空間曲線及其方程

關(guān)于空間曲線及其方程

x2+y2=1

x+y+z=2.yxz0例5:

柱面x2+y2=1與平面x+y+z=2的交線是一個(gè)圓,它的一般方程是第2頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x,y,z都表示成一個(gè)參數(shù)t的函數(shù).x=x(t)y=y(t)(3)z=z(t)當(dāng)給定t=t1時(shí),就得到C上一個(gè)點(diǎn)(x,y,z),隨著t的變動(dòng)便可得曲線C上的全部點(diǎn).方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程.第3頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6:

如果空間一點(diǎn)M在圓柱面x2+y2=a2

上以角速度

繞z軸旋轉(zhuǎn),同時(shí)又以線速度v沿平行于z軸的正方向上升(其中

,v都是常數(shù)),那末點(diǎn)M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線,試建立其參數(shù)方程.解:

取時(shí)間t為參數(shù),設(shè)當(dāng)t=0時(shí),動(dòng)點(diǎn)位于x軸上的一點(diǎn)A(a,0,0)處,經(jīng)過(guò)時(shí)間t,由A運(yùn)動(dòng)到M(x,y,z),M在xOy面上的投影為M

(x,y,0).xyzhAOMtM

第4頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天

(1)動(dòng)點(diǎn)在圓柱面上以角速度

繞z軸旋轉(zhuǎn),所以經(jīng)過(guò)時(shí)間t,

AOM

=t.從而x=|OM|·cosAOM

=acosty=|OM|·sinAOM

=asint

(2)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)以線速度v沿z軸向上升.因而z=MM

=vt得螺旋線的參數(shù)方程x=acosty=asintz=vt注:

還可以用其它變量作參數(shù).xyzAOMtM

第5頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天yxzAOMtM

例如:

令

=t.

為參數(shù);螺旋線的參數(shù)方程為:x=acos

y=asin

z=b當(dāng)

從

0變到

0+

是,z由b

0變到b

0+b,即M點(diǎn)上升的高度與OM

轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比.特別,當(dāng)

=2

時(shí),M點(diǎn)上升高度h=2b,

h在工程上稱h=2b為螺距.第6頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.空間曲線在坐標(biāo)面上投影設(shè)空間曲線C的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(4)由方程組(4)消去z后得方程H(x,y)=0(5)方程(5)表示一個(gè)母線平行于z軸的柱面,曲線C一定在柱面上.xyzooC空間曲線C在xOy面上的曲線必定包含于:投影H(x,y)=0z=0第7頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天注:

同理可得曲線在yOz面或xOz面上的投影曲線方程.第8頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7:

已知兩個(gè)球面的方程分別為:x2+y2+z2=1和x2+(y

1)2+(z

1)2=1求它們的交線C在xOy面上的投影曲線的方程.解:

聯(lián)立兩個(gè)方程消去z,得兩球面的交線C在xOy面上的投影曲線方程為橢圓柱面第9頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)一個(gè)立體由上半球面和錐面所圍成,求它在xoy面上的投影.解:

半球面與錐面的交線為由方程消去z,得x2+y2=1yxzOx2+y2

1于是交線C

在xoy面上的投影曲線為x2+y2=1z=0這是xoy面上的一個(gè)圓.所以,所求立體在xoy面上的投影為:x2+y2

1例8:圓柱面)(第10頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天研究方法是采用平面截痕法.§6二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程1.定義由x,y,z的二次方程:ax2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面,稱為二次曲面.其中a,b,…,i,j

為常數(shù)且a,b,不全為零.c,

d,e,

f第11頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天zoxyO2

用平面z=k去截割(要求|k|c),得橢圓當(dāng)|k|c

時(shí),|k|越大,橢圓越小;當(dāng)|k|=c時(shí),橢圓退縮成點(diǎn).2.幾種常見(jiàn)二次曲面.(1)橢球面1

用平面z=0去截割,得橢圓第12頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3

類(lèi)似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得橢圓:特別:

當(dāng)a=b=c時(shí),方程x2+y2+z2=a2

,表示球心在原點(diǎn)o,半徑為a的球面.第13頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)橢圓拋物面:1

平面z=k,(k0)截割,截線是平面z=k上的橢圓.k=0時(shí),為一點(diǎn)O(0,0,0);隨著k增大,橢圓也增大.zyxo2

用平面y=k去截割,截線是拋物線第14頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天3

類(lèi)似地，用平面x=k去截割,截線是拋物線.第15頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天第16頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、二階行列式的概念設(shè)有數(shù)表a11稱數(shù)a11a22－a12a21為對(duì)應(yīng)于數(shù)表(1)的二階行列式，記為：(1)副對(duì)角線主對(duì)角線1.定義1a12a21a22(＋)(－)§1n階行列式的定義第17頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)

a11a22－a12a210時(shí)，得唯一解對(duì)于a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(1)2、二元一次方程組的求解公式第18頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天記方程組(1)的解可以表示為：——克萊姆(Gramer)法則(2)a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2第19頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天引進(jìn)記號(hào)：(+)(+)(+)(－)(－)(－)稱為對(duì)應(yīng)于數(shù)表(3)的三階行列式二、三階行列式1.定義2設(shè)有數(shù)表(3)主對(duì)角線副對(duì)角線第20頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如：第21頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天易證：對(duì)于線性方程組(4)當(dāng)?shù)?2頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天方程組有唯一解，記則方程組(4)的解為：——克萊姆法則第23頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、排列與逆序數(shù)<1>由自然數(shù)1,2,…,n組成的一個(gè)有序數(shù)組i1,i2,…,in稱為一個(gè)n級(jí)排列。例如，由1，2，3可組成的三級(jí)排列共有3!＝6個(gè)，它們是n級(jí)排列的總數(shù)為n!個(gè)。定義3321;123;132;213;231;312;第24頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天<2>一個(gè)排列中，若較大的數(shù)is排在較小的數(shù)it的前面(is>it)時(shí)，稱這一對(duì)數(shù)isit構(gòu)成一個(gè)逆序。一個(gè)排列中逆序的總數(shù)，稱為它的逆序數(shù)。記為

(i1,i2,…in)，簡(jiǎn)記為

。132(123)=0,(312)=2,(45213)=7,例如：213312第25頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天(3)逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列(4)將一個(gè)排列中兩個(gè)位置上的數(shù)互換，而其余不動(dòng)，則稱對(duì)該排列作了一次對(duì)換。653124623154(=11)(=8)12341432例如：(=0)(=3)第26頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理1每一個(gè)對(duì)換改變排列的奇偶性結(jié)論：在n(2)級(jí)排列中，奇偶排列各有個(gè)。第27頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、n階行列式的定義分析：

=0

=2

=2

=3

=1

=1第28頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天類(lèi)似地：第29頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天n階行列式定義4第30頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1

計(jì)算下列n階行列式000第31頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天0第32頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天0第33頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天行排列列排列213(

=1)132(

=1)(

=0)123(

=2)312考察：第34頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理2

n階行列式的定義也可寫(xiě)成推論：第35頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2：選擇i和k，使成為5階行列式中一個(gè)帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)解:其列標(biāo)所構(gòu)成的排列為：i52k3若取i=1，k＝4，故i=4，k=1時(shí)該項(xiàng)帶負(fù)號(hào)?？蓪⒔o定的項(xiàng)改為行標(biāo)按自然順序，即則

(15243)=4，是偶排列，該項(xiàng)則帶正號(hào)，對(duì)換1，4的位置，則45213是奇排列。第36頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1：將行列式的行、列互換，行列式的值不變即：D=DT行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式?！?行列式的性質(zhì)則第37頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天證：顯然有bij=aji(i,j=1,2,…;n)則設(shè)行列式DT中位于第i行，第j列的元素為bij第38頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列)，行列式僅改變符號(hào)則D=－M第39頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天證：在M

中第p

行元素第q

行元素—=–D第40頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論1：若行列式中有兩行(列)對(duì)應(yīng)元素相同，則行列式為零。證明:交換行列式這兩行，有D=－D，故D=0第41頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3

若行列式某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)k，等于該行列式乘以數(shù)k，即：第42頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明：推論2：若行列式中的某行(列)全為零，則行列式為零。推論3：若行列式中有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素成比例，則該行列式為零。第43頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)4

若行列式中某一行(列)的各元素都是兩個(gè)數(shù)的和，則該行列式等于兩個(gè)行列式的和。即:第44頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明：+第45頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)5

把行列式的某一行(列)的各元素乘以數(shù)k后加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變。即：第46頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天用ri表示D的第i行cj表示D的第j列ri

rj表示交換i、j兩行ri×k表示第i行乘以kri+krj表示第j行乘以k加到第i行ri

k表示第i行提出公因子k記號(hào)：第47頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1

計(jì)算行列式解：第48頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2

計(jì)算行列式解：Dc1

c2r2－r1第49頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天r4＋5r1r2

r3r3+4r2r4－8r2第50頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3：計(jì)算解：

x+x

x+x

x+x

第51頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天第52頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天在n階行列式余下的元素按原來(lái)順序構(gòu)成的一個(gè)n－1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作Mij

，中，劃去元素aij所在的行和列，(－1)i+j稱為aij的代數(shù)余子式，記作余子式帶上符號(hào)§3行列式按行(列)的展開(kāi)與克萊姆法則1.定義1一.拉普拉斯展開(kāi)定理第53頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如：在四階行列式中，a23的余子式M23和代數(shù)余子式A23，分別為：第54頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天考察三階行列式其中：A11,A12，A13分別為a11,a12,a13

的代數(shù)余子式.三階行列式可用其二級(jí)子式的線性組合表示。第55頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天考察三階行列式其中：A11,A12，A13分別為a11,a12,a13

的代數(shù)余子式.三階行列式可用其二級(jí)子式的線性組合表示。第56頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天再考察二階行列式二階行列式也可由其子式的組合表示.第57頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3.

計(jì)算三階行列式解：D=第58頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天還可看出+0=8412=72=D,+36=24+60=72=D,第59頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天+84=1224=72=D.以及第60頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理1(Laplace展開(kāi)定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和?；蚣矗旱?1頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明步驟：<1>

證第62頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天<2>

證第63頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天<3>第64頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：r2－r1r4+5r1按c2展開(kāi)r1+4r2r3－8r2例4

用Laplace展開(kāi)定理求例2§2第65頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天按c1展開(kāi)第66頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5

證明四階范德蒙行列式第67頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天證：D4r4－x1r3r3－x1r2r2－x1r1按c1展開(kāi)第68頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天r3－x2r2r2－x2r1按c1展開(kāi)第69頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論：n階范德蒙(Vandermonde)行列式第70頁(yè),共80頁(yè)，2024年2月25日，星期天

定