八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步練習(xí) 第13課 正方形（原卷版+解析）

第13課正方形目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2．掌握正方形的性質(zhì)及判定方法．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01正方形的定義四條邊都，四個(gè)角都是的四邊形叫做正方形.注意：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.知識(shí)點(diǎn)02正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊——四邊、鄰邊、對(duì)邊；2.角——四個(gè)角都是；3.對(duì)角線——①，②互相，③每條對(duì)角線；4.是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.注意：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四個(gè)等腰直角三角形.知識(shí)點(diǎn)03正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是，再證明它；或先證四邊形是，再證明它.知識(shí)點(diǎn)04特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：知識(shí)點(diǎn)05順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀(1)順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是.(2)順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是.(3)順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是.(4)順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是.注意：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.(1)若原四邊形的，則新四邊形是矩形.(2)若原四邊形的，則新四邊形是菱形.(3)若原四邊形的，則新四邊形是正方形.能力拓展能力拓展考法01正方形的性質(zhì)【典例1】如圖，直線L上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為1和9，則b的面積為(

)A．8 B．9 C．10 D．11【即學(xué)即練】如圖所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過正方形的頂點(diǎn)B、D作BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E，若DE＝8，BF＝5，則EF的長為__．【即學(xué)即練】如圖所示，，，以為邊作正方形，求，的坐標(biāo).【典例2】矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是(

)A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線互相平分且相等【典例3】如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝5，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若△CEF的周長為18，則OF的長為()A．3 B．4 C． D．【典例4】如圖，在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)證明：；(2)連接，證明：．【典例5】如圖，四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，CE與BG交于點(diǎn)M，點(diǎn)M在△ABC的外部．(1)求證：BG＝CE；(2)求證：CE⊥BG；(3)求：∠AME的度數(shù)．【典例6】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，且∠AEF=90°，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)G,(1)求GE的長；(2)求證：AE平分∠DAF；(3)求CF的長.考法02正方形的判定【典例7】在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的條件是()A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【典例8】如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE，BE，(1)求證：四邊形AEBD是矩形；(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并說明理由．【典例9】已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且EA=EC．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．【典例10】已知，如圖，四邊形ABCD是菱形，∠B是銳角，AF⊥BC于點(diǎn)F，CH⊥AD于點(diǎn)H，在AB邊上取點(diǎn)E，使得AE＝AH，在CD邊上取點(diǎn)G，使得CG＝CF．聯(lián)結(jié)EF、FG、CH、HE．(1)求證：四邊形EFGH是矩形．(2)若∠B＝45度，求證:四邊形EFGH是正方形．考法03正方形的綜合應(yīng)用【典例11】如圖，邊長相等的兩個(gè)正方形ABCD和OEFG，若將正方形OEFG繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積(

)A．不變 B．先增大再減小C．先減小再增大 D．不斷增大【典例12】如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正確結(jié)論有()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【典例13】正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.(1)求證：EF=FM(2)當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長．【典例14】如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上(AE＜BE)，且∠EOF=90°，OE、DA的延長線交于點(diǎn)M，OF、AB的延長線交于點(diǎn)N，連接MN．(1)求證：OM=ON．(2)若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點(diǎn)，求MN的長．【典例15】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B，C重合)，以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，(1)觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①BC與CF的位置關(guān)系為：．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：；(將結(jié)論直接寫在橫線上)(2)數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明．(3)拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，延長BA交CF于點(diǎn)G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請(qǐng)求出GE的長．【典例16】如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由；(2)性質(zhì)探究：如圖1，四邊形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，．試證明：；(3)解決問題：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結(jié)、、．已知，，求的長．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列命題中，真命題是()．A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形2．如圖，平行四邊形,對(duì)角線交于點(diǎn),下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是(

)A．互相平分B．時(shí)，平行四邊形為矩形C．時(shí)，平行四邊形為菱形D．時(shí)，平行四邊形為正方形3．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，則∠BED為()A．45° B．15° C．10° D．125°4．如圖，正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別沿AE、AF折疊，點(diǎn)B、D恰好都落在點(diǎn)G處，已知BE＝1，則EF的長為(

)A． B． C． D．35．如圖，延長正方形ABCD的一邊BC到E，使CE=AC，連接AE交CD于F，則∠AFC的度數(shù)是(

)A． B． C． D．6．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AB上，AE＝1，若點(diǎn)P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PAE周長的最小值是()A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，正方形ABCD的邊長是2，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上，且OE⊥OF，則四邊形AFOE的面積是()A．4 B．2 C．1 D．8．正方形是有一組鄰邊_______，并且有一個(gè)角是_______的平行四邊形，因此它既是______又是________．題組B能力提升練9．以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，則∠BEC的度數(shù)是_____．10．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為________．11．如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四邊形ACEF是正方形，則EF的長為_____．12．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PE和PA的長度之和最小值為___________．13．如圖，在邊長為的正方形中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接，則的長度為__________．14．如圖，正方形ABCD的邊長是16，點(diǎn)E在邊AB上，AE=3，點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△EBF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為_____________.題組C培優(yōu)拔尖練15．如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H，得到的四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)如圖，當(dāng)四邊形ABCD變成等腰梯形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是菱形，請(qǐng)你探究并填空：當(dāng)四邊形ABCD變成平行四邊形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是；當(dāng)四邊形ABCD變成矩形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是；當(dāng)四邊形ABCD變成菱形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是；當(dāng)四邊形ABCD變成正方形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是；(3)根據(jù)以上觀察探究，請(qǐng)你總結(jié)中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的什么決定的？16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N．(1)求證：∠ADB=∠CDB；(2)若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．17．已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G是邊AC的三等分點(diǎn)，DF、EG的延長線相交于點(diǎn)H，連接HA、HC．(1)求證：四邊形FBGH是菱形；(2)求證：四邊形ABCH是正方形．18．如圖，正方形ABCD中，以對(duì)角線BD為邊作菱形BDFE，使B，C，E三點(diǎn)在同一直線上，連接BF，交CD于點(diǎn)G．(1)求證：CG=CE；(2)若正方形邊長為4，求菱形BDFE的面積．19．如圖①，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長線上，且PE=PB(1)求證：△BCP≌△DCP；(2)求證：∠DPE=∠ABC；(3)把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變(如圖②)，若∠ABC=58°，則∠DPE=度．第13課正方形目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2．掌握正方形的性質(zhì)及判定方法．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01正方形的定義四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.注意：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.知識(shí)點(diǎn)02正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；2.角——四個(gè)角都是直角；3.對(duì)角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；4.是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.注意：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四個(gè)等腰直角三角形.知識(shí)點(diǎn)03正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形).知識(shí)點(diǎn)04特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：知識(shí)點(diǎn)05順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀(1)順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.(2)順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.(3)順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.(4)順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.注意：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.(1)若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形.(2)若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形.(3)若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.能力拓展能力拓展考法01正方形的性質(zhì)【典例1】如圖，直線L上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為1和9，則b的面積為(

)A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用正方形邊長相等，再根據(jù)同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，進(jìn)而利用AAS可證明△ACB≌△DCE，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=∠ABC=∠DEC=90°，∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，，∴△ACB≌△CDE(AAS)，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc=1+9=10，∴b的面積為10，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】如圖所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過正方形的頂點(diǎn)B、D作BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E，若DE＝8，BF＝5，則EF的長為__．【答案】13【解析】【分析】本題是典型的一線三角模型，根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形兩個(gè)銳角互余以及等量代換可以證得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝13．【詳解】解：∵ABCD是正方形(已知)∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°∴∠FBA＝∠EAD(等量代換)∵BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E∴在Rt△AFB和Rt△AED中∵∴△AFB≌△DEA(AAS)∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13故答案為：13【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及熟悉一線三角模型是解本題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】如圖所示，，，以為邊作正方形，求，的坐標(biāo).【答案】；【解析】【分析】本題有、兩個(gè)點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，且正方形在坐標(biāo)軸的同側(cè)(基本上在第二象限)，故只須過，兩點(diǎn)分別向坐標(biāo)軸作垂線即可.作CE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，證明△BCE≌△ABO，得出對(duì)應(yīng)邊相等BE=OA=1，CE=BO=3，同理得出DF=OA=1，AF=BO=3，再求出OE、OF，即可得出結(jié)果．【詳解】解：作CE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，如圖所示：則∠CEB=∠AFD=90°，∴∠1+∠3=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△BCE和△ABO中，，∴△BCE≌△ABO(AAS)，∴BE=OA=1，CE=BO=3，同理得：DF=OA=1，AF=BO=3，∴OE=4，OF=4，∴C(-3，4)，D(-4，1)．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)；通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．當(dāng)正方形的部分點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且整個(gè)正方形在坐標(biāo)軸的同側(cè)時(shí)，往往過另外的點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，從而得到“形外三垂直”的基本圖形.【典例2】矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是(

)A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線互相平分且相等【答案】B【解析】【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，因而平行四邊形的性質(zhì)就是四個(gè)圖形都具有的性質(zhì)．【詳解】解：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，而對(duì)角線相等、平分一組對(duì)角、互相垂直不一定成立．故平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是：對(duì)角線互相平分．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四邊形的性質(zhì)，理解四個(gè)圖形之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【典例3】如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝5，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若△CEF的周長為18，則OF的長為()A．3 B．4 C． D．【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE的長，再由勾股定理得出CD的長，進(jìn)而可得出BE的長，由三角形中位線定理即可得出結(jié)論．【詳解】∵CE=5，△CEF的周長為18，∴CF+EF=18-5=13．∵F為DE的中點(diǎn)，∴DF=EF．∵∠BCD=90°，∴CF=DE，∴EF=CF=DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD=，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O為BD的中點(diǎn)，∴OF是△BDE的中位線，∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，涉及到直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，難度適中．使用勾股定理是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵．【典例4】如圖，在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)證明：；(2)連接，證明：．【答案】(1)見解析；(2)見解析.【解析】【分析】(1)依據(jù)正方形的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC，∠DAG=∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；(2)延長DE交AB的延長線于H，根據(jù)△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中點(diǎn)，進(jìn)而得到AB=FB．【詳解】證明：(1)四邊形是正方形，，又，，，(2)如圖所示，延長交的延長線于，是的中點(diǎn)，，又，，，即是的中點(diǎn)，又，中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．【典例5】如圖，四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，CE與BG交于點(diǎn)M，點(diǎn)M在△ABC的外部．(1)求證：BG＝CE；(2)求證：CE⊥BG；(3)求：∠AME的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，，然后求出，再利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得；(2)設(shè)、相交于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，然后求出，根據(jù)垂直的定義可得；(3)過作，的垂線段交于點(diǎn)，，證明是角平分線可得答案．(1)解：證明：在正方形和中，，，，，即，在和中，，，；(2)解：證明：設(shè)、相交于點(diǎn)，，，，，；(3)解：過作，的垂線段交于點(diǎn)，，，，，，，是角平分線，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，的垂線段是難點(diǎn)，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)也是關(guān)鍵．【典例6】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，且∠AEF=90°，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)G,(1)求GE的長；(2)求證：AE平分∠DAF；(3)求CF的長.【答案】(1)(2)證明見解析(3)CF=1【解析】【詳解】(1)解：在正方形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC∴∠D=∠DCG=90°，∠DAE=∠G∵E是CD的中點(diǎn)∴DE=CE∴△ADE≌△GCE∴AD=CG∵AD=DC=4∴CG=4，CE=2在Rt△GCE中，GE=(2)證明：由(1)得：△ADE≌△GCE∴AE=GE∵∠AEF=90°∴EF垂直平分AG∴AF=GF∴∠FAE=∠G∵∠DAE=∠G∴∠FAE=∠DAE∴AE平分∠DAF(3)解：在正方形ABCD中∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=4∴DE=CE=2設(shè)CF=x，則BF=4-x根據(jù)勾股定理得：AF2=AB2+BF2=42+(4-x)2=32-8x+x2EF2=CF2+CE2=x2+22=x2+4AE2=AD2+DE2=42+22=20在Rt△AEF中，AF2=EF2+AE2∴32-8x+x2=x2+4+20解得:x=1∴CF=1考法02正方形的判定【典例7】在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的條件是()A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)正方形的判定：對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形進(jìn)行分析從而得到最后的答案．解：A，不能，只能判定為矩形；B，不能，只能判定為平行四邊形；C，能；D，不能，只能判定為菱形．故選C．【典例8】如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE，BE，(1)求證：四邊形AEBD是矩形；(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，矩形AEBD是正方形．理由如下見解析．【解析】【分析】(1)利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進(jìn)而由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADB=90°，即可得出答案；(2)利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD=CD，進(jìn)而利用正方形的判定得出即可．【詳解】(1)證明：∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長到點(diǎn)E，使OE=OD，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四邊形AEBD是矩形；(2)當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD=BD=CD，∵由(1)得四邊形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查矩形和正方形的判定，等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)．掌握特殊四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．【典例9】已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且EA=EC．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)首先證得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性質(zhì)可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行線的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形；(2)由BE=BC可得△BEC為等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠CBE=180×=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四邊形ABCD是正方形．【詳解】(1)在△ADE與△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AD=CD，∴四邊形ABCD是菱形；(2)∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×=45°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是正方形．【典例10】已知，如圖，四邊形ABCD是菱形，∠B是銳角，AF⊥BC于點(diǎn)F，CH⊥AD于點(diǎn)H，在AB邊上取點(diǎn)E，使得AE＝AH，在CD邊上取點(diǎn)G，使得CG＝CF．聯(lián)結(jié)EF、FG、CH、HE．(1)求證：四邊形EFGH是矩形．(2)若∠B＝45度，求證:四邊形EFGH是正方形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)利用菱形的性質(zhì)，AF⊥BC，CH⊥AD，可證四邊形AFCH為矩形，得AH=CF，再證明△AEH≌△CFG(SAS)，△BEF≌△DGH(SAS)，得到EH=FG，EF=GH，證得四邊形EFGH是平行四邊形，進(jìn)一步證得∠HEF=90°，得出結(jié)論．(2)連結(jié)BD，F(xiàn)H，AC，設(shè)BD、AC、FH相交于點(diǎn)O.利用菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，證明∠EFH=45°，進(jìn)一步證明EF=EH，得出結(jié)論．(1)證明∵四邊形ABCD是菱形∴ADBC，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴∠ABC+∠BAD=180°∵AF⊥BC，CH⊥AD∴∠AFC=∠AHC=90°∵ADBC∴∠FAH=180°－∠AFC=90°∴四邊形AFCH為矩形，∴AH=CF∵AE＝AH，CG＝CF∴AH＝CF＝AE＝CG，BF=BE=DH=DG∴△AEH≌△CFG(SAS)，△BEF≌△DGH(SAS)∴EH=FG，EF=GH∴四邊形EFGH是平行四邊形∵BE＝BF∴△BEF是等腰三角形∴∠BEF=∠BFE=(180°－∠ABC)=90°-∠ABC同理可得∠AEH=∠BAD∴∠BFE+∠AEH=(∠ABC+∠BAD)=90°∴∠HEF=180°－(∠BFE+∠AEH)=90°∴四邊形EFGH是矩形．(2)證明：如圖，連結(jié)BD，F(xiàn)H，AC，設(shè)BD、AC、FH相交于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD是菱形∴ADBC，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD∴∠ADB=∠CBD，△ABD是等腰三角形，∠BOC==90°∴∠ABD=∠ADB∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=22.5°∴∠BCO=180°-∠CBD-∠BOC=67.5°∵四邊形AFCH為矩形∴OF=OC，∠AFC=90°∴△FOC是等腰三角形∴∠OFC=∠BCO=67.5°∴∠AFH=∠AFC-∠OFC=22.5°∵BE＝BF∴△BEF是等腰三角形∴∠BEF=∠BFE=(180°－∠ABC)=90°-∠ABC=67.5°∵AF⊥BC∴∠AFB=90°∴∠AFE=∠AFB-∠BFE=22.5°∴∠EFH=∠AFE+∠AFH=45°∵四邊形EFGH是矩形∴∠FEH=90°∴∠EHF=180－∠FEH－∠EFH=45°∴∠EFH=∠EHF∴EF=EH∴四邊形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)．考法03正方形的綜合應(yīng)用【典例11】如圖，邊長相等的兩個(gè)正方形ABCD和OEFG，若將正方形OEFG繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積(

)A．不變 B．先增大再減小C．先減小再增大 D．不斷增大【答案】A【解析】【分析】由正方形的性質(zhì)得到OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOM=∠CON，證明△OBM≌△OCN(ASA)，得到兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積=，由此得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD和OEFG都是正方形，∴OB=OC，∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，∴∠BOM=∠CON，∴△OBM≌△OCN(ASA)，∴，∴兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積=，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【典例12】如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正確結(jié)論有()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【解析】【分析】由四邊形ABCD與四邊形EFGC都為正方形,得到四條邊相等,四個(gè)角為直角,利用SAS得到三角形BCE與三角形DCG全等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得到BE=DG,利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定義得到∠BOD為直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.【詳解】解：①∵四邊形ABCD和EFGC都為正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故結(jié)論①正確.②如圖所示，設(shè)BE交DC于點(diǎn)M，交DG于點(diǎn)O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②結(jié)論正確.③如圖所示，連接BD、EG，由②知，BE⊥DG，則在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③結(jié)論正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，正方形的性質(zhì).【典例13】正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.(1)求證：EF=FM(2)當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長．【答案】(1)見解析；(2).【解析】【分析】(1)由折疊可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出EF=MF；(2)由第一問的全等得到AE=CM=1，正方形的邊長為3，用AB-AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設(shè)EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長．【詳解】(1)∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDM=45°，∵

DF=DF，∴△DEF≌△DMF，∴

EF=MF(2)設(shè)EF=x，∵AE=CM=1，

∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，∵EB=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得，即，解得，.【典例14】如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上(AE＜BE)，且∠EOF=90°，OE、DA的延長線交于點(diǎn)M，OF、AB的延長線交于點(diǎn)N，連接MN．(1)求證：OM=ON．(2)若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點(diǎn)，求MN的長．【答案】(1)見解析；(2)MN=2【解析】【分析】(1)證△OAM≌△OBN即可得；(2)作OH⊥AD，由正方形的邊長為4且E為OM的中點(diǎn)知OH=HA=2，HM=4，再根據(jù)勾股定理得OM=2，由直角三角形性質(zhì)知MN=OM=2．【詳解】解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM=ON；(2)如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，∵正方形的邊長為4，∴OH=HA=2，∵E為OM的中點(diǎn)，∴HM=4，則OM==2，∴MN=OM=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的四條邊都相等，正方形的每條對(duì)角線平分一組對(duì)角及全等三角形的判定與性質(zhì)．【典例15】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B，C重合)，以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，(1)觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①BC與CF的位置關(guān)系為：．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：；(將結(jié)論直接寫在橫線上)(2)數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明．(3)拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，延長BA交CF于點(diǎn)G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請(qǐng)求出GE的長．【答案】(1)CF⊥BD，BC=CF+CD；(2)成立，證明詳見解析；(3).【解析】【分析】(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DE，∠ADE=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NE=CM，EM=CN，由角的性質(zhì)得到∠ADH=∠DEM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代換得到CN=EM=3，EN=CM=3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG=BC=4，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：(1)①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；(2)成立，∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，CF=BD∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；(3)解：過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=AB=4，AH=BC=2，∴CD=BC=1，CH=BC=2，∴DH=3，由(2)證得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四邊形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM，在△ADH與△DEM中，，∴△ADH≌△DEM，∴EM=DH=3，DM=AH=2，∴CN=EM=3，EN=CM=3，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG=BC=4，∴GN=1，∴EG=．【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：四邊形綜合題.【典例16】如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由；(2)性質(zhì)探究：如圖1，四邊形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，．試證明：；(3)解決問題：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結(jié)、、．已知，，求的長．【答案】(1)四邊形是垂美四邊形，理由見解析；(2)證明見解析；(3).【解析】【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的判定定理，可證直線是線段的垂直平分線，結(jié)合“垂美四邊形”的定義證明即可；(2)根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；(3)連接、，先證明，得到∴，可證，即，從而四邊形是垂美四邊形，根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合(2)的結(jié)論計(jì)算即可．【詳解】(1)四邊形是垂美四邊形．證明：連接AC，BD，∵，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴直線是線段的垂直平分線，∴，即四邊形是垂美四邊形；(2)猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等．如圖2，已知四邊形中，，垂足為，求證：證明：∵，∴，由勾股定理得，，，∴；故答案為．(3)連接、，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，又，∴，即，∴四邊形是垂美四邊形，由(2)得，，∵，，∴，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列命題中，真命題是()．A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形【答案】C【解析】【詳解】解：A、兩條對(duì)角線相等且相互平分的四邊形為矩形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項(xiàng)正確；D、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．2．如圖，平行四邊形,對(duì)角線交于點(diǎn),下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是(

)A．互相平分B．時(shí)，平行四邊形為矩形C．時(shí)，平行四邊形為菱形D．時(shí)，平行四邊形為正方形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質(zhì)，逐一判定即可得解.【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，即可判定正確；B選項(xiàng)，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，正確；C選項(xiàng)，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，正確；D選項(xiàng)，并不能判定其為正方形；故答案為D.【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形、矩形、菱形和正方形的判定，熟練掌握，即可解題.3．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，則∠BED為()A．45° B．15° C．10° D．125°【答案】A【解析】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，又因?yàn)?，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，易得的大小，進(jìn)而可求出的度數(shù).【詳解】是等邊三角形，，，四邊形是正方形，，，，，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)，難度適中.4．如圖，正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別沿AE、AF折疊，點(diǎn)B、D恰好都落在點(diǎn)G處，已知BE＝1，則EF的長為(

)A． B． C． D．3【答案】B【解析】【詳解】【分析】由圖形折疊可得BE=EG，DF=FG；再由正方形ABCD的邊長為3，BE=1，可得EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG；最后由勾股定理可以求得答案.【詳解】由圖形折疊可得BE=EG，DF=FG，∵正方形ABCD的邊長為3，BE=1，∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，在直角三角形ECF中，∵EF2=EC2+CF2，∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，解得GF=，∴EF=1+=．故正確選項(xiàng)為B.【點(diǎn)睛】此題考核知識(shí)點(diǎn)是：正方形性質(zhì)；軸對(duì)稱性質(zhì)；勾股定理.解題的關(guān)鍵在于：從圖形折疊過程找出對(duì)應(yīng)線段，利用勾股定理列出方程.5．如圖，延長正方形ABCD的一邊BC到E，使CE=AC，連接AE交CD于F，則∠AFC的度數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方形的對(duì)角線的性質(zhì)，可得∠ACD＝∠ACB＝45°，進(jìn)而可得∠ACE的大小，再根據(jù)三角形外角定理，結(jié)合CE＝AC，易得∠CEF＝22.5°，再由三角形外角定理可得∠AFC的大?。驹斀狻拷猓篈C是正方形的對(duì)角線，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝135°，又∵CE＝AC∴∠CEF＝22.5°，∴∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°；故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)．6．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AB上，AE＝1，若點(diǎn)P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PAE周長的最小值是()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】【分析】連接AC、CE，CE交BD于P，此時(shí)AP+PE的值最小，求出CE長，即可求出答案．【詳解】解：連接AC、CE，CE交BD于P，連接AP、PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C關(guān)于BD對(duì)稱，∴AP＝CP，即AP+PE＝CE，此時(shí)AP+PE的值最小，所以此時(shí)△PAE周長的值最小，∵正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AB上，AE＝1，∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，由勾股定理得：CE＝5，∴△PAE的周長的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與軸對(duì)稱——最短路徑問題，知識(shí)點(diǎn)比較綜合，屬于較難題型.7．如圖，正方形ABCD的邊長是2，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在邊AD、AB上，且OE⊥OF，則四邊形AFOE的面積是()A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA證明△AOE≌△BOF，從而可得△AOE的面積＝△BOF的面積，進(jìn)而可得四邊形AFOE的面積＝正方形ABCD的面積，問題即得解決．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF(ASA)，∴△AOE的面積＝△BOF的面積，∴四邊形AFOE的面積＝正方形ABCD的面積＝×22＝1；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．正方形是有一組鄰邊_______，并且有一個(gè)角是_______的平行四邊形，因此它既是______又是________．【答案】

相等

直角

矩形

菱形【解析】【分析】根據(jù)正方形的定義和性質(zhì)填空即可．【詳解】正方形是有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形，因此它既是矩形又是菱形．故答案為：相等，直角，矩形，菱形【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的定義，解題關(guān)鍵是明確正方形的定義：正方形是有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形，因此它既是矩形又是菱形．題組B能力提升練9．以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，則∠BEC的度數(shù)是_____．【答案】30°或150°．【解析】【分析】分等邊△ADE在正方形的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況分別求解即可得．【詳解】如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，則∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°；如圖2，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=×(180°﹣30°)=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°，故答案為30°或150°．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)、運(yùn)用分類討論思想畫出符合題意的圖形并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．10．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交CE的延長線于．先證明，得到，，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)定義即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交CE的延長線于．，，．四邊形是正方形，．易求．又∴，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．11．如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四邊形ACEF是正方形，則EF的長為_____．【答案】3【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可得AB=BC，且∠B=60°，可得AC=AB=3，由正方形的性質(zhì)可得AC=EF=3．【詳解】∵四邊形ABCD是菱形∴AB=BC，且∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=3，∵四邊形ACEF是正方形，∴AC=EF=3故答案為3【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．12．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PE和PA的長度之和最小值為___________．【答案】【解析】【分析】利用軸對(duì)稱最短路徑求法，得出A點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為C點(diǎn)，再利用連接EC交BD于點(diǎn)P即為最短路徑位置，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：連接AC，EC，EC與BD交于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PE的最小，即PA+PE就是CE的長度∵正方形ABCD中，BE=2，AE=1，∴BC=AB=3，∴CE===，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用軸對(duì)稱求最短路徑問題以及正方形的性質(zhì)和勾股定理，利用正方形性質(zhì)得出A，C關(guān)于BD對(duì)稱是解題關(guān)鍵．13．如圖，在邊長為的正方形中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接，則的長度為__________．【答案】1【解析】【分析】過E作，過G作，過H作，與相交于I，分別求出HI和GI的長，利用勾股定理即可求解．【詳解】過E作，過G作，過H作，垂足分別為P，R，R，與相交于I，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∴四邊形AEPD是矩形，∴，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC邊的中點(diǎn)，∴，，，∵點(diǎn)G是EC的中點(diǎn)，是的中位線，，同理可求：，由作圖可知四邊形HIQP是矩形，又HP=FC，HI=HR=PC，而FC=PC，∴，∴四邊形HIQP是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線與勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．14．如圖，正方形ABCD的邊長是16，點(diǎn)E在邊AB上，AE=3，點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△EBF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為_____________.【答案】16或4.【解析】【詳解】(1)當(dāng)B′D=B′C時(shí)，過B′點(diǎn)作GH∥AD，則∠B′GE=90°，當(dāng)B′C=B′D時(shí)，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13．由翻折的性質(zhì)，得B′E=BE=13，∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，∴B′G===12，∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，∴DB′===；(2)當(dāng)DB′=CD時(shí)，則DB′=16(易知點(diǎn)F在BC上且不與點(diǎn)C、B重合)；(3)當(dāng)CB′=CD時(shí)，∵EB=EB′，CB=CB′，∴點(diǎn)E、C在BB′的垂直平分線上，∴EC垂直平分BB′，由折疊可知點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，不符合題意，舍去．綜上所述，DB′的長為16或．故答案為16或．考點(diǎn)：1．翻折變換(折疊問題)；2．分類討論．題組C培優(yōu)拔尖練15．如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H，得到的四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)如圖，當(dāng)四邊形ABCD變成等腰梯形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是菱形，請(qǐng)你探究并填空：當(dāng)四邊形ABCD變成平行四邊形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是；當(dāng)四邊形ABCD變成矩形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是；當(dāng)四邊形ABCD變成菱形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是；當(dāng)四邊形ABCD變成正方形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是；(3)根據(jù)以上觀察探究，請(qǐng)你總結(jié)中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的什么決定的？【答案】(1)相等；(2)垂直；(3)見解析.【解析】【分析】(1)連接BD．利用三角形中位線定理推出所得四邊形對(duì)邊平行且相等，故為平行四邊形；(2)連接AC、BD．根據(jù)三角形的中位線定理，可以得到所得四邊形的兩組對(duì)邊分別和原四邊形的對(duì)角線平行，且分別等于原四邊形的對(duì)角線的一半,再根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定方法進(jìn)行判定即可(3)由(2)可知，中點(diǎn)四邊形的形狀是由原四邊形的對(duì)角線的關(guān)系決定的．【詳解】(1)證明：連接BD．∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線．∴EH=BD，EH∥BD．同理得FG=BD，F(xiàn)G∥BD．∴EH=FG，EH∥FG．∴四邊形EFGH是平行四邊形．(2)連接AC、BD．根據(jù)三角形的中位線定理，可以得到所得四邊形的兩組對(duì)邊分別和原四邊形的對(duì)角線平行，且分別等于原四邊形的對(duì)角線的一半．若順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)，則所得的四邊形的四條邊都相等，故所得四邊形為菱形；若順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)，則所得的四邊形的四個(gè)角都是直角，故所得四邊形為矩形；若順次連接對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)，則綜合上述兩種情況，故所得的四邊形為正方形；故答案為平行四邊形，菱形，矩形，正方形；(3)