵∠EBA=90°，∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°，∵PD⊥AE，MP⊥PD，∴AE∥MP，∴∠PMC=∠MAE=30°，∵ME∥AB，∴∠MEB=90°，∴∠MEA=120°，∵∠MAE=30°，∴∠EMA=30°，∵CР⊥MP，CE⊥ME，∴∠MCP=∠MCE=60°，∴△NEC≌△NPC(SAS)，∴EN=PN，∴N是EP的中點，NC⊥PE，∴AM垂直平分PE；②作P點關于AE的對稱點P′，連接MP′交AE于點∵AM垂直平分PE，∴ME=MP，∵∠EMP=60°，∴∠MPE=60°，∴∠EPD=30°，∴∠P′∴∠MP′P∵∠MЕP=60°，∴O點與E點重合．【點睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)定理，線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定及性質(zhì)定理是解題的關鍵．【變式8-2】（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點F．下列結(jié)論：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S正確的結(jié)論序號是（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ADB=∠ADC=90°，再利用∠ABC=45°，得到AD=BD，從而可證明△BDF≌△ADC，進而得到FD=CD，即可判斷①；根據(jù)AB≠BC，BE⊥AC，即可判斷②，根據(jù)三角形面積公式和它們有一條公共邊可得S△ABFS△AFC=BDCD，即可判斷③，若BF=2EC，根據(jù)△BDF≌△ADC可以得到BF=AC，從而可得E是【詳解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BAD=90°?∠ABD=45°，∴AD=BD，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC+∠C=90°，∵∠EBC+∠BFD=90°，∴∠BFD=∠C，∴△BDF≌△ADC(AAS∴DF=CD，∴∠FCD=∠DFC=45°，故①正確；∵AB≠BC，BE⊥AC，∴AE≠EC，故②不正確；∵S△ABF∴S∵△BDF≌△ADC，∴BF=AC∵BF=2EC，∴AC=2EC，∴E為AC的中點，∵BE⊥AC，∴BE為線段AC的垂直平分線，∴BA=BC，故④正確，所以，正確結(jié)論的序號是：①③④，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型?旋轉(zhuǎn)型全等是解題的關鍵．【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級期中）（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC邊上的中線AD的取值范圍是（2）問題解決：如圖②，在△ABC中D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C為頂點作一個70角的兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關系，并加以證明．【答案】（1）2＜AD＜6；（2）