2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識點分類）根與系數(shù)的關(guān)系

根與系數(shù)的關(guān)系15．（2023?鄂州）若實數(shù)a、b分別滿足a2－3a＋2＝0，b2－3b＋2＝0，且a≠b，則1a＋1b【答案】32【分析】先根據(jù)題意可以把a、b看作是一元二次方程x2－3x＋2＝0的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a＋b＝3，ab＝2，再根據(jù)1a【解答】解：∵a、b分別滿足a2－3a＋2＝0，b2－3b＋2＝0，∴可以a、b看作是一元二次方程x2－3x＋2＝0的兩個實數(shù)根，∴a＋b＝3，ab＝2，∴1a故答案為：32【點評】本題主要考查了分式的求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．（2023?通遼）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根x1x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：x1＋x2=?ba，x1x2材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數(shù)根，∴m＋n＝1，mn＝－1．則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：（1）應(yīng)用：一元二次方程2x2＋3x－1＝0的兩個實數(shù)根為x1，x2，則x1＋x2＝?32，x1x2＝?（2）類比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0的兩個實數(shù)根為m，n，求m2＋n2的值；（3）提升：已知實數(shù)s，t滿足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0且s≠t，求1s【答案】（1）?32，（2）134（3）±17．【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出x1＋x2及x1x2的值；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出m＋n=?32，mn=?12，將其代入m2＋n2＝（m＋n）（3）由實數(shù)s、t滿足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2＋3x－1＝0的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出s＋t=?32，st=?12，結(jié)合（t－s）2＝（t＋s）2－4st，可求出s－【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2＋3x－1＝0的兩個根為x1，x2，∴x1＋x2=?32，x1x2故答案為：?32，（2）∵一元二次方程2x2＋3x－1＝0的兩根分別為m，n，∴m＋n=?32，mn∴m2＋n2＝（m＋n）2－2mn=94＋（3）∵實數(shù)s，t滿足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0，且s≠t，∴s，t是一元二次方程2x2＋3x－1＝0的兩個實數(shù)根，∴s＋t=?32，st∵（t－s）2＝（t＋s）2－4st＝（?32）2－4×（?1∴t－s＝±172∴1s?1【點評】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“兩根之和等于?ba，兩根之積等于根與系數(shù)的關(guān)系16．（2023?內(nèi)蒙古）若x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＝0的兩個實數(shù)根，則x1＋x2【答案】?1【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1＋x2＝2，x1x2＝－8，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：根據(jù)題意得x1＋x2＝2，x1x2＝－8，則x1故答案為：?1【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根時，x1＋x2=?ba，x1x2根與系數(shù)的關(guān)系19．（2023?瀘州）若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的兩個實數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長為（）A．3 B．23 C．14 D．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；菱形的性質(zhì)．【分析】先設(shè)出菱形兩條對角線的長，利用根與系數(shù)的關(guān)系及對角線與菱形面積的關(guān)系得等式，再根據(jù)菱形的邊長與對角線的關(guān)系求出菱形的邊長．【解答】解：設(shè)菱形的兩條對角線長分別為a、b，由題意，得a+b=10ab=22∴菱形的邊長==1=1=1=1=14故選：C．【點評】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及菱形的性質(zhì)，掌握菱形對角線與菱形的面積、邊長間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系及等式的變形是解決本題的關(guān)鍵．20．（2023?南充）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．（1）求證：無論m為何值，方程總有實數(shù)根；（2）若x1，x2是方程的兩個實數(shù)根，且x2x1【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．【分析】（1）由判別式Δ＝（4m﹣1）2≥0，可得答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，由x2x1+x1【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m＝16m2﹣8m+1＝（4m﹣1）2≥0，∴方程總有實數(shù)根；（2）解：由題意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，∵x2∴(2m?1)2?3m2+m解得m＝1或m=2【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2根與系數(shù)的關(guān)系23．（2023?眉山）已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根為x1，x2，則（x1+2）?（x2+2）的值為6．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系作答．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣4＝0的根為x1，x2，∴x1+x2＝3，x1?x2＝﹣4，∴（x1+2）?（x2+2）＝x1?x2+2x1+2x2+4＝﹣4+2×3+4＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=?ba，x1?x根與系數(shù)的關(guān)系22．（2023?宜賓）若關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0兩根的倒數(shù)和為1，則m的值為2．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】設(shè)關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0兩根為α，β，可得α+β＝2（m+1），αβ＝m+4，根據(jù)兩根的倒數(shù)和為1，有α+βαβ=1，即2(m+1)m+4【解答】解：設(shè)關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0兩根為α，β，∴α+β＝2（m+1），αβ＝m+4，∵兩根的倒數(shù)和為1，∴1α∴α+βαβ∴2(m+1)m+4解得m＝2，經(jīng)檢驗，m＝2是分式方程的解，當(dāng)m＝2時，原方程為x2﹣6x+6＝0，Δ＝12＞0，∴m＝2符合題意，故答案為：2．【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，注意最后需要檢驗原方程是否有實數(shù)根．23．（2023?遂寧）若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式a+b﹣ab的值為2．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b＝3，ab＝1，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數(shù)根，∴a+b＝3，ab＝1，∴a+b﹣ab＝3﹣1＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2=?ba，x1?x根與系數(shù)的關(guān)系22．（2023?懷化）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一個根為﹣1，則m的值為﹣1，另一個根為2．【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】將x＝﹣1代入原方程，可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再結(jié)合兩根之積等于﹣2，即可求出方程的另一個根．【解答】解：將x＝﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2＝0，解得：m＝﹣1，∵方程的兩根之積為ca∴方程的另一個根為﹣2÷（﹣1）＝2．故答案為：﹣1，2．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，牢記“兩根之和等于?ba，兩根之積等于根與系數(shù)的關(guān)系18．（2023?天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，則（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2=76 D．x1x【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行判斷即可．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，應(yīng)掌握：設(shè)x1，x2是一元二次方程y＝ax2+bx+c（a≠0）的兩個實數(shù)根，則x1+x根與系數(shù)的關(guān)系19．（2023?樂山）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0兩根為x1、x2，且x1＝3x2，則m的值為（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝8，再根據(jù)x1＝3x2，求得x1，x2，進一步得出x1x2＝m求得答案即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的兩根為x1，x2，∴x1+x2＝8，∵x1＝3x2，解得x1＝6，x2＝2，∴m＝x1x2＝6×2＝12．故選：C．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．根與系數(shù)的關(guān)系19．（2023?岳陽）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，且x1+x2+x1?x2＝2，則實數(shù)m＝3．【答案】3．【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＞0，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，由根與系數(shù)的關(guān)系，可得出x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2﹣m+2，結(jié)合x1+x2+x1?x2＝2，可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0，∴m＞2．∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2﹣m+2，∵x1+x2+x1?x2＝2，∴﹣2m+m2﹣m+2＝2，解得：m1＝0（不符合題意，舍去），m2＝3，∴實數(shù)m的值為3．故答案為：3．【點評】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x1+x2+x1?x2＝2，找出關(guān)于m的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．20．（2023?隨州）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數(shù)根分別為x1和x2，則x1+x2﹣x1x2的值為2．【答案】2．【分析】直接利用根于系數(shù)的關(guān)系x1+x2=?ba=3，x1【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數(shù)根分別為x1和x2，∴x1+x2=??31=3，x1∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．故答案為：2．【點評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟記根與系數(shù)的關(guān)系時解題關(guān)鍵．根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x根與系數(shù)的關(guān)系17．（2023?宜昌）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的兩根，則代數(shù)式x1+x【答案】1．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，把兩根之和與兩根之積代入即可求出值．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的兩根，∴x1+x2=32，x1x2∴x1故答案為：1．【點評】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．18．（2023?湖北）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的兩個實數(shù)根為x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，則實數(shù)k＝﹣5．【答案】﹣5．【分析】把兩根之和與兩根之積代入已知條件中，求得k的值，再根據(jù)根的判別式求得k的取值范圍．最后綜合情況，求得k的值．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的兩個實數(shù)根為x1，x2，∴x1+x2＝3，x1?x2＝k，∵x1x2+2x1+2x2＝1，∴k+2×3＝1，解得k＝﹣5，又∵方程有兩個實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤9綜合以上可知實數(shù)k取值范圍是k＝﹣5．故答案為：﹣5．【點評】此題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．19．（2023?內(nèi)江）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的兩根，則a2+4a+b﹣3＝﹣2．【答案】﹣2．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2+3a﹣4＝0，a2＝﹣3a+4，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b＝﹣3，然后把要求的式子進行變形，再代入計算即可．【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，∴a2+3a﹣4＝0，∴a2＝﹣3a+4，∵a，b是方程x2+3x﹣4＝0的兩根，∴a+b＝﹣3，∴a2+4a+b﹣3＝﹣3a+4+4a+b﹣3＝a+b+1＝﹣3+1＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=?ba，x1?x根與系數(shù)的關(guān)系3．（2023?湖北）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求證：無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)該方程的兩個實數(shù)根為a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．【答案】（1）見解析；（2）m的值為﹣2或1．【分析】（1）要證明方程都有兩個不相等的實數(shù)根，即證明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再將（2a+b）（a+2b）＝20變形可得2（a+b）2+ab＝20，將a+b，ab的代入可得關(guān)于m的一元二次方程，求解即可．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，∴無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：∵該方程的兩個實數(shù)根為a，b，∴a+b=??(2m+1)1=2m+1，ab=m∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2（a2+2ab+b2）+ab＝2（a+b）2+ab，∴2（a+b）2+ab＝20，∴2（2m+1）2+m2+m＝20，整理得：m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1，∴m的值為﹣2或1．【點評】本題主要考查一元二次方程根的判別式的應(yīng)用、根與系數(shù)的關(guān)系的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x根與系數(shù)的關(guān)系22．（2023?菏澤）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的兩根為x1，x2，則1xA．32 B．﹣3 C．3 D．【答案】C【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2、x1x2的值，再代入計算即可．【解答】解：∵一元二次方程