八年級數(shù)學下冊同步練習 第09課 勾股定理單元檢測（原卷版+解析）

第09課勾股定理單元檢測一、單選題1．底邊上的高為3，且底邊長為8的等腰三角形腰長為()．A．3 B．4 C．5 D．62．三角形的三邊長分別為a，b，c，且滿足等式：(a＋b)2－c2＝2ab，則此三角形是()A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形3．如圖，直角三角形ABC的周長為24，且AB：BC=5：3，則AC=().A．6 B．8 C．10 D．124．在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD長為12，則△ABC的面積為()A．84 B．24 C．24或84 D．42或845．已知如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊AB＝10，則圖中陰影部分的面積為()A．50 B． C．100 D．6．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，則AC的長為()．A．11 B．10 C．9 D．87．一個直角三角形兩條直角邊的長分別為5，12,則其斜邊上的高為()A． B．13 C．6 D．258．一只螞蟻沿直角三角形的邊長爬行一周需2秒，如果將直角三角形的邊長擴大1倍，那么這只螞蟻再沿邊長爬行一周需().A．6秒 B．5秒 C．4秒 D．3秒9．在△ABC中，AB=17，AC=10，BC上的高AD長為8，則邊BC的長為()A．21 B．15 C．9 D．21或910．如圖，中，，，，，平分，如果點，分別為，上的動點，那么的最小值是()A．6 B．8 C．10 D．4.8二、填空題11．等腰三角形一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為_______．12．觀察圖形后填空．圖(1)中正方形A的面積為__________；圖(2)中斜邊x＝________.13．四根小木棒的長分別為5cm，8cm，12cm，13cm，任選三根組成三角形，其中有______個直角三角形.14．東東想把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為30cm,40cm,50cm的木箱中，他能放進去嗎？答：______.(填“能”或“不能”)15．如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為____．16．在直線l上依次擺放著七個正方形(如圖所示)．已知斜放置的三個正方形的面積分別是a，b，c，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝_____．三、解答題17．如圖，已知等邊△ABC的邊長為6cm.(1)求AD的長度；(2)求△ABC的面積．18．在數(shù)軸上作出表示的點(保留作圖痕跡，不寫作法).19．若的三邊，，滿足條件，試判斷的形狀.20．如圖所示的一塊地，已知，，，，，求這塊地的面積．21．如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U型池的示意圖，該U型池可以看成是長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為的半圓，其邊緣，點E在上，，一滑板愛好者從A點滑到E點，則他滑行的最短距離為多少米？(邊緣部分的厚度忽略不計)22．如圖，牧童在A處放牛，其家在C處，A、C到河岸L的距離分別為AB=2km，CD=4km且，BD=8km．(1)牧童從A處將牛牽到河邊P處飲水后再回到家C，試確定P在何處，所走路程最短？請在圖中畫出飲水的位置(保留作圖痕跡)，不必說明理由．(2)求出(1)中的最短路程．23．有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為9cm，12cm現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以12cm為一直角邊的直角三角形，請在圖中畫出圖形，并求出擴充后等腰三角形綠地的周長．第09課勾股定理單元檢測一、單選題1．底邊上的高為3，且底邊長為8的等腰三角形腰長為()．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【詳解】本題主要考查了等腰三角形三線合一這一性質(zhì).畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，求出腰長為5．解：∵AD⊥BC，∴BD=CD，∵BC=8，∴BD=4，又AD=3，在Rt△ABD中，AB===5．故選C．2．三角形的三邊長分別為a，b，c，且滿足等式：(a＋b)2－c2＝2ab，則此三角形是()A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】【詳解】解：根據(jù)已知條件可得：+2ab=+2ab，則，則這個三角形就是直角三角形.故選：B3．如圖，直角三角形ABC的周長為24，且AB：BC=5：3，則AC=().A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】【詳解】本題主要考查了勾股定理.解：設AB=5x，BC=3x,由題意得AC=4x∵直角三角形ABC的周長為24∴5x+3x+4x=24∴解得：x=2∴AC=8故選B4．在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD長為12，則△ABC的面積為()A．84 B．24 C．24或84 D．42或84【答案】C【解析】【分析】由于高的位置不確定，所以應分情況討論.【詳解】(1)△ABC為銳角三角形，高AD在三角形ABC的內(nèi)部，∴BD==9，CD==5，∴△ABC的面積為=84，(2)△ABC為鈍角三角形，高AD在三角形ABC的外部，∴BD==9，CD==5，∴△ABC的面積為=24，故選C.【點睛】此題主要考察勾股定理的應用，解題的關鍵是根據(jù)三角形的形狀進行分類討論.5．已知如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊AB＝10，則圖中陰影部分的面積為()A．50 B． C．100 D．【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)，得到，，然后結(jié)合圖形計算即可得到答案．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，∴，由勾股定理得，，∴，同理，，∵是直角三角形，斜邊，∴，∴圖中陰影部分的面積=．故選：．【點睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，運用勾股定理證明三個等腰直角三角形面積之間的關系是解題的關鍵．6．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，則AC的長為()．A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【解析】【分析】在直角△ABD中由勾股定理可以求得AD的長度；然后在直角△ACD中，根據(jù)勾股定理來求線段AC的長度即可．【詳解】如圖，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.又∵AB=17，BD=15，DC=6，∴在直角△ABD中,由勾股定理得到：AD2=AB2?BD2=64.在直角△ACD中,由勾股定理得到：AC==10，即AC=10.故選B.【點睛】此題考查勾股定理，解題關鍵在于掌握運算公式.7．一個直角三角形兩條直角邊的長分別為5，12,則其斜邊上的高為()A． B．13 C．6 D．25【答案】A【解析】【詳解】試題分析：∵直角三角形的兩條直角邊的長分別為5，12，∴斜邊為=13，∵S△ABC=×5×12=×13h(h為斜邊上的高)，∴h=．故選A．8．一只螞蟻沿直角三角形的邊長爬行一周需2秒，如果將直角三角形的邊長擴大1倍，那么這只螞蟻再沿邊長爬行一周需().A．6秒 B．5秒 C．4秒 D．3秒【答案】C【解析】【分析】本題根據(jù)放大后的三角形與三角形相似，故可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解，兩個相似三角形對應邊之比的比值叫做相似比．【詳解】直角三角形各邊的長度擴大一倍，周長擴大1倍，故爬行時間擴大一倍．故只螞蟻再沿邊長爬行一周需4秒．故選C.【點睛】本題主要考查的知識點是：相似三角形的應用.由題意得出兩個三角形是相似三角形和靈活運用相似三角形的性質(zhì)是解決此題的關鍵，這也是解決此題的一個易錯點.9．在△ABC中，AB=17，AC=10，BC上的高AD長為8，則邊BC的長為()A．21 B．15 C．9 D．21或9【答案】D【解析】【詳解】①∠C為銳角時：∵Rt△ADC中，，AC＝10，AD＝8，∴CD2=AC2－AD2=36，∴CD=6；∵Rt△ADB中，，AB＝17，AD＝8，∴BD2=AB2－AD2=225，∴BD=15；∴BC=6+15=21.②∠ACB為鈍角時：∵Rt△ADC中，，AC＝10，AD＝8，∴CD2=AC2－AD2=36，∴CD=6；∵Rt△ADB中，，AB＝17，AD＝8，∴BD2=AB2－AD2=225，∴BD=15；∴BC=15－6=9.綜上：BC=9或21.故選D.點睛：本題關鍵要考慮兩種情況，分別對兩種情況結(jié)合勾股定理求解即可.10．如圖，中，，，，，平分，如果點，分別為，上的動點，那么的最小值是()A．6 B．8 C．10 D．4.8【答案】D【解析】【分析】如圖所示：過點作于點，交于點，過點作于點，則，此時最小，再利用等面積法求解最小值即可.【詳解】解：如圖所示：過點作于點，交于點，過點作于點，平分，，．在中，，，，，，，，．即的最小值是4.8，故選：D．【點睛】本題考查的是垂線段最短，角平分線的性質(zhì)定理的應用，等面積法的應用，確定取最小值時點的位置是解本題的關鍵.二、填空題11．等腰三角形一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為_______．【答案】8或或．【解析】【詳解】由已知的是一邊上的高，分底邊上的高和腰上的高兩種情況，當高為腰上高時，再分銳角三角形與鈍角三角形兩種情況：(1)如圖，當AD為底邊上的高時，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，根據(jù)勾股定理得：．∴BC=2BD=8．(2)如圖，當CD為腰上的高時，若等腰三角形為銳角三角形，在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，根據(jù)勾股定理得：．∴BD=AB－AD=5－4=1．在Rt△BDC中，CD=3，BD=1，根據(jù)勾股定理得：．若等腰三角形為鈍角三角形，在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，根據(jù)勾股定理得：．∴BD=AB＋AD=5＋4=9．在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，根據(jù)勾股定理得：．綜上所述，等腰三角形的底邊長為8或或．12．觀察圖形后填空．圖(1)中正方形A的面積為__________；圖(2)中斜邊x＝________.【答案】3613【解析】【分析】圖(1)根據(jù)勾股定理求出正方形的面積，圖(2)直接根據(jù)勾股定理可求出x的值.【詳解】設正方形的邊長為a,∴a2=102-82=36,∴正方形A的面積36;∵直角三角形的兩條直角邊的長分別為5,12,∴.故答案為:36,13.【點睛】本題考查的是勾股定理,熟知在任何一個直角三角形中,兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵.13．四根小木棒的長分別為5cm，8cm，12cm，13cm，任選三根組成三角形，其中有______個直角三角形.【答案】1【解析】【詳解】∵四根小木棒的長分別為5cm，8cm，12cm，13cm，∴可以組成三角形的有：5cm、8cm、12cm；5cm、12cm、13cm；8cm、12cm、13cm．要組成直角三角形，根據(jù)勾股定理兩邊的平方和等于第三邊的平方，則只有5cm、12cm、13cm的一組．∴有1個直角三角形．【點睛】本題考查了1．勾股定理；2．三角形三邊關系；3．勾股定理的逆定理．14．東東想把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為30cm,40cm,50cm的木箱中，他能放進去嗎？答：______.(填“能”或“不能”)【答案】能【解析】【分析】要判斷東東能不能將木棒放進木箱中，只需將木棒的長與木箱的最長的長度比較即可；易知，木箱的體對角線最長，先由木箱的長和寬結(jié)合勾股定理求出底面對角線的長，再結(jié)合長方體的高利用勾股定理求出木箱的體對角線的長；接下來比較求出的木箱的對角線的長與70的大小關系即可得到答案.【詳解】作如下長方體，其中AB=50cm，BC=40cm，CC′=30cm，連接AC、AC′，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=4100，在Rt△ACC′中，AC′=＞70，故他能放進去.故答案為能.【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解決此題的關鍵是理解木箱所能容納的最大長度的位置，這里充分利用了木箱各鄰邊的垂直關系，創(chuàng)造了連續(xù)應用勾股定理的條件.15．如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為____．【答案】6【解析】【分析】先根據(jù)矩形的特點求出BC的長，再由翻折變換的性質(zhì)得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的長，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt△CEF中，設AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即(x+4)2=x2+82，解得x=6，則AB=6．故答案為：6．【點睛】本題考查了翻折變換及勾股定理，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解答此題的關鍵．16．在直線l上依次擺放著七個正方形(如圖所示)．已知斜放置的三個正方形的面積分別是a，b，c，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝_____．【答案】a+c【解析】【分析】運用勾股定理可知，每兩個相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答,具體:求證△ABC≌△CDE，得DE=BC，△ABC中AB2+CE2=AC2，根據(jù)S3=AB2，S4=DE2可求得S3+S4=c，同理可得S1+S2=a，故S3+S4+S1+S2=a+c．．【詳解】解：∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠BAC，∵AC=CE，∠ABC=∠CDE∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE，在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，即，AB2+DE2=AC2，∵S3=AB2，S4=DE2∴S3+S4=c同理S1+S2=a故可得S1+S2+S3+S4=a+c，故答案是：a+c．【點睛】本題考查正方形面積的計算，正方形各邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定．解題關鍵是本題中根據(jù)△ABC≌△CDE證明S3+S4=c三、解答題17．如圖，已知等邊△ABC的邊長為6cm.(1)求AD的長度；(2)求△ABC的面積．【答案】(1)cm；(2)cm2【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形三線合一求出AD的長度是3cm，再利用勾股定理即可求出BD的長度；(2)根據(jù)三角形的面積公式S=ah，代入數(shù)據(jù)計算即可．【詳解】(1)∵AD⊥BC，∴BD=CD=×6=3cm，∴AD=cm；(2)S△ABC=×BC?AD=×6×3cm2【點睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題關鍵在于利用勾股定理進行計算.18．在數(shù)軸上作出表示的點(保留作圖痕跡，不寫作法).【答案】見解析【解析】【詳解】以原點為圓心，以為半徑畫弧，和數(shù)軸的負半軸交于一點即可．解：因為10=9+1，則首先作出以1和3為直角邊的直角三角形，則其斜邊的長即是．如圖所示，

19．若的三邊，，滿足條件，試判斷的形狀.【答案】三角形為直角三角形,理由見解析【解析】【分析】這是一道有關勾股定理的逆定理、完全平方公式的解答題．把已知條件寫成三個完全平方式的和的形式，再由非負數(shù)的性質(zhì)求得三邊，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△ABC的形狀.【詳解】，，即．，，，，，．，，．，，該三角形為直角三角形．【點睛】此題主要考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式.此題的關鍵就是靈活掌握完全平方公式的特點，用配方法進行恒等變形，在恒等變形的過程中不要改變式子的值.20．如圖所示的一塊地，已知，，，，，求這塊地的面積．【答案】【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定為直角三角形，從而不難求得這塊地的面積．【詳解】解：連接．，，為直角三角形，，這塊地的面積．【點睛】本題考查了學生對勾股定理及其逆定理的理解及運用能力，解題的關鍵是掌握勾股定理的知識．21．如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U型池的示意圖，該U型池可以看成是長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為的半圓，其邊緣，點E在上，，一滑板愛好者從A點滑到E點，則他滑行的最短距離為多少米？(邊緣部分的厚度忽略不計)【答案】25米【解析】【分析】要求滑行的最短距離，需將該U型池的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．【詳解】解：如圖是其側(cè)面展開圖：AD=π?=20，AB=CD=20．DE=CD-CE=20-5=15，在Rt△ADE中，AE===25．故他滑行的最短距離約為25米．【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，U型池的側(cè)面展開圖是一個矩形，此矩形的寬等于半徑為的半圓的弧長，矩形的長等于AB=CD=